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2016-2017年高中数学人教B版选修2-3练习2.2.2 第1课时椭圆的几何性质.doc


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第二章
一、选择题

2.2

2.2.2

第 1 课时

x2 y2 1.(2015· 广东文,8)已知椭圆 + 2=1(m>0)的左焦点为 F1(-4,0),则 m= 25 m 导学号 64150317 ( A.2 C.4 [答

案] B [解析] 由题意得:m2=25-42=9,因为 m>0,所以 m=3,故选 B. x2 y2 2.已知椭圆 + =1 的焦点在 y 轴上,若焦距为 4,则 m= 10-m m-2 导学号 64150318 ( A.4 C.7 [答案] D [解析] 因为焦点在 y 轴上, m-2>0 ? ? 所以?10-m>0 ? 6<m<10. ? ?m-2>10-m 又焦距为 4,所以 m-2-10+m=4? m=8. 3.已知椭圆的焦距为 2 7,椭圆上一点到两焦点的距离的和为 8,则椭圆的标准方程 为导学号 641503197 ( x2 y2 A. + =1 16 25 x2 y2 B. + =1 16 9 x2 y2 C. + =1 9 16 x2 y2 x2 y2 D. + =1 或 + =1 16 9 9 16 [答案] D [解析] ∵2c=2 7,∴c= 7,∵2a=8,∴a=4. 又∵焦点不知在哪个轴上,∴标准方程有两个,故选 D. 4.椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点,则椭圆离心率为 ) ) B.5 D.8 ) B.3 D.9

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导学号 64150320 ( A. C. 2 2 5 3

) B. D. 3 2 6 3

[答案] A c 2 [解析] 由题意知 b=c,∴a= 2b,∴e= = . a 2 x2 y2 5.椭圆 2 + 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2.若|AF1|, a b |F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为导学号 64150321 ( 1 A. 4 1 C. 2 [答案] B [解析] 本题考查椭圆方程,等比数列知识、离心率等. ∵A、B 分别在左右顶点,F1、F2 分别为左右焦点,∴|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|= a+c, 又由|AF1|、 |F1F2|、 |F1B|成等比数列得(a-c)(a+c)=4c2, 即 a2=5c2, 所以离心率 e= 6.我们把离心率等于黄金比 5 . 5 B. 5 5 )

D. 5-2

5-1 x2 y2 的椭圆称为“优美椭圆”.设 2 + 2=1(a>b>0)是优美 2 a b

椭圆,F、A 分别是它的左焦点和右顶点,B 是它的短轴的一个端点,则∠ABF 等于 导学号 64150322 ( A.60° C.90° [答案] C |AB|2+|BF|2-|AF|2 [解析] cos∠ABF= 2· |AB|· |BF| ?2 + a +b -? a +c? = = 2· |AB|· |BF|
2 2 2

) B.75° D.120°

5-1 2 5-1 2 2 ? a -? 1 + ?a 2 2 2· |AB|· |BF|

? =

5+3 5+ 3 2 - ?a 2 2 =0, 2· |AB|· |BF|

∴∠ABF=90° ,选 C. 二、填空题 1 7.一椭圆的短半轴长是 2 2,离心率是 ,焦点为 F1,F2,弦 AB 过 F1,则△ABF2 的 3
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周长为____________. [答案] 12

导学号 64150323

1 [解析] ∵离心率是 ,∴a=3c, 3 又有 a2-c2=b2=8, ∴(3c)2-c2=8∴c2=1, ∴a2=9,易知△ABF2 的周长为 4a, ∴周长为 12. 8.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 3 ,且 G 上一点到 G 的 2

两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为________.导学号 64150324 x2 y2 [答案] + =1 36 9 [解析] 考查椭圆的定义与标准方程. x2 y2 设椭圆 G 的标准方程为 2 + 2=1 a b (a>b>0),半焦距为 c,则

2a=12 ? ? ?a=6 ?c 3 ,∴? ,∴b2=a2-c2=36-27=9, c = 3 3 ? = ? ?a 2 x2 y2 ∴椭圆 G 的方程为 + =1. 36 9 三、解答题 x2 y2 9.设椭圆方程为 2 + 2=1(a>b>0),短轴的一个顶点 B 与两焦点 F1、F2 组成的三角形 a b 2 的周长为 4+2 3,且∠F1BF2= π,求椭圆方程.导学号 64150325 3 c 3 ? ? =cos30° = , a 2 [解析] 由题意知? ? ?2? a+c?=2? 2+ 3?, 3 ? ?c= a, ?a=2, 2 ?? ?? ?c= 3, ? ?a+c=2+ 3, x2 ∴b2=a2-c2=1,∴椭圆方程为 +y2=1. 4

一、选择题 x2 y2 1 1.设椭圆 2 + 2=1(a>b>0)的离心率为 e= ,右焦点为 F(c,0),方程 ax2+bx-c=0 的 a b 2
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两个实根分别为 x1 和 x2,则点 P(x1,x2)的位置导学号 64150326 ( A.必在圆 x2+y2=2 内 C.必在圆 x2+y2=2 外 [答案] A

)

B.必在圆 x2+y2=2 上 D.以上三种情形都有可能

1 c 1 [解析] 由 e= 知 = ,a=2c.由 a2=b2+c2 得 b= 3c,代入 ax2+bx-c=0,得 2cx2 2 a 2 + 3cx-c=0,即 2x2+ 3x-1=0,则 x1+x2=- 7 = <2. 4 x2 y2 2.(2016· 全国卷Ⅲ理,11)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0)的左焦点, a b A,B 分别为 C 的左,右顶点.P 为 C 上一点,且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交 于点 M, 与 y 轴交于点 E. 若直线 BM 经过 OE 的中点, 则 C 的离心率为 导学号 64150327 ( ) 1 A. 3 2 C. 3 [答案] A x y mc [解析] 设 E(0,m),则直线 AE 的方程为- + =1,由题意可知 M(-c,m- ), a m a m (0, )和 B(a,0)三点共线,则 2 m- mc m m - a 2 2 c 1 = ,化简得 a=3c,则 C 的离心率 e= = . a 3 -c -a 1 B. 2 3 D. 4 3 1 2 2 ,x1x2=- ,x1 +x2=(x1+x2)2-2x1x2 2 2

x2 → → 3.已知椭圆 +y2=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 M 在该椭圆上,且MF1· MF2=0, 4 则点 M 到 y 轴的距离为导学号 64150328 ( 2 3 A. 3 C. 3 3 2 6 B. 3 D. 3 )

[答案] B [解析] 由题意,得 F1(- 3,0),F2( 3,0). → → 设 M(x,y),则MF1· MF2=(- 3-x,-y)· ( 3-x,-y)=0, 整理得 x2+y2=3. ① x2 又因为点 M 在椭圆上,故 +y2=1, 4

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x2 即 y2=1- . 4



3 2 6 将②代入①,得 x2=2,解得 x=± . 4 3 2 6 故点 M 到 y 轴的距离为 . 3 x2 y2 → → 4.已知 F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆 2 + 2=1 的两个焦点,P 为椭圆上一点且PF1· PF2=c2, a b 则此椭圆离心率的取值范围是导学号 64150329 ( A.[ C.[ 3 ,1) 3 3 2 , ] 3 2 1 1 B.[ , ] 3 2 D.(0, 2 ] 2 )

[答案] C → → [解析] 设 P(m,n),PF1· PF2=c2=(-c-m,-n)· (c-m,-n)=m2-c2+n2, ∴m2+n2=2c2,2c2-m2=n2①, x2 y2 把 P(m,n)代入椭圆 2 + 2=1,得 b2m2+a2n2=a2b2②, a b 把①代入②得 m2= a2b2-2a2c2 ≥0, b2-a2

c 3 ∴a2b2≤2a2c2,∴b2≤2c2,∴a2≤3c2,∴e= ≥ . a 3 又 m2= a2b2-2a2c2 2 ≤a , b2-a2

c 2 ∴a2≥2c2,∴e= ≤ . a 2 综上知此椭圆离心率的取值范围是[ 二、填空题 3 5.已知椭圆的长轴长为 20,离心率为 ,则该椭圆的标准方程为________. 5 导学号 64150330 [答案] x2 y2 y2 x2 + =1 或 + =1 100 64 100 64 3 2 , ],故选 C. 3 2

c 3 [解析] 因为 2a=20,e= = ,所以 a=10,c=6,b2=a2-c2=64.由于椭圆的焦点可 a 5 x2 y2 y2 x2 能在 x 轴上,也可能在 y 轴上,所以所求椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 100 64 100 64 6.以正方形 ABCD 的相对顶点 A,C 为焦点的椭圆,恰好过正方形四边的中点,则该 椭圆的离心率为________.导学号 64150331
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[答案]

10- 2 2 2 ,CE= 2 1 5 12+? ?2= , 2 2

[解析] 连接 CE,设 AD=1,则 AC= 2,即 c=

1 5 ∴2a=AE+CE= + , 2 2 1 5 ∴a= + , 4 4 2 2 10- 2 c ∴e= = = . a 1 2 5 + 4 4 三、解答题 x2 y2 7. 设 P 是椭圆 2 + 2=1(a>b>0)上的一点,F1、F2 是椭圆的焦点,且∠F1PF2=90° ,求 a b 证:椭圆的圆心率 e≥ 2 . 导学号 64150332 2

[证明] 证法一:∵P 是椭圆上的点,F1、F2 是焦点,由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|= 2a, ① 在 Rt△F1PF2 中,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2, 由①2,得|PF1|2+2|PF1||PF2|+|PF2|2=4a2, ∴|PF1|· |PF2|=2(a2-c2), ②

由①和②,知|PF1|,|PF2|是方程 z2-2az+2(a2-c2)=0 的两根,且两根均在(a-c,a+ c)之间. Δ≥0 ? ? c 1 2 -c? >0 可得( )2≥ ,即 e≥ . 令 f(z)=z2-2az+2(a2-c2)则?f? a a 2 2 ? ?f? a+c? >0 证法二:由题意知 c≥b,∴c2≥b2=a2-c2, c2 1 2 ∴ 2≥ ,故 e≥ . a 2 2 x2 y2 8.过椭圆 + =1 内一点 M(2,1)的一条直线与椭圆交于 A,B 两点,如果弦 AB 被 M 16 4 点平分,那么这样的直线是否存在?若存在,求其方程;若不存在,说明理由.
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导学号 64150333 [解析] 设所求直线存在,方程 y-1=k(x-2),代入椭圆方程并整理,得(4k2+1)x2- 8(2k2-k)x+4(2k2-1)2-16=0①.设直线与椭圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2
2 2 8? 2k -k? x1+x2 4? 2k -k? 是方程①的两根,所以 x1+x2= .又 M 为 AB 的中点,所以 = 2 2 2 4k +1 4k +1

1 1 =2,解得 k=- .又 k=- 时,使得①式 Δ>0,故这样的直线存在,直线方程为 x+2y-4 2 2 =0. 9.已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍,且过点 A(3,0),并且以坐标轴为对称轴,求椭 圆的标准方程.导学号 64150334
?a=3, ? x2 [解析] 解法一:若椭圆的焦点在 x 轴上,由题意得? ∴椭圆方程为 +y2=1. 9 ?b=1. ?

若椭圆的焦点在 y 轴上,
?a=9, ? 由题意得? ? ?b=3.

y2 x2 ∴椭圆方程为 + =1. 81 9 x2 y2 x2 综上所述,椭圆方程为 +y2=1 或 + =1. 9 81 9 x2 y2 解法二:设椭圆方程为 + =1(m>0,n>0,m≠n), m n 9 9 ? ? ?m=1, ?m-1, 由题意得? 或? ? ? ?2 m=3· 2 n ?2 n=3· 2 m,
? ? ?m=9, ?m=9, 解得? 或? ?n=1 ? ? ?n=81.

x2 2 y2 x2 ∴椭圆方程为 +y =1 或 + =1. 9 81 9

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