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黑龙江省哈尔滨市第三中学2012-2013学年度高二下学期期中考试数学(文)试卷


黑龙江省哈尔滨市第三中学 2012-2013 学年度高二 下学期期中考试数学(文)试卷
考试说明:(1)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分, 考试时间为 120 分钟; (2)第Ⅰ卷,第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上,交卷时只交答题卡.

第Ⅰ卷

(选择题,共 60 分)

一、

选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,将正确答案的选项填涂在答题卡上. 1. 在复平面内,表示复数 ? 2 ? 3i ( i 是虚数单位)的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 设 f (x) 为可导函数, 且满足 lim 的导数值为 A. 1 B. ? 1

?x ?0

f (1 ? ?x) ? f (1) 则函数 y ? f (x) 在 x ? 1处 ? ?1, ?x
C. 1 或 ? 1

D. 以上答案都不对

3. 对于命题 p 和命题 q ,若 p 真 q 假,则命题 p ? q 和命题 p ? q 的真假为 A. p ? q 和 p ? q 都为真 C. p ? q 为假, p ? q 为真 B. p ? q 为真, p ? q 为假 D. p ? q 和 p ? q 都为假

4. 函数 f (x) 的定义域为 R,其导函数 f ?(x) 的图象如图所示,则函数 f (x) A. 有三个极值点,但无法判断有几个极大值,几个极小值 B. 有一个极大值点,两个极小值点 C. 有两个极大值点,两个极小值点 D. 有四个极值点,但无法判断有几个极大值,几个极小值 5. 命题“两直线平行,同位角相等”的否命题是 A.同位角相等,两直线平行 C.同位角不相等,两直线不平行 B.两直线不平行,同位角不相等 D.两直线平行,同位角不相等 O x y

高一数学第 1 页 共 9 页

6. 已知 0 ? a ? 2 ,复数 z 的实部为 a ,虚部为 1,则 z 的取值范围是? A. ?1,5 ? ? B. ?1,3? ?? C. 1, 5 ?

?

?

?

D. 1, 3

?

?

7. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1)(2)(3)(4)分别为该少数民族刺 、 、 、 绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按 同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同) ,设第 n 个图形包含 f (n) 个小正方形.则

f (5)=

(1) (2) A. 25

(3) B. 37
x

(4) C. 41 D. 47

8. 命题“存在 x0 ? R ,使得 2 0 ? 0 ”的否定是 A.不存在 x0 ? R ,使得 2 0 ? 0
x

B.存在 x0 ? R ,使得 2 0 ? 0
x

C.对任意的 x ? R , 2 ? 0
x

D. 对任意的 x ? R , 2 ? 0
x

9. 下列选项中, p 是 q 的必要不充分条件的是 A. p : a ? c ? b ? d B. p : x ? 1

q :a ? b 且c ? d

q : x ? x2 q :a ? 0 q:m ?
4 3

C. p : a ? bi(a, b ? R) 是纯虚数
3 2

D. p : f ( x) ? x ? 2 x ? mx ? 1 在 R 上单调递增
3

10. 已知曲线 y ? x ,直线 l 是过点 (1,1) 且与曲线相切的直线,则直线 l 的方程是 A. 3x ? y ? 2 ? 0 C. 3x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 0 B. 3x ? 4 y ? 1 ? 0 D. 3x ? y ? 2 ? 0 或 3x ? 4 y ? 1 ? 0

高一数学第 2 页 共 9 页

11. 已知 a 、b 为互不相等的两个正数,下列四个数

2 1 1 ? a b

, ab ,

a2 ? b2 a?b , 2 2

中,最小的是 A.

2 1 1 ? a b

B.

ab

a?b C. 2

D.

a2 ? b2 2

12. 已知函数 f ( x) ? ? A.

x ln x ,设其在 x 0 处有最大值,则下列说法正确的是 1? x
B. f ( x 0 ) ?

f ( x0 ) ?

1 2

1 2

C. f ( x 0 ) ?

1 2

D. f ( x0 ) 与

1 的大小关系不确定 2

第Ⅱ卷
置上. 13. 已知 i 是虚数单位,

(非选择题,共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答案写在答题卡的相应位

i ? 3?i

(用 a ? bi 的形式表示, a, b ? R ).

14. 一个数列,如果从第二项起,每一项与它前一项的和都为同一个常数,那么这个数 列叫做“等和数列”. 根据“等和数列”的定义,类比给出“等积数列”的定义:一个 数列,如果从第二项起,每一项与它前一项的 做“等积数列”.
? ? 15. 设 f 0 ( x) ? sin x , f1 ( x ) ? f 0? ( x ) , f 2 ( x ) ? f1? ( x ) , , f n ?1 ( x) ? f n? ( x) ,n ? N ,

都为同一个常数,那么这个数列叫

则 f 2013 ( ) ? ________.

?

3

16. 已知函数 f ( x) ?

ex x , g ( x) ? ,如果对任意的 x1 , x2 ? (0,??) ,不等式 x x2 ?1
.

f ( x1 ) g ( x 2 ) 恒成立,则正数 k 的取值范围是 ? k k ?1

高一数学第 3 页 共 9 页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤, 解答过程书写在答题纸的相应位置. 17. (本小题满分 10 分) 已知命题 p : x ? x ? 2 ? 0 ,命题 q : ? 1 ? x ? a(a ? ?1) .
2

(Ⅰ)若 p 是 q 的充分必要条件,求 a 的值; (Ⅱ)若 p 是 q 的充分不必要条件,求 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3x .
3

(Ⅰ)求函数 f (x) 在点 P(2,2) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f (x) 的单调递增区间.

高一数学第 4 页 共 9 页

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)求函数 f (x) 在 ?1,2? 上的最大值和最小值.

a ? b ,当 x ? 1时, f (x) 取得极小值 3 . x

20. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)比较 5 ? 7 与 2 6 的大小并证明; (Ⅱ)已知 a, b 为正实数,求证: a ? b ? a b ? ab .
3 3 2 2

21. (本小题满分 12 分)
高一数学第 5 页 共 9 页

已知函数 f ( x) ? a ln x ? x ?

1 , g ( x) ? x ? b . y ? f (x) 图象恒过定点 P ,且 P x

点既在 y ? g (x) 图象上,又在 y ? f (x) 的导函数的图象上. (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)设 h( x) ?

f ( x) ,求证:当 x ? 0 且 x ? 1 时, h( x) ? 0 . g ( x)

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? (2a ? e) x , a ? R .
x

(Ⅰ)若对任意 x ? 1,不等式 f ( x) ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)如果当 a ? ? 数 b 的取值范围.

e 时,关于 x 的不等式 f ( x) ? b ? 0 在实数范围内总有解,求实 2

哈三中 2012-2013 学年度下学期 高一学年期中考试数学(文科)答案
一、选择题: 1 ? 5 B B C C B 6 ?10 C C D A D 11 ?12 A B 二、填空题: 13、

1 3 ? i 10 10

14、积

15、

1 2

16、 ?

? 1 ? ,?? ? ? 2e ? 1 ?

高一数学第 6 页 共 9 页

三、解答题: 17、解: (Ⅰ)由条件知 P : ?1 ? x ? 2, q : ?1 ? x ? a . 因为 p 是 q 的充分必要条件,所以 a ? 2 ; (Ⅱ)因为 p 是 q 的充分不必要条件, 所以集合 x ? 1 ? x ? 2 是集合 x ?1 ? x ? a 的真子集, 所以 a ? 2 . 18、解: (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? x ? 3x ,则 f ( x) ? 3x ? 3 ,可知 f (2) ? 9
3 / 2 /

?

?

?

?

所以函数 f (x) 在点 P(2,2) 处的切线方程为: y ? 2 ? 9( x ? 2) , 即 9 x ? y ? 16 ? 0 ; (Ⅱ)令 f ( x) ? 3x ? 3 ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? 1
/ 2

所以函数 f (x) 的单调递增区间为 (??,?1) , (1,??) . 19、解: (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? ln x ?

a 1 a ? b ,则 f / ( x) ? ? 2 x x x

因为当 x ? 1时函数 f (x) 极小值为 3 ,

所以 ?

? f ??1? ? 0 ?1 ? a ? 0 ?a ? 1 1 ?? ,解得 ? ,所以 f ( x) ? ln x ? ? 2 ; x ? f ?1? ? 3 ?a ? b ? 3 ?b ? 2
/

(Ⅱ)因为 f ( x) ?

1 1 x ?1 ? 2 ? 2 ,当 x ? ?1,2? 时 f / ( x) ? 0 , x x x

所以函数 f (x) 在 x ? ?1,2? 上单调递增, 所以 f ( x) min ? f (1) ? 3 , f ( x) max ? f (2) ? ln 2 ? 20、解: (Ⅰ) 5 ? 7 ? 2 6 ,证明过程略; (Ⅱ)证明: a ? b ? a b ? ab ? a (a ? b) ? b (a ? b) ? (a ? b) (a ? b)
3 3 2 2 2 2 2

5 . 2

因为 a, b 为正数,所以 a ? b ? 0, (a ? b) ? 0
2

高一数学第 7 页 共 9 页

所以 (a ? b) (a ? b) ? 0 ,即 a ? b ? a b ? ab .
2

3

3

2

2

21、 (Ⅰ) 解: 因为函数 y ? ln x 过定点 ?1,0 ? , 所以函数 f ?x ? ? alnx ? x ?

1 恒过点 P?1,0? . x

因为点 P 既在 y ? g (x) 图象上,又在 y ? f (x) 的导函数的图象上, 所以 ?

? f ??1? ? 0 ?a ? 1 ? 1 ? 0 ?a ? 2 ?? ,解得 ? ? g ?1? ? 0 ?1 ? b ? 0 ?b ? 1

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知: f ?x ? ? 2 ln x ? x ? 所以当 x ? 1时, g ?x ? ? 0 , f ?? x ? ?

1 , g ( x) ? x ? 1 , x
2

2 1 ? ?x ? 1? ?1? 2 ? ?0 x x x2

所以 f ? x ? 在 ?1,?? ? 上单调递减,且 f ?1? ? 0 所以 f ?x ? ? f ?1? ? 0 ,所以 h?x ? ?

f ?x ? ? 0; g ?x ?
2

2 1 ? ?x ? 1? 当 0 ? x ? 1 时, g ?x ? ? 0 , f ?? x ? ? ? 1 ? 2 ? ?0 x x x2
所以 f ? x ? 在 ?1,?? ? 上单调递增,且 f ?1? ? 0 , 所以 f ?x ? ? f ?1? ? 0 所以 h?x ? ?

f ?x ? ? 0. g ?x ?

综上得证.

22、解: (Ⅰ)已知对任意 x ? 1, f ( x) ? 1 恒成立,则 e ? (2a ? e) x ? 1,
x

即对任意 x ? 1,不等式 2a ? e ?

ex ?1 恒成立. x

令 h( x ) ?

ex ?1 e x ( x ? 1) ? 1 / ?0 ,当 x ? 1时, h ( x) ? x x2

所以 y ? h(x) 在 ?1,??? 上单调递增, 函数 h(x ) 有最小值,最小值为 h(1) ? e ? 1 ,
高一数学第 8 页 共 9 页

所以 2a ? e ? e ? 1 ,解得 a ? ?
x

1 ; 2
x

(Ⅱ)因为 f ?x ? ? e ? ?2a ? e ?x ,所以 f ??x ? ? e ? ?2a ? e ? 因为 a ? ?

e ,所以 2a ? e ? 0 2

由 f ??x ? ? 0 ? x ? ln ?2a ? e ?

f ??x ? ? 0 ? x ? ln ?2a ? e?
所以 x ? (??, ln ?2a ? e?) 时,函数 f ? x ? 单调递减,

x ? (ln ?2a ? e?,??) 时,函数 f ? x ? 单调递增,
所以 f ?x ?min ? f ?ln ?2a ? e ?? ? e ln ?2 a ?e ? ? ?2a ? e ? ? ln ?2a ? e ?

? (2a ? e) ? ?2a ? e? ? ln ?2a ? e?
因为不等式 f ( x) ? b ? 0 在实数范围内总有解, 则不等式 (2a ? e) ? ?2a ? e? ? ln ?2a ? e? ? b ? 0 恒成立, 即当 a ? ?

e 时,不等式 b ? ?2a ? e? ? ln ?2a ? e? ? (2a ? e) 恒成立. 2

令 t ? 2a ? e , g (t ) ? t ln t ? t (t ? 0) ,则 g / (t ) ? ln t ,

g / ?t ? ? 0 ? t ? 1 ,即 t ? (1,??) 时,函数 g (t ) 单调递增, g / ?t ? ? 0 ? t ? 1,即 t ? (??,1) 时,函数 g (t ) 单调递减,
所以函数 g (t ) 有最小值,最小值为 g (1) ? ?1 , 所以 b ? ?1 .

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