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高中数学 《正弦定理》教案(1)


正弦定理
教学目标: 1. 掌握正弦定理及其证明,能够运用正弦定理解决一些简单的三角形度量 问题; 2. 通过对任意三角形的边长和角度关系的探索, 培养学生的自主学习和自主探索能力; 3. 提供适当的问题情境,激发学生的学习热情,培养学生学习数学的兴趣.

教学重点: 正弦 定理及其证明过程. 教学难点: 正弦定理的推导和证明.

>教学过程: 一、问题情境 从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量, 从大禹治水到都江堰的修建, 从天文观测到 精密仪器的制造,人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算.测量河流两岸两码头之间 的距离,确定待建隧道的长度,确定卫星的角度与高度等等,所有这些问题,都可以转化为 求三角形的边或角的问题,这就需要我们进一步探索三角形中的边角关系 . 探索 1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系,在 Rt ?ABC 中,设 C ? 90 ,那么
?

边角之间有哪些关系?

a b c b a a cos C ? 0 , sin B ? , sin C ? 1 ? , cos A ? , cos B ? , tan A ? , , c c c c c b 1 sin A ? cos B , sin B ? cos A , tan A ? …… tan B a b c ? ? 探索 2 在 Rt ?ABC 中,我们得到 ,对于任意三角形,这个结 sin A sin B sin C sin A ?
论还 成立吗? 二、学生活动 把学生分成两组, 一组验证结论对于锐角三角形是否成立, 另一组验证结论对于钝角三 角形是否成立. 学生通过画三角形、测量长度及角度,再进行计算,得出结论成立.

教师再通过几何画板软件进行验 证(如图 1) .对于验证的结果不成立的情况,指出这是由 于测量的误差或者计算的错误造成的.引出课题——正弦定理.

图1 三、建构数学 探索 3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的.不妨设 C 为最大角,若 C 为直

角,我们已经证明结论成立,如何证明 C 为锐角、钝角时结论成立? 师生共同活动, 注意启发、 引导学生作辅助线, 将锐角、 钝角三角形转化为直角三角形, 进而探索证明过程.经过讨论,可归纳出如下证法. 证法一 若 C 为锐角(图 2(1) ) , 过 点 A 作 AD ? BC 于 D , 此 时 有

AD AD b c ? , sin C ? ,所以 c sin B ? b sin C ,即 . c b sin B sin C a c a b c ? ? ? 同理可得 ,所以 . sin A sin C sin A sin B sin C sin B ?
A

c b

B

D

C

(1)

图2

(2)

若 C 为钝角(图 2 ( 2 ) ) ,过点 A 作 AD ? BC ,交 BC 的延长线于 D ,此时有

sin B ?

AD AD a b c ? ? ,且 sin C ? ,同理可得 .综上可得,结论成立. c b sin A sin B sin C
BE 、 CF , D c ? n s iB 利用三角形的面积转化, 先作出三边上的高 AD 、 则A


证法二

BE ? a sin C , CF ? b sin A .

1 1 1 1 bcsinA = ac sin B = bcsinA ,每项同时除以 abc , 2 2 2 2 a b c ? ? 得 sin A sin B sin C
所以 S? ABC ? 探索 4 充分挖掘三角形中的等量关系,可以探索出不同的证明方法,我们知道向量也 是解决问题的重要工具,因此能否从向量的角 度来证明这个结论呢? 在 ?ABC 中,有 BC ? BA ? AC ,设 C 为最大角,过点 A 作 AD ? BC 于 D , (图 3) , 于 是 B C ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? 设 C AD A ? D ? B? A ? A D,A A 与 D AC 的 夹 角 为 ? , 则 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0? B A ? A ?c Do s ( B )A ++C ? A ? D?c , o其 s中 , 当 ?C 为 锐 角 或 者 直 角 时 , 9 0

? ? 90? ? C ; 当 ?C 为 钝 角 时 , ? ? C ? 90? . 故 可 得 c sin B ? b sin C ? 0 , 即
b c a c a b c ? ? ? ? .同理可得 .因此 . sin B si Cn sin A sin C sin A sin B sin C
这里运用向量的数量积将向量等式转化为数量等式, 我们运用不同的方法证明了三角形 中的一个重要定理.

A c b C

B

a

D
图3

探索 5

这个式子中包含哪几个式子?每个式子中有几个量?它可以解决斜三角型中

的哪些类型的问题? 三个式子:

a b b c a c ? ? ? , , . sin A sin B sin B sin C sin A sin C
每个式子中都有四个量,如果已知其中三个可求出第四个. 正弦定理可以解决两类三角形问题: (1)已知两角与任一边,求其他两边和一角(两角夹一边需要先用三角形内角和定理

求出第三角,再使用正弦定理) ; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角) . 四、数学运用 例题 在 ?ABC 中: (1)已知 a ? 16 , b ? 26 , A ? 30 ,求 B , C , c ;
?

(2)已知 a ? 30 , b ? 26 , A ? 30 ,求 B , C , c ;
?

(3)已知 a ? 25 , b ? 11 , B ? 30 ,解这个三角形 .
?

解 (1)由正弦定理得

a b 16 26 ? ? ,即 , ? sin A sin B sin 30 sin B

因此

s iB n?

2 6 s i ?n 3 0 1 3 ? 1 6 1 6

所以 由于 故

B1 ? 5 4 ?. ,或 3 B2 ? 180? ? 54.3? ? 125.7? .
B2 ? A ? 1 2 5? ? .7
?

?3 0

?

? ? 155 .7

180

B2 也符合要求,从而本题有两个解 B1 ? 54.3? 或 B2 ? 125.7? .

①当 B1 ? 54.3? 时, C1 ? 180? ? ( A ? B1 ) ? 180? ? (54.3? ? 30? ) ? 95.7? ,

c1 ?

a sin C1 16sin 95.7? ? ? 32sin 95.7? ? 31.84 . sin A sin 30?

②当 B2 ? 125.7? 时, C2 ? 180? ? ( A ? B2 ) ? 180? ? (125.7? ? 30? ) ? 24.3?

c2 ?

a sin C2 16sin 24.3? ? ? 32sin 24.3? ? 13.17 . ? sin A sin 30
b sin A 26sin 30? 13 ? ,即 sin B ? a 30 30
? ? ?

(2)由正弦定理得 sin B ?
?

所以 B1 ? 25.7 ,或 B2 ? 180 ? 25.7 ? 154.3 . 由于 B2 ? A ? 154.3 ? 30 ? 184.3 ? 180 ,故 B2 不符合要求,
? ? ? ?

从而本题只有一解 B ? 25.7

?

C ? 180? ? ( A ? B) ? 180? ? (25.7? ? 30? ) ? 124.3? ,

c?

a sin C 30sin124.3? ? ? 60sin 55.7? ? 49.57 . ? sin A sin 30 a sin B 25sin 30? 25 ? ? ? 1,所以无解. b 11 22

(3)由正弦定理得 sin A ?

学生思考:已知三角形的两边和其中一边的对角,为什么分别会出 现两解、一解和无 解的情况呢? 巩固练习: 1. (口答) 一个三角形的两角和边分别是 30 和 45 , 若 45 角所对边的长为 8, 那么 30 角所对边的长是 2.(板演) 在 ?ABC 中: (1)已知 A ? 75? , B ? 45? , c ? 3 2 ,求 C , b ; (2)已知 A ? 30? , B ? 120? , b ? 12 ,求 a , c . 3.(板演)根据下列条件解三角形: (1) b ? 40 , c ? 20 , C ? 25
?
? ? ? ?

.

(2) a ? 15 , b ? 20 , A ? 108 五、回顾小结

?

本节 课同学们通过自己的努力,发 现并证明了正弦定理.正弦定理揭示了三角形中任 意两边与其对角的关系,其关系式和谐、对称.它可以解决斜三角型中这样的几类问题:已 知三角形中两边与一边的对角,可求另一边的对角,进而求出其他的边和角;已知三角形中 的两角与任意一边, 可求出其他的边和角; 已知三角形中两边与它们的对角这四个元素中的 两个元素,可研究出另外两个元素的关系. 六、课外作业


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