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9 高考解题中的数学思想


第三篇 阅 读 专 题

【高考考情解读】
数学思想方法是对数学知识最高层次的提炼与概括,数学思想方法较之数学知识具有更高的层次,具有理性的地位,它是一种 数学意识,属于思维和能力的范畴,它是数学知识的精髓,是知识转化为能力的桥梁.数学思想方法是使复杂问题简单化,抽象问题 具体化,变抽象思维为形象思维的过程,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性

与灵活性的有机结合. 纵观近几年的高考试题,都加大了对数学思想方法的考查,把对数学思想方法的考查寓于对各部分知识的考查之中,以知识为 载体,着重考查能力与方法的题目很常见.预测 2014 年数学高考中,还会有较多的题目以数学知识为背景,考查数学思想方法,对数 学思想方法的考查不会削弱,只会更加鲜明,更加重视.

【函数与方程的思想】
1.函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分 析问题、转化问题,从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观 察、分析和解决问题. 2.方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,从而建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运 用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.方程的思想是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程 组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系. 3.涉及的几个问题: (1)函数和方程是密切相关的,对于函数 y=f(x),当 y=0 时,就转化为方程 f(x)=0,也可以把函数式 y=f(x)看作二元方程 y-f(x)=0, 函数问题(例如求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解,方程问题也可以转化为函数问题来求解,如解方程 f(x)=0,就是求函 数 y=f(x)的零点. (2)函数与不等式也可以相互转化,对于函数 y=f(x),当 y>0 时,就转化为不等式 f(x)>0,借助函数图象与性质解决有关问题,而研 究函数的性质,也离不开解不等式. (3)数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点处理数列问题十分重要. (4)解析几何中的许多问题,常需要通过解二元方程组才能解决,涉及二次方程与二次函数的有关理论. (5)立体几何中有关线段、面积、体积的计算,也常需要运用列方程或者建立函数表达式的方法加以解决. 热点一:函数与方程思想在求最值或参数范围中的应用 在遇到有关求范围、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题时,常通过构造函数,借助相关初等函数的性质求 解. 已知实数 a,b,c,有 a>b>c,a+b+c=1,a2+b2+c2=1,求 a+b 与 a2+b2 的范围. 【解析】a+b+c=1?a+b=1-c.

a2+b2+c2=1?(a+b)2-2ab+c2-1=0?(1-c)2-2ab+c2-1=0?ab=c2-c,且 a+b=1-c.

构造一个一元二次方程 x2-(1-c)x+c2-c=0,a,b 是该方程的两个不相等的根,且两根都大于 c,令 f(x)=x2-(1-c)x+c2-c,则由图象与

x 轴有两个交点且都在(c,+∞)内,


∴- <c<0,∴1<1-c< , <1-c2<1,
即 a+b∈(1, ),a2+b2∈( ,1). 【点评】(1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组),然后由方程(组)求得. (2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中的重要问题,解决这类问题一般有两种途径:其一,充 分挖掘题设条件中的不等关系,构建以待求字母为元的不等式(组)求解;其二,充分利用题设中的等量关系,将待求参数表示成其他 变量的函数,然后,应用函数知识求值域. (3)当问题中出现两数积与这两数和时,是构建一元二次方程的明显信息,构造方程后再利用方程知识可巧妙解决问题. (4)当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去减少变量的个数,如果最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的 表达式,那么就可用研究函数的方法将问题解决. 热点二:利用函数与方程相互转化的观点解决函数、方程问题 在解决函数、方程问题时,我们经常利用两者的联系进行转化.若将变量间的等量关系看成函数关系,则可以将等量关系式转 化成函数,这时妙用函数的有关性质(值域、 与坐标轴交点情形等)就可解决问题;若将等量关系式看成关于某个未知量的方程,则利 用解方程或考虑根的情形可求得变量. 已知函数 f(x)=ln x-

.

(1)当 b=1 时,若函数 f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,求 a 的取值范围; (2)当 a>0 且 b=0 时,求证:函数 f(x)存在唯一零点的充要条件是 a=1; (3)设 m,n∈(0,+∞),且 m≠n,求证: 【解析】 (1)当 b=1 时,f(x)=ln x则 f'(x)= -

<
,

.

=

.

因为 f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,所以 f'(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立, 即 x2+(2-2a)x+1≥0 在(0,+∞)上恒成立, 当 x∈(0,+∞)时,由 x2+(2-2a)x+1≥0,得 2a-2≤x+ . 设 g(x)=x+ ,x∈(0,+∞),所以 g(x)≥2,当且仅当 x= 时,等号成立. 即 x=1 时,g(x)有最小值 2,所以 2a-2≤2,解得 a≤2.所以 a 的取值范围是(-∞,2]. (2)当 a>0 且 b=0 时,f(x)=ln x,则 f'(x)= - = (x>0).

当 x∈(0,a)时,f'(x)<0,f(x)在(0,a)上单调递减; 当 x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增. 综上所述,f(x)的单调递减区间为(0,a);f(x)的单调递增区间为(a,+∞).

①充分性:a=1 时,在 x=1 处 f(x)有极小值也是最小值,即 f(x)min=f(1)=0. f(x)在(0,+∞)上有唯一的一个零点 x=1. ②必要性:f(x)=0 在(0,+∞) 上有唯一解,且 a>0,f(a)=0,即 ln a-a+1=0.
令 g(a)=ln a-a+1,则 g'(a)= -1=

.

当 0<a<1 时,g'(a)>0,g(a)在(0,1)上单调递增;当 a>1 时,g'(a)<0,g(a)在(1,+∞)上单调递减.

g(a)max=g(1)=0,f(a)=0 只有唯一解 a=1.

f(x)=0 在(0,+∞)上有唯一解时必有 a=1.
综上,当 a>0 且 b=0 时,f(x)=0 在(0,+∞)上有唯一解的充要条件是 a=1. (3)不妨设 m>n>0,则 >1,要证 只需证 只需证 ln

<
,

,

< -

,即证 ln

>

>0,
,由(1)知,h(x)在(1,+∞)上是单调增函数,又 >1,则有 h( )>h(1)=0,即 ln

设 h(x)=ln x-

-

>0 成立,所以

<

.

【点评】函数 f(x)在区间 D 上单调递增,一般转化为其导函数 f'(x)≥0 恒成立,再利用不等式恒成立知识求解.函数零点的讨论 通常是利用导数研究函数性质,充要条件的证明基本是从充分性、 必要性两个方面证明,而代数中的不等式证明一般是利用函数性 质以算代证. 热点三:函数问题中的主元思想 许多数学问题中,一般都含有常量、变量或参数,这些参变量中必有一个处于突出的主导地位,把这个参变量称为主元,构造出 关于主元的方程.主元思想有利于回避多元的困扰,解方程的实质就是分离参变量. 已知 f(t)=log2t,t∈[ 【解析】∵t∈[ ,8],对于 f(t)值域内的所有实数 m,不等式 x2+mx+4>2m+4x 恒成立,求 x 的取值范围.

,8],∴f(t)∈[ ,3],原题转化为 m(x-2)+(x-2)2>0 恒成立,左边可以看作是 m 的一次函数(这里思维的转化很重要),

当 x=2 时,不等式不成立,∴x≠2. 令 g(m)=m(x-2)+(x-2)2,m∈[ ,3], 问题转化为 g(m)在 m∈[ ,3]上恒大于 0,则 解得 x>2 或 x<-1.

【点评】1.首先明确本题是求 x 的取值范围,这里注意另一个变量 m,不等式的左边恰是 m 的一次函数,因此依据一次函数的 特性得到解决.在多个字母变量的问题中,选准“主元”往往是解题的关键. 2.在解决不等式恒成立问题时,一种最重要的思想方法就是构造恰当的函数,利用函数的图象和性质解决问题.同时要注意在 一个含多个变量的数学问题中,需要确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化,一般地,已知存在范围的量为变 量,而待求范围的量为参数. 热点四:函数与方程思想在解决优化问题中的应用 数学中的一些优化问题,通过利用函数与方程思想的方法可以使问题更加直观,更加容易求解.

如图所示,在单位正方体 ABCD—A1B1C1D1 的面对角线 A1B 上存在一点 P,使得 AP+D1P 最短,则 AP+D1P 的最 小值为

. =
,

【解析】设 A1P=x,则在△AA1P 中,AP= 在 Rt△D1A1P 中,D1P=

.

∴y=AP+D1P=

+

.

下面求对应的函数 y 的最小值. 将函数 y 变形,得 y=

+

,

它表示平面直角坐标系中,在 x 轴上存在一点 P(x,0),它到点 M( , )与到点 N(0,-1)的距离之和最小,∴当 P、M、N 三点共线 且点 P 在 MN 之间时,这个值最小, 为 【答案】 【点评】 解析几何、 立体几何及其实际应用等问题中的最优化问题,一般利用函数思想来解决,思路是先选择恰当的变量建立 目标函数,再用函数的知识来解决.

=

.

【化归与转化的思想】
1.化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化.除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实 现的.从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程.化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想,解题的过程实 际上就是一步步转化的过程,所以化归与转化是高考必考的思想方法. 2.化归与转化应遵循的基本原则: (1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于运用熟知的知识、 经验来解决问题;(2)简单化原则:将复杂的问题化归 为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据;(3)和谐化原则:化归问题的条件或 结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们 的思维规律;(4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决;(5)正难则反原则:当问题正面解决遇到困难时,可考 虑问题的反面,设法从反面去探求,使问题获解. 3.常见的化归与转化的方法.化归与转化思想方法用在研究、 解决数学问题时,思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到 另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化是解决问题的有效策略,同时也是成功的思维方式.常见的转化方 法有: (1)直接转化法:将原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. (2)换元法:运用“换元”将式子转化为有理式或使整式降幂等,将较复杂的函数、 方程、 不等式问题转化为易于解决的基本问题. (3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系,通过互相变换获得转化途径. (4)等价转化法:将原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到化归的目的. (5)特殊化方法:将原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. (6)构造法:“构造”一个合适的数学模型,将问题变为易于解决的问题. (7)坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径. (8)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定. (9)参数法:引进参数,使原问题转化为熟悉的形式进行解决. (10)补集法:如果正面解决原问题有困难,那么可将原问题的结果看作集合 A,而将包含该问题的整体问题的结果类比为全集

U,通过解决全集 U 及补集

UA

获得原问题的解决,体现了正难则反的原则.

热点一:以换元为手段的化归与转化 运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的问题. 已知 a∈R,求函数 y=(a-sin x)(a-cos x)的最小值. 【解析】函数可化为 y=sin x·cos x-a(sin x+cos x)+a2.

设 t=sin x+cos x,则 t= 故 t∈[, ].

sin(x+ ),

而 sin x·cos x= [(sin x+cos x)2-1]= (t2-1), 于是,y=f(t)=a2-at+ (t2-1)= t2-at+a2- = (t-a)2+ a2- . 原问题化归为求二次函数 f(t)= (t-a)2+ a2- 在 t∈[(1)当(2)当 a> ≤a ≤ 时,f(t)min=f(a)= a2- ; , ]上单调递减, , ]上的最值问题.

时,f(t)在[)=a2-

f(t)min=f(
(3)当 a<-

a+ ;
, ]上单调递增,

时,f(t)在[)=a2+

f(t)min=f(-

a+ .

【点评】形如 f(x)=asin2x+bsin x+c 的函数,其最值的求解可利用换元法,通过配方转化为一元二次函数的最值问题处理,但要 注意三角函数自身取值范围的限制.对于解析式中含有 sin x+cos x 和 sin xcos x 的函数,往往通过换元也可转化为一元二次函数 的最值问题,利用配方法求解最值.基本的思维过程是:换元、整理、配方、求最值. 热点二:正向思维与逆向思维的化归 在数学解题中,通常的思维方式是从已知到结论,然而有些数学题按照这种思维方式解则比较困难,而且常常伴随着较大的运 算量,有时甚至无法解决.在这种情况下,我们要多注意定理、公式、规律性例题的逆用,正难则反往往可以使问题变得更简单. 若二次函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1 在区间[-1,1]内至少存在一个值 c 使得 f(c)>0,求实数 p 的取值范围. 【解析】如果在[-1,1]内没有值满足 f(c)>0, 则 ? ?p≤-3 或 p≥ ,

取补集为-3<p< ,即为满足条件的 p 的取值范围. 【点评】正难则反,利用补集求得其解,这就是补集思想,充分体现对立统一、相互转化的思想方法.一般地,题目若出现多种成 立的情形,则不成立的情形相对很少,从反面考虑较简单,因此,间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中. 热点三:命题与等价命题的化归 由命题 A(或问题 A)可推出命题 B(或问题 B),反之,命题 B(或问题 B)亦可推出命题 A(或问题 A).即 A 与 B 互为充要条件时, 称 A 与 B 等价.利用这种等价性将原命题(或原问题)转化成易于处理的新命题(或新问题)的方法可以把不熟悉的问题向熟悉的问 题转化. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且只有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范 围是

.

【解析】由题设得,若圆上有四个点到直线的距离为 1,则需圆心(0,0)到直线的距离 d 满足 0≤d<1.

∵d=

= ,∴0≤|c|<13,即 c∈(-13,13).

【答案】(-13,13) 【点评】本题通过等价转化,将直线与圆的位置关系问题转化为点到直线的距离,化归为不等式求解问题. 热点四:联想几何意义进行化归与转化 有些数学问题直接求解较为困难,通过进行恰当的变化,将原问题转化为一个较熟悉的问题,通过对新问题的求解,达到解决原 问题的目的. 记 F (a , θ )= 【解析】F(a,θ)= ,对于任意实数 a 和 θ,F(a,θ)的最大值与最小值的和是

.

=
,-

,几何意义是动点(cos θ,sin θ)与动点()在射线 y=x(x≤,或 x≥ ,

,-

)连线的斜率,其中动点(cos θ,sin θ)在

圆心为原点,半径为 1 的圆上,动点((,-

)上,作出图形可知 F(a,θ)的最大值与最小值分别是过点 )或(,)时,两条切线的斜率分别是最大值与最小值,

)作圆 x2+y2=1 的两条切线的斜率,且当(, )作圆 x2+y2=1 的切线方程为 y-

)为(

不妨设过点(

=k(x-

),即为 kx-y+

(1-k)=0,所以

=1,化简得 k2-4k+1=0,由韦达定理

得 k1+k2=4,即 F(a,θ)的最大值与最小值的和为 4. 【答案】4 【点评】 分式函数的最值问题经常与过两点的直线的斜率公式联系起来,实现代数与几何之间的等价转化.还有很多类似的转 化,如求某一区间上函数 z=2x+y 的最值,其几何意义与直线的纵截距有关,函数 z=x2+y2 的最值,与点(x,y)到原点的距离的平方有 关,平时学习时要注意积累.

【分类讨论的思想】
1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法,也是一种数学思想,这种思想对于简化研究对象,发展人的思维有着重要帮助,因此, 有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置.当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分 类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再 积零为整”的策略. 2.数学中的一些结论、公式、方法对于一般情形是正确的,但对某些特殊情形或者较为隐蔽的“个别”情况未必成立,这也是造 成分类讨论的原因,因此在解题时,应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论.常见的“个别”情形略举以下几例: (1)“方程 ax2+bx+c=0 有实数解”转化为“Δ=b2-4ac≥0”时忽略了个别情形:当 a=0 时,方程有解不能转化为 Δ≥0; (2)等比数列{a1qn-1}的前 n 项和公式 Sn= 中的个别情形:q=1 时,公式不再成立,而是 Sn=na1;

(3)设直线方程时,一般可设直线的斜率为 k,但有个别情形:当直线与 x 轴垂直时,直线无斜率,应另行考虑; (4)若直线在两轴上的截距相等,常常设直线方程为 + =1,但有个别情形:截距为 0 时,就不能如此设,应另行考虑. 3.分类讨论的常见类型 (1)由数学概念引起的分类讨论:有的概念本身是分类的,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等. (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等 比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等. (3)由数学运算要求引起的分类讨论:如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负,对数中真数与底数的要求,指数运算中底数 的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域等. (4)由图形的不确定性引起的分类讨论:有的图形类型、位置需要分类,如角的终边所在的象限,点、线、面的位置关系等. (5)由参数的变化引起的分类讨论:某些含有参数的问题,如含参数的方程、 不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同, 或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法. 热点一:根据数学概念分类讨论

当问题中涉及的数学概念、定理、公式和运算性质、法则有范围或条件限制,或者是分类给出的,在不同的条件下有不同的结 论,或在一定的限制条件下才成立,需要分类讨论. 设 0<x<1,a>0 且 a≠1,比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小. 【解析】∵0<x<1,∴0<1-x<1,1+x>1,0<1-x2<1.

①当 0<a<1 时,loga(1-x)>0,loga(1+x)<0, ∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=loga(1-x)-[-loga(1+x)]=loga(1-x2)>0; ②当 a>1 时,loga(1-x)<0,loga(1+x)>0, ∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x2)>0.
由①、②可知,|loga(1-x)|>|loga(1+x)|. 【点评】本题是根据绝对值的概念和法则来进行分类的. 热点二:几何问题中的分类讨论 几何问题中出现的分类讨论主要是涉及几何位置不确定、图形变化引起的参数的变化等需要进行分类讨论的情况.当然在直 线方程中也会出现斜率是否存在,截距是否存在的讨论.在解析几何中出现的最值问题也会出现因图形变化而引发参量取值变化 的分类讨论.

m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量 a=(mx,y+1),b=(x,y-1),a⊥b,动点 M(x,y)的轨迹为 E.
(1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; (2)证明:当 m= 时,存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B,且 OA⊥OB(O 为坐标原点),并 求该圆的方程. 【解析】(1)因为 a⊥b,所以 a·b=0, 即(mx,y+1)·(x,y-1)=0, 故 mx2+y2-1=0,即 mx2+y2=1, 当 m=0 时,该方程表示两条直线; 当 m=1 时,该方程表示圆; 当 m>0 且 m≠1 时,该方程表示椭圆; 当 m<0 时,该方程表示双曲线. (2)当 m= 时,轨迹 E 的方程为 +y2=1, 设圆的方程为 x2+y2=r2(0<r<1), 当切线斜率存在时,可设圆的切线方程为 y=kx+t, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则

=r,即 t2=r2(1+k2). ①

因为 OA⊥OB,所以 x1x2+y1y2=0, 即 x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0, 整理得(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0. 由方程组 消去 y 得



(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0. 由韦达定理得 (1+k2)


代入②式并整理得

-

+t2=0,

即 5t2=4+4k2,结合①式有 5r2=4, 即 r= ∈(0,1),

当直线斜率不存在时,x2+y2= 也满足题意, 故所求的圆的方程为 x2+y2= . 【点评】本题第(1)小问中所得轨迹方程含有参数,故需要对参数取值进行讨论.第(2)小问中出现了常见的直线斜率是否存在 的讨论. 热点三:根据公式、定理、性质的条件分类讨论 当问题中涉及的数学定理、公式和性质有范围或条件限制,或者是分类给出的,在不同的条件下有不同的结论,或在一定的限 制条件下才成立,需要分类讨论. 设等比数列{an}的公比为 q,且前 n 项和 Sn>0(n=1,2,3,…). (1)求 q 的取值范围; (2)设 bn=an+2- an+1,记{bn}的前 n 项和为 Tn,试比较 Sn 与 Tn 的大小. 【解析】(1)由{an}是等比数列且 Sn>0,可得 a1=S1>0,q≠0. 当 q=1 时,Sn=na1>0; 当 q≠1 时,Sn= 上式等价于

>0,即 ①或

>0(n=1,2,3,…). ②(n=1,2,3,…).

由①得 q>1,由②得-1<q<1 且 q≠0,

∴q 的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).
(2)由 bn=an+2- an+1,得 bn=an(q2- q),

∴Tn=(q2- q)Sn, ∴Tn-Sn=Sn(q2- q-1)=Sn(q+ )(q-2).
又∵Sn>0,-1<q<0 或 q>0,

∴当-1<q<- 或 q>2 时,Tn>Sn;
当- <q<0 或 0<q<2 时,Tn<Sn; 当 q=- 或 q=2 时,Tn=Sn. 【点评】本题涉及等比数列前 n 项和公式的合理选取,要注意对公比 q 的两种情况①q=1,②q≠1 的讨论. 热点四:分类讨论不要造成漏解 问题在不同条件下有不同的结论,因此,讨论问题时要全,不要遗漏,以免出现漏解. 已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线的方程为 2x-y=0,则该双曲线的离心率为 【解析】当双曲线的焦点在 x 轴上时, =2,解得 e= ;

.

当双曲线的焦点在 y 轴上时, =2, = ,解得 e= ,所以该双曲线的离心率为 【答案】 或

或 .

【点评】双曲线的渐近线方程与焦点位置有关,本题中焦点位置不确定,所以要对焦点位置进行讨论,当焦点在 x 轴上时,渐近 线方程为 y=± x,当焦点在 y 轴上时,渐近线方程为 y=± x.

【数形结合的思想】
数与形是数学研究的两个重要方面,在研究过程中,数形结合既是一种重要的数学思想,又是一种常用的数学方法.数形结合是 历届高考的重点和热点.数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其中“以形助数”是其主要方面,其方法的关键是根据题设 条件和探求目标,联想或构造出一个恰当的图形,利用图形探求解题途径,对于填空题可以简捷地直接获得问题的结果,对于解答题 要重视数形转换的等价性论述,避免利用图形的直观性代替逻辑推理得到结果.利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题 的本质.函数的图象、方程的曲线、集合的韦恩图或数轴表示等,是“以形示数”,而解析几何的方程、斜率、距离公式、向量的坐标 表示等,则是“以数助形”,还有导数更是数形结合的产物,这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台. 热点一:数形结合在向量中的应用 向量作为数学的一个基本概念,成了沟通代数、几何与三角函数的工具.由于向量既有代数表示,也有几何表示,是数形结合的 重要载体. 已知 【解析】

=(3,-4),将

绕着原点逆时针旋转 45°后得到向量

,则 D 点的坐标为

.

如图,将

所在射线看作 α 的终边,x 正半轴看作始边,由三角函数定义可得 A(5cos α,5sin α),即 , , - ).

=(5cos α,5sin α),又将

绕着原点逆时针旋转 45°后得到向量 所以

=(5cos(α+45°),5sin(α+45°))=( (5cos α-5sin α), (5sin α+5cos α))=(
,- )

【答案】(

【点评】根据旋转的性质结合坐标系内点的坐标特征解答. 热点二:数形结合在解析几何中的应用 解析几何主要研究的是图形的特征以及图象间的位置关系.初中是直接运用定理进行证明研究,高中则是通过建立直角坐标 系,用点的坐标和曲线的方程,通过代数方法来计算图形的特征和位置关系等问题,其本质原因是高中阶段对几何问题的研究涉及 具体的长度、角度、面积等,故需要用代数方法来研究几何问题.

已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA、PB 是圆 x2+y2-2x-2y+1=0 的两条切线,A、B 是切点,C 是圆心,求四边 形 PACB 面积的最小值. 【解析】(法一)从运动的观点看问题,当动点 P 沿直线 3x+4y+8=0 向左上方或向右下方无穷远处运动时,Rt△PAC 的面积

SRt△PAC= PA·AC= PA 越来越大,从而 S 四边形 PACB 也越来越大;当点 P 从左上、 右下两个方向向中间运动时,S 四边形 PACB 变小,显然,
当点 P 到达一个最特殊的位置,即 CP 垂直直线 3x+4y+8=0 时,S 四边形 PACB 应有唯一的最小值,此时 PC=

=3,从而

PA=

=2

. .

∴(S 四边形 PACB)min=2× ×PA×AC=2

(法二)利用等价转化的思想,设点 P 的坐标为(x,y), 则 PC= 得 PA= ,由勾股定理及 AC=1,

=

, ,

从而 S 四边形 PACB=2S△PAC=2· PA·AC=PA=

从而欲求 S 四边形 PACB 的最小值,只需求 PA 的最小值,只需求 PC2=(x-1)2+(y-1)2 的最小值,即定点 C(1,1)与直线 3x+4y+8=0 上动点 P(x,y)距离的平方的最小值,它也就是点 C(1,1)到直线 3x+4y+8=0 的距离的平方,这个最小值 d2=( )2=9,

∴(S 四边形 PACB)min=

=2

.
中的 y 由 3x+4y+8=0 解出,代入后化为关于 x 的一元二次函数,

(法三)利用函数思想,将法二中 S 四边形 PACB= 然后用配方法求最值,也可得(S 四边形 PACB)min=2

.

【点评】本题的解答运用了多种数学思想方法:数形结合思想,运动变化的思想,等价转化的思想以及函数思想,灵活运用数学 思想方法,能使数学问题得以快速解决. 热点三:数形结合在函数中的应用 函数的图象是函数关系的一种表示,它是从“形”的方面刻画函数的变化规律.函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量 关系问题提供了“形”的直观性,它是探究解题途径,获得问题结果的重要工具.函数图象和解析式是函数关系的主要表现形式,实质 是相同的,在解题时经常要互相转化,尤其是在处理较为繁琐的问题时,要充分发挥图象的直观作用. (1)若关于 x 的方程 (2)已知函数 f(x)=

=kx2 有四个不同的实数根,则实数 k 的取值范围是

. .

若存在 x1,x2,当 0≤x1<x2<2 时,f(x1)=f(x2),则 x1f(x2)的取值范围是

【解析】(1)易知方程

=kx2 有一个根是 0,当 x≠0 时,原方程可变形为 =

有三个非零根,所以即为函数 y= 与

y=

有三个横坐标不是 0 的交点,作出图象如图,所以- < <0,解得 k<-4.

(2)作出函数 f(x)的图象如图,由图象可知当 0≤x1< ≤x2<2 时,有 f(x1)=f(x2)?x1+ = 所以 x1f(x2)=(

, , ),即为 x1f(x2)的取值范围.

-)
(2)[

,令 , )

=t,t∈[ ,1),由二次函数图象可知函数递增,所以 y=(t- )t,y∈[

【答案】(1)(-∞,-4)

【点评】(1)有关比较复杂的方程根的个数问题,一般要对方程化简变形,利用数形结合的方法求解,在画图时,要注意尽可能研 究动直线与定曲线的交点个数. (2)求解取值范围的问题,一般要先建立目标函数,而本题在建立目标函数的过程中,图象起了直观、 明了的作用,而求二次函数 在给定区间的值域,实质也是图象法的应用.

一、选择题 1.已知 x+y+1=0,则 A.3 B. C.2 的最小值是( D. ). ).

2.集合 A={x|x= ,n∈Z},B={x|x=nπ+ ,n∈Z},则( A.A=B C.B?A 3.已知函数 y= B.A?B D.以上都不正确

(x∈R,且 a≠0)的值域为[-1,4],则 a,b 的值为(

).

A.a=4,b=3 B.a=-4,b=3 C.a=±4,b=3 D.a=4,b=±3 ,则 k 的取值范围是( ).

4.直线 y=kx+3 与圆(x- )2+(y-3)2= 相交于 M,N 两点,若|MN|≥ A.[- ,0] C.[, B.[- , ] ] D.[- ,0]

5.已知 a=(-1,-2),b=(1,λ).若 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是( A.(-∞,- ) B.(- ,+∞)

).

C.(- ,2)∪(2,+∞) D.(2,+∞)

6.函数 y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到 n(n≥2)个不同的数 x1,x2,…,xn,使得 ( ). A.{3,4} C.{3,4,5} B.{2,3,4} D.{2,3} ).

=

=…=

,则 n 的取值范围是

7.在等差数列{an}中,若 S9=18,Sn=240,an-4=30,则 n 的值为( A.17 B.16 C.15 D.14 8. , , (其中 e 为自然常数)的大小关系是( A. < < C. < < B. < < D. < < ).

9.如图所示,从双曲线 - =1(a>0,b>0)的左焦点 F 引圆 x2+y2=a2 的切线,切点为 T,延长 FT 交双曲线右支于 P 点,若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则|MO|-|MT|与 b-a 的大小关系为( ).

A.|MO|-|MT|>b-a C.|MO|-|MT|<b-a 二、填空题

B.|MO|-|MT|=b-a D.不确定

10.已知函数 f(x)=3sin ,如果存在实数 x1,x2,使得对任意的实数 x,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为

.


11.设 F1、F2 为椭圆 + =1 的两个焦点,P 为椭圆上一点.已知 P、F1、F2 是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则 值为

. .

12.过点 M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1 作切线,所得切线方程是 三、解答题 13.已知函数 f(x)= x3+x2-2.

(1)设数列{an}是正数组成的数列,前 n 项和为 Sn,其中 a1=3.若点(an,

-2an+1)(n∈N*)在函数 y=f'(x)的图象上,求证:点(n,Sn)也在

y=f'(x)的图象上.
(2)求函数 f(x)在区间(a-1,a)内的极值.

第三篇

阅 读 专 题

专题 9 高考解题中的数学思想
对点集训 1.B 2.C 3.C 4.B 5.C 6.B 7.C 8.A 9.B

10.2π 13.略

11. 或 2

12.x=2 或 24x-7y-20=0


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