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平面向量的平行与垂直


平面向量的平行与垂直
教学目标:理解向量共线定理,理解用坐标表示的平面向量共线的条件;会用数量积判断两 个非零向量是否垂直。2010 年考试说明要求 B。 知识点回顾: ? ? ? ? (1)a ⊥ b ? a · = b

? ? ? ? ; 已知 a =(x1, 1),b = 2, 2) 则 a · = (2) y (x y , b ? ,| a |= ? ? ,a ⊥b ?



? ? cos< a , b >=

b ; (3)若 a ? ( x1 , y1 ), ? ( x 2 , y 2 ),

则 a ∥ b 的充要条件是____________, (4)若 a // b,则b ? ______a,(________) 基础训练: 1.已知 a ? 5,? (3,2), a ? b ,则 a 的坐标为 _______ b

2. 已知 a ? ( 3, 5 ), b ? a, 且 | b |? 2, 则b的坐标为 _______

3.已知向量 OA ? ( 5, 12 ) , 将 OA 绕原点按逆时针方向旋转 90? 得到 OB ,则与 OB 同向的单位向 量是__________

?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

4.已知向量 a ? (?3,4) ,向量 b 满足 b ∥ a ,且 | b |? 1 ,则 b =

? ? ? 5.已知向量 a ? (2 , 3) , | b |? 2 13 ,且 a // b ,则向量 b 的坐标为

?

?

典型例题:
?? ? B ?ABC 中内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,向量 m ? (2sin B, ? 3), n ? (cos 2 B, 2cos 2 ? 1) 且 2 ?? ? m / /n ; (Ⅰ)求锐角 B 的大小, (Ⅱ)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S ?ABC 的最大值

已知点 A(1 , 1) 和单位圆上半部分上的动点 B ; (1) OA ? OB ,求向量 OB ; 若 ⑵求 | OA ? OB | 的最大值.

课堂检测: 1.设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a · b =0,则( a - c )( b - c )最小值为______ ·

2.在△ABC 中,AB=2,D 是 AC 的中点.若→·→=4,则→·→= AB AC AB BD

??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? 2 ??? 2 ? ? ??? ??? ? ? 3. 已知平面上的向量 PA 、 PB 满足 PA ? PB ? 4 , AB ? 2 , 设向量 PC ? 2PA ? PB , PC 则
的最小值是

4.三角形 ABC 中 AP 为 BC 边上的中线, AB ? 3 , AP ? BC ? ?2 ,则 AC =

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5.设向量 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0 , (a ? b) ? c 且 a ? b ,若 | a |? 1 ,
? ? ? 则 | a |2 ? | b |2 ? | c |2 ?



? ? ? ? a 6. 设向量 a 、b 、c 满足, a ? b ? c ?,(a ? b) ? c, ? b, a ? 1 , a ? b ? c 的值是 若 则 0



1 12.已知向量 m ? (1,1), n ? (0, ) ,设向量 OA ? (cos? , sin ? )(? ? [0, ? ])且m ? (OA ? n) ,则 5
tan ? ?



16.已知向量 a ? (1, 2) ,b ? (?2, m) , x ? a ? (t 2 ? 1)b , y ? ?ka ? b , m ? R , k , t 为正实数.(1) 若
? ? ? ? ? ? ? a // b ,求 m 的值;(2) 若 a ? b ,求 m 的值;(3) 当 m ? 1 时,若 x ? y ,求 k 的最小值.

?

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? 1? t


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