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第10单元第63讲 轨迹问题


1

2

了解曲线与方程的关系,掌握求动 点轨迹的基本思路和常用方法,并能 灵活应用.培养用坐标法解题思想.

3

1. 方程x 2 ? xy ? x表示的曲线是 A.一个点 C.两条直线 B.一条直线

?C ?

D.一个点和一条直线

解析

方程可变形为x ? x ? y ? 1? ? 0, 所以x ? 0或x ? y ? 1 ? 0,表示两条直线.

4

2. 到两定点A ? 0, 0 ?,B ? 3, 4 ?的距离之和为5的点的轨迹 是 A.椭圆 C.线段AB B.AB所在的直线 D.无轨迹

?C?

解析

AB ? 5,所以动点的轨迹为线段AB.

5

3. 已知点P是直线2x ? y ? 3 ? 0上的一个动点,定点M ? ?1, 2 ?, Q是线段PM 延长线上的一点,且 PM ? MQ ,则Q点的轨 迹方程是 A. 2x ? y ? 1 ? 0 C. 2x ? y ? 1 ? 0 B. 2x ? y ? 5 ? 0 D. 2x ? y ? 5 ? 0

? D?

解析

设Q( x,y),则可得P ? ?2 ? x, 4 ? y ?,代入

2x ? y ? 3 ? 0,得2x ? y ? 5 ? 0.

6

  4. 已知实数m,n满足m2 ? n2 ? 1,则P(m ? n,m ? n)
2 2   x ? y ?2   的轨迹方程是 _____________ .

解析

又因为m2 ? n2 ? 1,得x2 ? y2 ? 2.

7

5.设P为双曲线

x2 4

-y2=1上一动点,O为坐标

原点, M为线段 OP的中点,则点 M的轨 2-4y2=1 x 迹方程为 .
解析
设M ( x,y),则P ? 2x, 2y ?,代入双曲线方程得

x 2 ? 4y 2 ? 1,即为所求.

8

1.曲线与方程的关系 一般的,在平面直角坐标系中,如果某 曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的 轨迹 ) 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数 解建立了如下关系: (1) 曲 线 上 的 点 的 坐 标 都 是 这 个 ① 方程的解 ; (2) 以 这 个 方 程 的 解 为 坐 标 的 点 均 是 ② 曲线上的点 .那么,这个方程叫做曲线的方 程,这条曲线叫做方程的曲线. 9

2.求轨迹方程的基本思路
(1)建立适当的直角坐标系,设曲线上的任 意一点(动点)坐标为M(x,y). (2)写出动点M所满足的③ 几何条件的集合 . (3)将动点M的坐标④ 代入几何条件 ,列出关 于动点坐标的方程f(x,y)=0. (4)化简方程f(x,y)=0为最简形式.

(5)证明(或检验)所求方程表示的曲线上 的所有点是否都满足已知条件.
10

注意:第( 2 )步可以省略,如果化 简过程都是等价交换,则第( 5 )可以省 略;否则方程变形时,可能扩大(或缩小) x、y的取值范围,必须检查是否纯粹或完 备(即去伪与补漏). 3.求轨迹方程的常用方法 (1)直接法:如果动点满足的几何条件 本身就是一些几何量 (如距离与角)的等量 关系,或这些几何条件简单明了且易于表 达,我们只需把这种关系转化为 x,y 的等 式就得到曲线的轨迹方程; 11

(2)定义法:某动点的轨迹符合某一基 本轨迹(如直线、圆锥曲线)的⑤ 定义 ,则可 根据定义采用设方程求方程系数得到动点 的轨迹方程; (3) 代入法 ( 相关点法 ) :当所求动点 M 是随着另一动点P(称之为相关点)而运动, 如果相关点 P 满足某一曲线方程,这时我 们可以用动点坐标表示相关点坐标,再把 相关点代入曲线方程,就把相关点所满足 的方程转化为动点的轨迹方程;
12

(4) 参数法:有时求动点应满足的几何 条件不易得出,也无明显的相关点,但却 较易发现这个动点的运动常常受到另一个 变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的 制约,即动点坐标 (x,y) 中的 x,y 分别随另一 变量的变化而变化,我们可称这个变量为 参数,建立轨迹的参数方程; (5) 交轨法:在求两动曲线交点的轨迹 问题时,通过引入参变量求出两曲线的轨 迹方程,再联立方程,通过解方程组消去 参变量,直接得到x,y的关系式.
13

题型一

直接法求轨迹方程

例1

设动直线l垂直于x轴,且与椭圆x 2 ? 2y 2 ? 4交于

A,B两点,P是l 上满足 PA PB ? 1的点,求点P的轨迹方程.

分析

设P点的坐标为( x,y ),

用直接法求得P点的轨迹方程,要 注意x的范围,通过直线l与椭圆相 交获得.

14

解析

设P点的坐标为( x,y ), 则由方程x 2 ? 2y 2 ? 4,得2y 2 ? 4 ? x 2 , 4 ? x2 所以y ? ? , 2 4 ? x2 4 ? x2 所以A,B两点的坐标分别为:, (x ),, (x ? ), 2 2 4 ? x2 4 ? x2 又 PA PB ? 1,所以(0, ? y ) ? (0, ? ? y ) ? 1, 2 2 2 2 2 4 ? x x y 即y 2 ? ? 1,所以 ? ? 1, 2 6 3 又直线l与椭圆交于两点,所以 ? 2<x<2, x2 y 2 所以点P的轨迹方程为 ? ? 1(?2<x<2). 6 3

15

评析

求动点的轨迹时应注意它的完备性与纯粹性.

化简过程破坏了方程的同解性,要注意补上遗漏的点 或者挖去多余的点. “轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的 概念,前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征, 后者指方程(包括范围).

16

变式1 平面上有三点A(?2,y),B(0, ),C ( x,y),若 AB ? AC,
则动点C的轨迹方程为 ___________   .

解析

y y 根据题意, AB ? (2, ? ), AC ? ( x, ). 2 2 y2 因为AB ? AC,所以 AB AC ? 2x ? ? 0, 4 即y 2 ? 8x. 故动点C的轨迹方程为y 2 ? 8x.

17

题型二

定义法求轨迹方程

例2 如图,已知圆 A : (x+2)2+y2=1 与点 A(-2,0),B(2,0),分别求出满足下列条 件的动点P的轨迹方程. (1)△PAB的周长为10; (2)圆P与圆A外切(P为动 圆圆心); (3) 圆 P 与圆 A 外切且与直线 x=1 相切 (P 为 动圆的圆心).
18

分析 根据题意,先找出等价条件, 再根据条件判定曲线类型,最后写出 曲线的方程. (1)|PA|+|PB|=10-|AB|=6.

(2)|PA|-|PB|=1.
(3)P 点到 A 点的距离比 P 点到直线 x=1 的距离长 1 ,即P点到 A点的距离等于 P点到直线x=2的距离.
19

解析 (1)根据题意,知|PA|+|PB|+|AB|=10,
即|PA|+|PB|=6>4=|AB|, 故P点的轨迹是椭圆,且2a=6,2c=4, 即a=3,c=2,则b= 5 ,
x2 y 2 因此其方程为 ? =1(y≠0). 9 5

(2)设圆P的半径为r,则|PA|=r+1,|PB|=r, 因此|PA|-|PB|=1.
20

由双曲线的定义知,P点的轨迹为双曲线的

右支,且2a=1,2c=4,即a= ,c=2,则b=
因此其方程为4x24 15

1 2

y2=1(x≥

1 ). 2

15 2

,

(3) 依题意知,动点 P到定点 A的距离等于到 定直线 x=2 的距离,故其轨迹为抛物线, 且开口向左,p=4.
因此其方程为y2=-8x.
21

评析 (1)本题为利用圆锥曲线的定义求动 点轨迹方程的问题.若动点轨迹的条件 符合某一基本轨迹的定义,如圆、椭圆、 双曲线、抛物线的定义,则可以直接根 据定义求出动点的轨迹方程. (2)圆锥曲线的定义提示了其本质特 征,而圆锥曲线的方程随坐标系的不同 而不同,因而掌握定义是根本.
22

题型三

代入法(相关点法)求轨迹方程

例3

设F ?1, 0 ?,M 点在x轴上,P点在y轴上,且

MN ? 2MP, PM ? PF,当点P在y轴上运动时,求点N 的轨迹方程.

分析 ?1? 确定M 与P的坐标关系. ? 2 ? 寻找动点N 与点M 、P的关系. ? 3? 用代入法求轨迹方程.
23

解析

设M ? x0, 0 ?,P (0,y0 ),N ( x,y ),点N 为轨迹上任意一点. 因为PM ? PF, PM ? ( x0, ? y0 ), PF ? (1, ? y0 ),
2 所以( x0, ? y0 ) (1, ? y0 ) ? 0,所以x0 ? y 0 ? 0.

由MN ? 2MP,得( x ? x0,y ) ? 2(? x0,y0 ), ? x0 ? ? x ? x ? x0 ? ?2 x0 ? 所以 ? ,即 ? 1 , y0 ? y ? y ? 2 y0 ? ? 2 y2 所以 ? x ? ? 0,即y 2 ? 4x. 4

评析

在某些较复杂的探求轨迹的过程中,可先确定

一个较易于求得的点的轨迹方程,再以此点作为主动点, 所求的轨迹上的点为相关点,求得轨迹方程.
24

变式2

如图所示,已知P ? 4, 0 ? 是圆x 2 ? y 2 ? 36内的

一点,A、B是圆上两动点,且满足?APB ? 90?,求矩 形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

分析 动点Q与A、B两点的变化有关,
由圆的弦的性质知点Q与AB的中点 R有关, 因此可先求出R点的轨迹方程,再转化为 点Q的轨迹方程.

25

解析

设AB的中点为R( x,y ),则在Rt ARO中, AR ? AO ? OR ? 36 ? ? x 2 ? y 2 ?.
2 2 2

又 AR ? PR ? ? x ? 4?2 ? y 2 , 有 ? x ? 4 ? ? y 2 ? 36 ? ? x 2 ? y 2 ?.
2

即x 2 ? y 2 ? 4x ? 10 ? 0. 因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,Q点即在 所求的轨迹上运动.

26

设Q( x1,y1 ), 4 ? x1 y1 由R为PQ的中点,所以有x ? ,y ? , 2 2 代入方程x 2 ? y 2 ? 4x ? 10 ? 0得, x1 ? 4 2 y1 2 x1 ? 4 ( ) ? ( ) ? 4? ? 10 ? 0, 2 2 2 整理得x12 ? y12 ? 56, 即点Q的轨迹方程为x 2 ? y 2 ? 56.

27

题型四

用参数法求轨迹方程

例4

已知抛物线y 2 ? 4px ? p ? 0 ?,O为顶点,A,B

为抛物线上的两动点,且满足OA ? OB,如果OM ? AB 于M 点,求点M 的轨迹方程.

分析 ?1? 动点M ( x,y)的坐标之间的关系不易找到.
? 2 ? 动点M 与A、B的直接关系不明显,因此需引入参数. ? 3?由OA ? OB建立联系,消去参数得解.
28

解析

直线AB斜率存在时,设M ( x0,y0 ),直线AB的

方程为y ? kx ? b. x0 由OM ? AB,得k ? ? , y0 由y 2 ? 4px,及y ? kx ? b,消去y,
2 b 得k 2 x 2 ? x ? 2kb ? 4p ? ? b 2 ? 0,所以x1 x2 ? 2 . k 4 pb 2 消去x,得ky ? 4py ? 4pb ? 0,所以y1 y2 ? . k 由OA ? OB,得y1 y2 ? ? x1 x2,

4 pb b2 所以 ? ? 2 ,b ? ?4kp, k k 故y0 ? kx0 ? b ? k ? x0 ? 4p ?.

29

x0 2 2 把k ? ? 代入,得x0 ? y0 ? 4px0 ? 0( x0 ? 0), y0 AB ? x轴时,M ? 4p, 0 ? 也符合x 2 ? y 2 ? 4px ? 0( x ? 0), 即点M 的轨迹方程为x 2 ? y 2 ? 4px ? 0( x ? 0).

评析

在一些很难找到形成曲线的动点P( x,y )的坐

标x,y所满足的关系式的情况下,往往借助第三个变 量t,建立t 和x,t 和y的关系式x ? ? ? t ?,y ? ? ? t ?,再通 过一些条件消掉t 就间接找到了x和y所满足的方程,从 而求出动点P( x,y )所形成的曲线的普通方程.
30

变式3 过定点A(a,b)任作互相垂直的两直线l1与l2,
且l1与x轴交于点M ,l2与y轴交于点N,如图所示,求 线段MN的中点P的轨迹方程.

解析
?1?当l1不平行于y轴时,设l1的斜率为k1,
则k1 ? 0,因为l1 ? l2,所以l 2的斜率为 ? l1的方程为y ? b ? k1 ? x ? a ?, 1 l2的方程为y ? b ? ? ? x ? a ?. k1 1 , k1 ① ②
31

b 在①中令y ? 0,得M 点的横坐标为x1 ? a ? , k1 在②中令x ? 0,得N 点的纵坐标为y1 ? b ? 设MN的中点P的坐标为( x,y ), a b ? ? x ? 2 ? 2k a ? 1 2 2 则有 ? , 消去k1,得2ax ? 2by ? a ? b ? 0( x ? ).③ 2 ?y ? b ? a ? 2 2k1 ? a b 2 当 l 平行 y 轴时, MN 的中点为 ( , ),其坐标满足方程③. ? ? 1 2 2 综合 ?1?? 2 ? 知,MN的中点P的轨迹方程为2ax ? 2by ? a 2 ? b 2 ? 0.
32

a , k1

x2 y 2 备选题 设椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ?的左、右焦点分别为 a b F1、F2,A是椭圆上的一点,AF2 ? F1 F2,原点O到直线AF1 1 的距离为 OF1 . 3

?1? 证明:a ? 2b; ? 2 ? 设Q1,Q2为椭圆上的两个动点,OQ1 ? OQ2,过原点O作
直线Q1Q2的垂线OD,垂足为D,求点D的轨迹方程.

33

解析 ?1? 方法1:由题设AF2 ? F1 F2 及F1 ? ?c, 0 ?,F2 ? c, 0 ?,不
妨设点A(c,y ),其中y>0. c2 y 2 a2 ? b2 y 2 由点A在椭圆上,有 2 ? 2 ? 1,即 ? 2 ? 1. 2 a b a b b2 b2 解得y ? ,从而得到A(c, ). a a b2 直线AF1的方程为y ? ? x ? c ?, 2ac 整理得b 2 x ? 2acy ? b 2 c ? 0. 1 由题设,原点O到直线AF1的距离为 OF1 , 3 c b2 c 即 ? , 4 2 2 3 b ? 4a c 将c ? a ? b 代入上式并化简得a ? 2b ,即a ? 2b.
2 2 2 2 2

34

b2 方法2:同方法1,得到点A的坐标为(c, ). a 过点O作OB ? AF1,垂足为B, 易知 F1 BO∽ F1 F2 A. | BO | | F2 A | 故 ? . | OF1 | | F1 A | 由椭圆的定义得 AF1 ? AF2 ? 2a. 1 OF1 , 3 | F2 A | 1 | F2 A | 所以 ? ? , 3 | F1 A | 2a ? | F2 A | 又 BO ? b2 a 解得 F2 A ? ,而 F2 A ? , 2 a b2 a 故得 ? ,即a ? 2b. a 2

35

? 2 ? 设点D的坐标为( x0,y0 ),Q1 ( x1,y1 ),Q2 ( x2,y2 ).
当y0 ? 0时, x0 由OD ? Q1Q2 知,直线Q1Q2的斜率为 ? , y0 x0 所以直线Q1Q2的方程为y ? ? ? x ? x0 ? ? y0 或 y0
2 x0 x0 y ? kx ? m,其中k ? ? ,m ? y0 ? . y0 y0

点Q1 ( x1,y1 ),Q2 ( x2,y2 )的坐标满足方程组 ? y ? kx ? m . ? 2 2 2 ? x ? 2 y ? 2b

① ②
36

整理得 ?1 ? 2k 2 ? x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 2b 2 ? 0, 4km 2m 2 ? 2b 2 于是x1 ? x2 ? ? ,x1 x2 ? . 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 由①式得y1 y2 ? ? kx1 ? m ?? kx2 ? m ? ? k 2 x1 x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m 2 2m 2 ? 2b 2 ?4km 2 ?k ? km ? m 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 m 2 ? 2b 2 k 2 ? . 2 1 ? 2k 由OQ1 ? OQ2 知x1 x2 ? y1 y2 ? 0,
2

将①式代入②式,得x 2 ? 2 ? kx ? m ? ? 2b 2 .
2





3m 2 ? 2b 2 ? 2b 2 k 2 将③式和④式代入得 ? 0, 2 1 ? 2k

37

即3m 2 ? 2b 2 ?1 ? k 2 ?.
2 x0 x0 将k ? ? ,m ? y0 ? 代入上式, y0 y0 2 2 整理得x0 ? y0 ? b2 .

当y0 ? 0时,直线Q1Q2的方程为x ? x0 . 点Q1 ( x1,y1 ),Q2 ( x2,y2 )的坐标满足方程组
2 ? x ? x0 2b 2 ? x0 , 所以x1 ? x2 ? x0,y1,2 ? ? . ? 2 2 2 2 ? x ? 2 y ? 2b 由OQ1 ? OQ2,知x1 x2 ? y1 y2 ? 0, 2 2 2 b ? x 2 2 2 0 即x0 ? ? 0,解得x0 ? b2 . 2 3 2 2 这时,点D的坐标仍满足x0 ? y0 ? b2 .

综上,点D的轨迹方程为x 2 ? y 2 ?

2 2 b . 3

38

1.曲线与方程关系的理解. (1) 曲线方程的实质就是曲线上任意 一点的横、纵坐标之间的关系,这种关 系同时满足两个条件:①曲线上所有点 的坐标均满足方程;②适合方程的所有 点均在曲线上. (2) 如果曲线 C 的方程是 f(x,y)=0, 那么 点 P0(x0,y0) 在 曲 线 C 上 的 充 要 条 件 是 f(x0,y0)=0.

39

(3) 视曲线为点集,曲线上的点应满足 的条件转化为动点坐标所满足的方程,则 曲线上的点集 (x,y) 与方程的解集之间建立 了一一对应关系. 2.求轨迹方程方法实质剖析. (1) 轨迹问题的实质就是用动点的两坐 标x,y一一对应的揭示曲线方程解的关系 .在 实际计算时,我们可以简单地认为,求曲 线方程就是求曲线上动点的坐标之间的关 系.当两坐标之间的关系为直接关系 f(x,y)=0, 就是曲线方程的普通形式;
40

当x,y的关系用一个变量(如t变量)表示时,坐 标之间的关系就是间接关系,这时的表示式 就是曲线的参数方程.所以解决问题时,应该 紧紧围绕寻找点的两坐标之间的关系展开探 究. (2) 定义法求轨迹是不同于其他求轨迹 的思维方法,它从动点运动的规律出发,整 体把握点在运动中不动的、不变的因素,从 而得到了动点运动规律满足某一关系,简单 地说,就是在思维的初期,先不用设点的坐 标,而直接找动点所满足的几何性质 ( 往往 41 是距离的等量关系).

由于解析几何研究的几何对象的局限性, 直线、圆、圆锥曲线这些的定义都是用距 离的关系来定义曲线的,所以利用定义法 求轨迹问题时,往往应该先考虑动点满足 的距离关系,判断它是否满足五种曲线的 定义,从而使问题快速解答.

42

在 ABC中,BC ? 4,A点为动点,满足sinC ? sinB ? 2sinA, 求A点的轨迹方程.

错解

由正弦定理得c ? b ? 2a ? 8, 即 AB ? AC ? 8. 故A点的轨迹为以B、C为焦点的椭圆. 因为2a ? 8, 2c ? 4, x2 y2 所以点A的轨迹方程为 ? ? 1. 16 12

43

错解分析 ①没有建立恰当的直角坐标系,因为坐标
系不同,轨迹方程也不同.②因为A、B、C三点构成 ABC,故A、B、C不能共线,故应排除一些特殊点.

正解

由正弦定理得c ? b ? 2a ? 8, 即 AB ? AC ? 8, 故点A的轨迹为以B、C为焦点的椭圆. 以BC为x轴,BC的中点为原点建立直角坐标系, x2 y 2 则椭圆方程为 ? ? 1, 16 12 又因为A、B、C 三点不能共线, x2 y 2 所以A点的轨迹方程为 ? ? 1( y ? 0). 16 12
44

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