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基本不等式及其应用(老师)(2016春)


基本不等式(平均值不等式)及其应用 xz 1.已知 x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0 则 2 的( ) y A.最小值为 8 解析:选 D = B.最大值为 8 1 C.最小值为 8 D.最大值为 1 8

xz xz xz = = y2 ?x+2z?2 x2+4xz+4z2

1 1 x 4z ≤ .当且仅 = ,即 x=2z 时取等号. x 4z 8 z x + +4 z x

2ab 2.若 a 是 2-b 与 2+b 的等比中项,则 的最大值为 |a|+|b| A. 2 B.1 C. 2 4 D. 2 2

(

)

解析:∵a 是 2-b 与 2+b 的等比中项, ∴a2=2-b2?a2+b2=2. 2ab 2|a|· |b| 根据基本不等式知 ≤ ≤ |a|+|b| |a|+|b| 2ab 即 的最大值为 1. |a|+|b| 答案:B
2 a2 b2 (a+b) a b 3. 若 a, b 是正常数, a≠b, x, y∈(0, +∞), 则 + ≥ , 当且仅当 = 时取等号. 利 x y x y x+y

a2+b2 =1. 2

2 9 1 用以上结论,函数 f(x)= + (x∈(0, ))取得最小值时 x 的值为 ( x 1-2x 2 A.1 1 B. 5 C.2 1 D. 3

)

2 (2+3)2 a2 b2 (a+b) 22 32 2 3 解析:由 + ≥ 得,f(x)= + ≥ =25.当且仅当 = x y 2x 1-2x 2x+(1-2x) 2x 1-2x x+y

1 时取等号,即当 x= 时 f(x)取得最小值 25. 5 答案:B 4.(2012· 福建理) 下列不等式一定成立的是( ) 1 1 1 2 x2+ ?>lgx(x>0) B. A. lg? sin x + ≥ 2( x ≠ k π , k ∈ Z ) C . x + 1 ≥ 2| x |( x ∈ R ) D. 2 4 ? ? sinx x +1 >1(x∈R) 答案:C [解析] 本题考查不等式的性质以及基本不等式的应用,解题时注意使用不等 1? 1 2 式的性质以及基本不等式成立的条件.对于 A 选项,当 x= 时,lg? ?x +4?=lgx;所以 A 不 2 一定正确;B 命题,需要满足当 sinx>0 时,不等式成立,所以 B 也不正确;C 命题显然正

1 确;D 命题不正确,∵x2+1≥1,∴0< 2 ≤1,所以正确的是 C. x +1 5. (2007 北京理)如果正数 a,b,c,d 满足 a ? b ? cd ? 4 ,那么( ) A. ab ≤ c ? d ,且等号成立时 a,b,c,d 的取值唯一 B. ab ≥ c ? d ,且等号成立时 a,b,c,d 的取值唯一 C. ab ≤ c ? d ,且等号成立时 a,b,c,d 的取值不唯一 D. ab ≥ c ? d ,且等号成立时 a,b,c,d 的取值不唯一 答案:A 6.(2006 重庆理)若 a,b,c>0 且 a(a+b+c)+bc=4-2 3 ,则 2a+b+c 的最小值为 (A) 3 -1 (B)

3 +1

(C) 2 3 +2
2

(D) 2 3 -2

解 析 : 若 a, b ,c ? 0 且 a(a ? b ? c) ? bc ? 4 ? 2 3, 所 以 a ? ab? ac? bc?4 ? 2 3,

4 ? 2 3 ? a 2 ? ab ? ac ? bc ?

1 1 (4a 2 ? 4ab ? 4ac ? 2bc ? 2bc) ≤ (4a 2 ? 4ab ? 4ac ? 2bc ? b 2 ? c 2 ) 4 4

∴ (2 3 ? 2)2 ≤ (2a ? b ? c)2 ,则( 2a ? b ? c )≥ 2 3 ? 2 ,选 D. 7.(2006 重庆文)若 a, b, c ? 0 且 a 2 ? 2ab ? 2ac ? 4bc ? 12 ,则 a ? b ? c 的最小值是 (A) 2 3 (B)3 (C)2 (D) 3

解: (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=12+(b-c)2?12,当且仅当 b=c 时取等 号,故选 A 8.(2008 浙江)已知 a ? 0, b ? 0, 且a ? b ? 2, 则 ( )

ab ?
A.

1 2

ab ?
B.

1 2

C. a ? b ? 2
2 2

D. a ? b ? 3
2 2

2 2 b ? 0, 且 a ? b ? 2 , ∴ 4 ? ( a ? b 2) ? a ?b ?2 a b ?2 ( 2a ? 2 b )∴ 解 : 由 a?0, ,

a 2 ? b2 ? 2 。
9. (2011 重庆理)已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y ? (A)

1 4 ? 的最小值是( a b
(D)5

)

7 2

(B)4

(C)

9 2

答案:C 10.(2009 重庆文)已知 a ? 0, b ? 0 ,则 A.2 B. 2 2 C.4

1 1 ? ? 2 ab 的最小值是( a b
D.5



解析: 【答案】 C 因为

1 1 1 1 ? ? 2 ab ? 2 ? 2 ab ? 2( ? ab ) ? 4 当且仅当 a b ab ab

1 1 ? , a b


1 ? ab ,即 a ? b 时,取“=”号。 ab
a

.

11.(2009 天津理)设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则
b

1 1 ? 的最小值为 a b

A 8

B 4

C1

D

1 4

a b 【解析】因为 3 ? 3 ? 3 ,所以 a ? b ? 1 ,

b a 1 1 1 1 1 b a b a 当且仅当 ? 即 a ? b ? 时 ? ? (a ? b)( ? ) ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4, a b 2 a b a b a b a b
“=”成立,故选 C 1 a 12.(2006 陕西)已知不等式(x+y)(x + y)≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8

解析:不等式(x+y)(

1 a y ax ? )≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则 1 ? a ? ? ≥ a ? 2 a ? 1 x y x y

≥9,∴

a ≥2 或 a ≤-4(舍去),所以正实数 a 的最小值为 4,选 B.
2

13.(2010 四川理) (12)设 a ? b ? c ? 0 ,则 2a ? 是

1 1 ? ? 10ac ? 25c 2 的最小值 ab a(a ? b)

w_w w. k#s5_u.c o*m

(A)2 解析: 2a ?
2

(B)4

(C) 2 5

(D)5

1 1 1 1 ? ? 10ac ? 25c 2 = (a ? 5c) 2 ? a 2 ? ab ? ab ? ? ab a(a ? b) ab a(a ? b)
2

w_w_w.k *s 5*u .c o*m

= (a ? 5c) ? ab ?

1 1 ? a ( a ? b) ? ≥0+2+2=4 ab a ( a ? b)

当且仅当 a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1 时等号成立 如取 a= 2 ,b=

2 2 ,c= 满足条件. 2 5

答案:B

14.(2015.菏泽市高三第二次模拟考试数学(理)试题·10)已知 M 是△ABC 内的一点(不 含边界) ,且 AB ? AC ? 2 3 ?BAC ? 30? 若△MBC,△MAB,△MCA 的面积分别为 x, y, z ,
??? ? ????

记 f ( x, y , z ) ?

1 4 9 ? ? ,则 f ( x, y, z ) 的最小值为( x y z

) D. 48

A. 26

B. 32

C. 36

【命题立意】本题旨在考查平面向量的数量积,三角形的面积公式,柯西不等式. 【解析】 由于 AB · AC =AB· AC· cos∠BAC=2 3 , 则 AB· AC=4, 那么 S△ABC= ∠BAC=1=x+y+z,那么由柯西不等式可得 f(x,y,z)=

1 AB· AC· sin 2

1 4 9 1 4 9 + + =(x+y+z) ( + + ) x y z x y z

≥( x ?

1 9 4 + y ? + z ? )2=(1+2+3)2=36,当且仅当 x=2y=3z 时等号成立. x z y

15 .在△ABC 中, E 、 F 分别为 AB , AC 中点 . P 为 EF 上任一点,实数 x , y 满足

? ??? ? ??? ? ??? PA +x PB +y PC =0.设△ABC,△PBC,△PCA,△PAB 的面积分别为 S, S1 , S2 , S3 ,记
S S1 S ? ?1 , 2 ? ?2 , 3 ? ?3 ,则 ? 2· ? 3 取最大值时,2x+y 的值为( S S S 3 A.-1 B.1 C.- 2
16. (2012· 湖南高考)已知两条直线 l1:y=m 和 l2:y= D D. )

3 2

8 (m>0),l1 与函数 y=|log2x|的图 2m+1

象从左至右相交于点 A,B,l2 与函数 y=|log2x|的图象从左至右相交于点 C,D.记线段 AC b 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a,b.当 m 变化时, 的最小值为( a A.16 2 B.8 2 3 C.8 4 3 D.4 4 )

[解析] 数形结合可知 A,C 点的横坐标在区间(0,1)内,B,D 点的横坐标在区间(1,+ b xB-xD ∞)内,而且 xC-xA 与 xB-xD 同号,所以 = , a xC-xA 根据已知|log2xA|=m,即-log2xA=m,所以
-m

xA=2

.同理可得 xC=2

?

8 2 m ?1

, xB=2m, xD=2

8 2 m ?1

2 ? 2 2 m ?1 b 2 ? 2 2 m ?1 , 所以 = 8 = a 1 1 ?m
m
m

8

8

2 2 m ?1 ? 2

2


8 2 m ?1

?

2m

2 ?2
m

8 2 m ?1 8 2 m ?1

=2

8 2 m ?1+m

2m ? 2 2 m?2

2m+1 1 8 8 1 7 8 , 由于 +m= + - ≥4- = , 当且仅当 = 2 2 2 2 2m+1 2m+1 2m+1

8 2 m ?1
7

2m+1 3 b ,即 2m+1=4,即 m= 时等号成立,故 的最小值为 2 2 =8 2. [答案] B 2 2 a

a b ? a , b 17. 已知 都是负实数,则 a ? 2b a ? b 的最小值是
5 A. 6
B. 2( 2 ?1) C. 2 2 ?1 D. 2( 2 ? 1)

18.已知关于 x 的不等式 2x+ ________.

2 ≥7 在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实数 a 的最小值为 x-a

解析:因为 x>a,所以 2x+

2 2 =2(x-a)+ +2a≥2 x-a x-a

2 2(x-a)· +2a=2a x-a

3 3 +4,即 2a+4≥7,所以 a≥ ,即 a 的最小值为 . 2 2 3 答案: 2

19.若正数 a,b 满足 2a ? b ? 1 ,则 4a ? b ? ab 的最大值为
2 2

.

17 16

20.已知 x, y 满足方程 x ? y ?1 ? 0 ,当 x ? 3 时,则 m ?
2

3x ? y ? 5 x ? 3 y ? 7 ? 的最小 x ?1 y?2

值为 __

_.8

4x y 21. (2015·南京市届高三年级第三次模拟考试·12)已知 x,y 为正实数,则 + 的 4x+y x+y 最大值为 4 【答案】3 【命题立意】本题旨在考查基本不等式及其应用. 4x y 4 x( x ? y ) ? y (4 x ? y ) 4 x 2 ? 8 xy ? y 2 【解析】由于 + = = 2 4x+y x+y (4 x ? y )(x ? y ) 4 x ? 5 xy ? y 2 =1+ 4 3 3xy x y 3 =1+ ≤1+ =3,当且仅当 4 = ,即 y=2x 时 2 x y 4 x ? 5 xy ? y y x x y 4 ? ?5 2 4 ? ?5 y x y x
2



等号成立.

3(3+ 3) 1 1 1 22. 若 0<a、 b、 c<1 满足条件 ab+bc+ca=1, 则 + + 的最小值是____. 2 1-a 1-b 1-c 23. 若实数 a,b,c 满足 2a ? 2b ? 2a?b , 2a ? 2b ? 2c ? 2a?b?c , 则 c 的最大值是
2 24. 已知 a ? b, 二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 对任意实数 x 恒成立,则 M ?

log 2 .

a ? 2b ? 4c 的最 b?a

4 3

小值为

8 .

25.已知正实数 a, b, c 若 a 2 ? b 2 ? 4c 2 ? 1 .求 ab ? 2ac ? 3 2bc 的最大值 【知识点】不等式选讲 【答案解析】

1 1 1 3 ? a 2 ? b 2 ? 4c 2 ? ( a 2 ? a 2 ) ? ( b 2 ? b 2 ) ? (c 2 ? 3c 2 ) 2 2 4 4 1 1 1 3 ? ( a 2 ? b 2 ) ? ( a 2 ? c 2 ) ? ( b 2 ? 3c 2 ) 2 4 2 4 1 ? ab ? 2ac ? 3bc 2
? ab ? 2ac ? 3 2bc ? 2 ,当且仅当 a 2 ?
成立. 综上: ab ? 2ac ? 3 2bc 的最大值为 2 26. (2012· 安徽)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,则下列命题正 确的是________(写出所有正确命题的编号). π π π ①若 ab>c2,则 C< ; ②若 a+b>2c,则 C< ; ③若 a3+b3=c3,则 C< ; 3 3 2 π π ④若(a+b)c<2ab,则 C> ; ⑤若(a2+b2)c2<2a2b2,则 C> . 2 3 [解析] ①②③ 本题考查命题真假的判断,正、余弦定理,不等式的性质,基本不等 式等. a2+b2 b a 1 对于①,由 c2=a2+b2-2abcosC<ab 得 2cosC+1> = + ≥2,则 cosC> ,因为 ab a b 2 π 0<C<π,所以 C< ,故①正确; 3 2 2 对于②,由 4c2=4a2+4b2-8abcosC<a2+b2+2ab 得 ab(8cosC+2)>3(a +b )即 a b? 1 π 8cosC+2>3? ?b+a?≥6,则 cosC>2,因为 0<C<π,所以 C<3,故②正确; a?3 ?b?3 a b ?a?3+?b?3<?a?2 对于③,a3+b3=c3 可变为? + = 1 ,可得 0< <1,0< <1 ,所以 1 = ? c? ? c? ? c? ? c? ? c? c c b π 2 2 2 ?2 +? ? c? ,所以 c <a +b ,故 C<2,故③正确; 1 1 1 2 对于④,(a+b)c<2ab 可变为 2× > + ≥ ,可得 ab>c,所以 ab>c2,因为 a2+ c a b ab π b2≥2ab>ab>c2,所以 C< ,④错误; 2 a2+b2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 a + b ( ) 对于⑤, c <2a b 可变为 2 + 2 < 2 ,即 2 > ,所以 c <ab≤ ,所以 a b c c ab 2

b 2 4c 2 5 10 ,即 a ? , b ? 2c ? 时等号 ? 2 2 5 5

a2+b2 2 1 π cosC> ≥ ,所以 C< ,故⑤错误.故答案为①②③. 2ab 2 3


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