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吉林省德惠市实验中学2015-2016学年高一上学期第一次月考数学试卷


吉林省德惠市实验中学高一上第一次月考数学试题
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (每小 题 5 分,共 50 分)
1. 一个非空集合 A 中的元素 a 满足: a ? N ,且 4 ? a ? A ,则满足条件的集合 A 的个数有 ( ) A. 6 B. 7 C.8 D. 5

2. 已知函数 f ( x ) 的定义域为 ?0,1? ,值域为 ?1, 2? ,则函数 f ( x ? 2) 的定义域和值域分别是 ( A. C. )

?0,1? , ?1, 2? ??2, ?1? , ?1, 2?

B. D.

? 2,3? , ?3, 4? ??1, 2? , ?3, 4?
)

3. 函数 f ( x) ? x2 对于任意的 x, y ? R 都有( A. f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) C. f ( xy) ? f ( x) f ( y) 4.函数 y ?

B. f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) D. f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) )

1 4 ? x2

的值域为(

A. (0, ??)

B. (0, ]

1 2

C. [ , ??)

1 2

D. (?2, 2) )

5. 若函数f(x)满足 f ( x ?

1 1 ) ? x ? ? 1 ,则函数 f ( x) 的表达式是( x x
C. x ? 2
2

A. x

2

B. x ? 1
2

D. x ? 1
2

6. 已知函数 y ? ? A.-2

? x 2 ? 1 ( x ? 0) ,那么使函数值为 5 的 x 的值是( ? ?2 x ( x ? 0)
5 2
C. 2 或-2 D.2 或-2 或 ?



B.2 或 ?

5 2

7 . 已 知 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 x ? R x ? 0 , 且 对 任 意 非 零 实 数 x, y 都 满 足

?

?

f ( x y)?

f( x ? )

f( ,则( y )

) B. f (?1) ? 0 且 f ( x) 为奇函数

A. f (1) ? 0 且 f ( x) 为偶函数

C. f ( x) 为增函数且为奇函数

D. f ( x) 为增函数且为偶函数

8.设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(2)=0,则不等式 为( ) B. (??, ?2) ? (2, ??) D. (?2,0) ?(2, ??)

f ( x) ? 2 f ( ? x) ? 0 的解集 x

A. (??, ?2) ? (0, 2) C. (?2, 0) ? (0, 2) 9. 已知函数 f ( x) ? ?

?? x ? m

,x ?0 ,若对任意的实数 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 都有 2 , x ? 0 ? ( m ? 4) x ? m ? m ? 3 ?


f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则实数 m 的取值范围是( x1 ? x2
A. (?4, ??) C. (??, ?1] ? [3, ??)

B. (??, ?1) ? (3, ??) D. (?4, ?1] ? [3, ??)

? 10 ? 2 , 0 ? x ? 10 ? ? x 10. 已 知 函 数 f ( x) ? ? ,若实数 a、b、c 满足: a ? b ? c ,且 1 ?? x ? 6, x ? 10 ? ? 2
f ( a) ? f ( b) ?
A. (10,12)

f (c ) ,则

abc 的取值范围是( a?b 24 B. (25,30) C. (4, ) 5

) D. (25, ??)

二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 5 分,共 25 分).
11. 已知集合 A ? {?1,1} ,则集合 B ? a ? b a, b ? A 的真子集的个数有

?

?

个.

12. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 且对任意的 x ? R 都有 f ( x ? 4) ? f ( x) ? f (2) , 若 f (1) ? 2 ,则 f (6) ? f (?3) ? .

13. 某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动都不 喜欢,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动得人数为 . 14. 已知函数 f ( x) ?

3 ? ax ( a ? 1 ). a ?1
; .

(1)若 f ( x ) 在 x ? 2 处有意义,则实数 a 的取值范围是 (2)若 f ( x ) 在区间 (0,1) 上是减函数,则实数 a 的取值范围是

15. 已知函数 f ( x) ? ?

?2 x ? b,
2

x?0 ,其中 a, b ? R . 若对任意的非零实数 x1 , ? x ? (a ? 4a) x ? 1, x ? 0
2

存在唯一的非零实数 x2 ( x1 ? x2 ),使得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 成立,则 a ? b 的取值范围为 .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 75 分).
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 4 x ?1 ?1 . (1)去绝对值,把函数 f ( x ) 写成分段函数的形式,并作出其图象; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间; (3)求函数 f ( x ) 的最小值.

17. (本小题满分 12 分) 设常数 a ? R ,集合 A ? x ( x ? 1)( x ? a ) ? 0 , B ? x x ? a ? 1 . (1)若 0 ? A ? B ,求 a 的取值范围; (2)若 A ? B ? R ,求 a 的取值范围.

?

?

?

?

18. (本小题满分 12 分) 设二次函数 f ( x ) 同时满足下列条件:① f (0) ? 8 ;② f ( x ? 2) 为偶函数;③关于 x 的 方程 f ( x) ? 4 有两个不等实根 x1 , x2 ,且 | x1 ? x2 |? 2 2 . (1)求函数 f ( x ) 的表达式; (2)当 x ?[-2,2]时, g ( x) ? f ( x) ? kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分)
2 2 已知 f ( x ) 为 R 上的奇函数,且 x ? 0 时 f ( x) ? ? x ? (a ? 2) x ? a ? 5 (其中 a 为实常

数). (1)求 f (0) 的值; (2)求 x ? 0 时 f ( x ) 的解析式; (3)若 f ( x ) 在区间 (0, 2] 上的最大值为 2,求 a 的值.

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

x2 . x2 ? 1

(1) 证明对任意实数 x , 都有 f ( x) ? f ( x ) , 说明 f ( x ) 在 (0, ??) 上的单调性并证明 之; .. (2)记 A ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? ? ? f (100) ,

1 1 1 1 B ? f (1) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ,求 A ? B 的值: 2 3 4 100
(3)若实数 x1 , x2 满足 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 . 求证: x1 x2 ? 1 .

21. (本小题满分 14 分) 已知偶函数 ... f ( x ) 对任意 x1 , x2 ? R ,恒有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 x1 x2 ? 1 . (1)求 f (0), f (1), f (2) 的值; (2)求 f ( x ) 的解析式;
2 (3)是否存在实数 a ,使得不等式 f ( x ) ? af ( x ) ? 1 ? 2 对任意的实数 x ? (1, 2) 都成

立?若不存在,说明理由;若存在,求实数 a 的取值范围.

参考答案
一、BCCCD,AACDB 二、11、7 12、2 13、12

14、(1) ( ??,1) ? (1, ] ;(2) (??, 0) ? (1,3] 三、16. 解:(1) f ( x) ? ?
2 ? ? x ? 4 x ? 3( x ? ?1) 2 ? ? x ? 4 x ? 5( x ? ?1)

3 2

15、 [1,5]

?( x ? 2) 2 ? 7( x ? ?1) ? ?? 2 ? ?( x ? 2) ? 1( x ? ?1)
其图象如右图所示。

(2 分) (6 分)

(2) f ( x ) 的单调减区间为 (??, ?2), (?1, 2) ; 单调增区间为 (?2, ?1), (2, ??) (10 分) (3)由图象知,当 x ? 2 时, f ( x ) 取得最小值 ?7 .(12 分)

17. 解: (1)? 0 ? A ? B,? 0 ? A 且 0 ? B .

(3 分)

??(?a) ? 0 ,解得 0 ? a ? 1 ,故 a 的取值范围为 [0,1] .(6 分) ?? ?0 ? a ? 1
(2)当 a ? 1 时, A ? {x x ? 1,或 x ? a} , B ? x x ? a ? 1

?

? ?

? A ? B ? R,? a ? 1 ? 1 ,即 1 ? a ? 2 满足条件; (8 分)
当 a ? 1 时, A ? {x x ? a ,或 x ? 1} , B ? x x ? a ? 1

?

? a ? 1 ? a,? A ? B ? R 成立,即 a ? 1 满足条件. (10 分)
综上知 a 的取值范围为 ( ??, 2] .(12 分)

18.解: (Ⅰ)设 f ( x) ? ax ? bx ? c ,? f (0) ? 8,? c ? 8
2 2 2 2

(1 分)

因为 f ( x ? 2) ? a( x ? 2) ? b( x ? 2) ? 8 ? ax ? (4a ? b) x ? 4a ? 2b ? 8 为偶函数

? 4a ? b ? 0 ,即 b ? 4a
又方程 f ( x) ? 4 ? ax ? 4ax ? 4 ? 0
2

(3 分)

(4a) 2 ? 16a 由 | x1 ? x2 |? 2 2 得 ? 2 2 ,解得 a ? 2 ,从而 b ? 8 (5 分) |a|
? f ( x) ? 2 x2 ? 8x ? 8 ? 2( x ? 2)2
(Ⅱ) g ( x) ? f ( x) ? kx ? 2x2 ? (8 ? k ) x ? 8 ,其对称轴为 x ? ∵当 x ?[-2,2]时, g ( x) 是单调函数 ∴ (6 分)

k ?8 (8 分) 4

k ?8 k ?8 ? ?2 或 ?2 4 4

(10 分)

解得 k ? 0 或 k ? 16 ,即实数 k 的取值范围是 (??,0] ? [16, ??) . (12 分)

19.解: (1)? f (?0) ? ? f (0),? f (0) ? 0.

(2 分)

(2)当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f ( x) ? ? f (? x) ? ?[?(? x)2 ? (a ? 2) ? (? x) ? a2 ? 5]

? x2 ? (a ? 2) x ? a2 ? 5
(3) x ? (0, 2] 时, f ( x) ? ? x ? (a ? 2) x ? a ? 5 ,显然对称轴 x ?
2 2

(5 分)

①当 0 ?

a?2 a?2 ? 2 即 ?2 ? a ? 2 时,则 x ? 时取得最大值,则 2 2

a?2 ? 0 (7 分) 2

?4(?a 2 ? 5) ? (a ? 2)2 2 ? 2 13 2 ? 2 13 ? 2 ,解得 a ? ? 2 舍去) (a ? (9 分) ?4 3 3
②当

a?2 ? 2 即 a ? 2 时,则 x ? 2 时取得最大值,则 2

?22 ? 2(a ? 2) ? a2 ? 5 ? 2 ,解得 a ? 3 ( a ? ?1 ? 2 舍去)
综上知 a ?

(11 分)

2 ? 2 13 或 a ? 3. 3

(12 分)

x2 |x|2 ? f ( x) (1 分) 20、解: (1)对任意实数 x ,有 f (| x|) ? 2 ? |x| ? 1 x 2 ? 1
f ( x) 在 (0, ??) 上的单调递增,证明如下:
任取 x1 , x2 ? (0, ??), x1 ? x2 ,则 (2 分)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x12 x22 x12 ( x22 ? 1) ? x22 ( x12 ? 1) ? ? x12 ? 1 x22 ? 1 ( x12 ? 1)( x22 ? 1)

?

x12 ? x2 2 ( x ? x )( x ? x ) ? 1 2 2 12 2 2 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

? x2 ? x1 ? 0,? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0
而 ( x12 ? 1)( x22 ? 1) ? 0 ,

?

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) (5 分) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以 f ( x) 在 (0, ??) 上的单调递增。 ( x12 ? 1)( x2 2 ? 1)

1 2 1 x2 x2 1 (2)当 x ? 0 时, f ( x) ? f ( ) ? 2 (7 分) ? x ? 2 ? 2 ?1 x x ?1 1 ?1 x ?1 x ?1 x2 1 1 ? A ? B ? [ f (1) ? f (1)] ? [ f (2) ? f ( )] ? ? ? [ f (100) ? f ( )] =100(9 分) 2 100

x12 x2 2 (3)法一:由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ? 2 ? ?1 x1 ? 1 x2 2 ? 1

? x12 ( x22 ? 1) ? x22 ( x12 ?1) ? ( x12 ?1)( x22 ?1)
? x12 x22 ? 1 ? x1 x2 ? 1 ,得证!
法二: 当 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 时, 否则, 假设 x1 ? 0 , 则 f (x x1 , x2 均不为 0, ) ? 1 0 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ,矛盾! 由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 得 f ( x1 ) ? 1 ? f ( x2 ) 由结论(2)知 1 ? f ( x2 ) ? f ( (12 分) , 而 f ( x) ? , 1 1

(10 分)

1 1 ) ,所以 f ( x1 ) ? f ( ) x2 x2
1 1 |) ?| x1|>| |? x1 x2 ? 1 . x2 x2

(11 分)

又结合结论(1)有 f (| x1|) ? f (|

(12 分)

21. 解: (1)令 x1 ? x2 ? 0 得 f (0) ? ?1 ; 令 x1 ? 1, x2 ? ?1得 f (0) ? f (1) ? f (?1) ? 1,又 f (?1) ? f (1) ,? f (1) ? 0

? f ( 2 )? f ( 1 ? 1? ) f 2 (? 1) ?3

3
2

(3 分)

(2)令 x1 ? ? x2 ? x 得 f (0) ? f ( x) ? f (? x) ? 2 x ? 1

又 f ( x ) 为偶函数,? f (? x) ? f ( x)

??1 ? 2 f ( x) ? 2x2 ? 1 ,即 f ( x) ? x2 ?1
(3)假设存在实数 a 满足条件。令 f ( x) ? t , 显然 x ? (1, 2) 时, t ? (0,3) .
2 2 2 2 所以 f ( x) ? af ( x ) ? 1 ? 2 ? ?2 ? t ? at ? 1 ? 2 ? t ? 1 ? at ? t ? 3

(6 分)

1 3 ? t ? ? a ? t ? 对任意的实数 t ? (0,3) 都成立。 (8 分) t t 1 8 令 g (t ) ? t ? ( t ? (0,3] ) ,显然 g (t ) 在区间 (0,3) 单调递增,? g (t ) ? g (3) ? t 3 8 则a ? ; (10 分) 3 3 令 h(t ) ? t ? ( t ? (0,3] ) ,设 0 ? t1 ? t2 ? 3 , t
3 3 3 3 3 h(t1 ) ? h(t2 ) ? (t1 ? ) ? (t2 ? ) ? (t1 ? t2 ) ? ( ? ) ? (t1 ? t2 )(1 ? ) t1t2 t1 t2 t1 t2
当 0 ? t1 ? t2 ? 3 时, t1 ? t2 ? 0 , 0 ? t1t2 ? 3 , 1 ? 当 3 ? t1 ? t2 ? 3 时, t1 ? t2 ? 0 , t1t2 ? 3 , 1 ? 所以函数 h( x) 在区间 (0, 3) ? ,( 3,3) ? 。

3 ? 0 ,所以 h(t1 ) ? h(t2 ) ; t1t2

3 ? 0 ,所以 h(t1 ) ? h(t2 ) t1t2

?h( x) ? h( 3) ? 2 3 ,则 a ? 2 3 .
综上知存在实数 a ? [ , 2 3) 满足条件.

(13 分) (14 分)

8 3


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