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【高优指导】2017高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充要条件课件 理


1.2

命题及其关系、充要条件

-2-

考纲要求:1.理解命题的概念. 2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆 命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系. 3.理解必 要条件、充分条件与充要条件的含义.

-3-

1.命题的概念 可以判断真假、用文字或符号表述的

语句叫作命题,其中判断为 真的语句叫作真命题,判断为假的语句叫作假命题. 2.四种命题及其关系 (1)四种命题的表示及相互之间的关系

-4-

(2)四种命题的真假关系 ①互为逆否的两个命题等价 (同真 或同假 ). ②互逆或互否的两个命题不等价 . 3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 (注: 表示推不出)

p?q p?q 且 q p p q 且 q?p p?q p q且q p

p 是 q 的充分 条件,q 是 p 的必要 p 是 q 的充分不必要 条件 p 是 q 的必要不充分 条件 p 是 q 的充要 条件 p 是 q 的既不充分也不必要 条件

条件

-5-

4.常用结论 (1)在四种形式的命题中,真命题的个数只能是0或2或4. (2)p是q的充分不必要条件,等价于 q是 p的充分不必要条件. 其他情况依此类推. (3)集合与充要条件:设p,q成立的对象构成的集合分别为A,B,p是q 的充分不必要条件?A?B;p是q的必要不充分条件?A?B;p是q的 充要条件?A=B.

-61 2 3 4 5

1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)数学中的命题都可以判断真假. ( √ ) (2)命题“若x2-3x+2>0,则x>2或x<1”的逆否命题是“若1≤x≤2,则 x2-3x+2≤0”. ( √ ) (3)若命题“若p,则q”为真命题,则这个命题的否命题、逆命题、 逆否命题中至少有一个为真. ( √ ) (4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件. ( √ ) (5)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的 意义相同. ( × )

-71 2 3 4 5

2. “x=1”是“x2-2x+1=0”的( ) A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

关闭

当x=1时,x2-2x+1=12-2×1+1=0;当x2-2x+1=0时,有(x-1)2=0,即x=1,故“x=1”

是“x2-2x+1=0”的充要条件.
A 解析

关闭

答案

-81 2 3 4 5

3.(2015陕西渭南模拟)对于原命题“单调函数不是周期函数”,下 列叙述正确的是( ) A.逆命题“周期函数不是单调函数” B.否命题“单调函数是周期函数” C.逆否命题“周期函数是单调函数” D.命题的否定“存在单调函数是周期函数”

关闭

由逆命题、否命题、逆否命题的定义知A,B,C错.
关闭

D 解析 答案

-91 2 3 4 5

4.“sin α=sin β”是“α=β”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

关闭

由“sin α=sin β” “α= β”,但由“α=β”?“sin α=sin β”.所以“sin α=sin β” 是“α=β”的必要不充分条件.
关闭

B
解析 答案

-101 2 3 4 5

5.“(x-a)(x-b)=0”是“x=a”的

条件.

关闭

x=a?(x-a)(x-b)=0,反之不一定成立.因此,“(x-a)· (x-b)=0”是“x=a”的必要不

充分条件.
必要不充分 解析

关闭

答案

-111 2 3 4 5

自测点评 1.“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念,否命题是既否定 命题的条件,又否定命题的结论,命题的否定只否定结论. 2.由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而当判断 一个命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假. 3.“p是q的充分不必要条件”即为“p?q且q p”;“p的充分不必要 条件是q”即为“q?p且p q”.

-12考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点1命题及其相互关系 例1已知:命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则 下列结论正确的是( ) A.否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”,是真 命题 B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”,是 假命题 关闭 C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”,是 由f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则f'(x)=ex-m≥0在(0,+∞)上恒成 真命题 x-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”是真命题, 立, ∴ m ≤1 . ∴ 命题 “ 若函数 f ( x ) = e D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”, 所以其逆否命题 “若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命关闭 是真命题
D. 题 解析 答案

-13考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:由原命题写出其他三种命题应注意什么? 解题心得:1.在判断四种命题的关系时,首先要分清命题的条件与 结论,当确定了原命题时,要能根据四种命题的关系写出其他三种 命题;当一个命题有大前提时,若要写出其他三种命题,大前提需保 持不变. 2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;说明一个命题是假命 题,只需举出反例.当一个命题直接判断不易时,可转化为判断其等 价命题的真假.

-14考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练1 关于命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则 {x|ax2+bx+c<0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性,下列 结论成立的是( ) A.都真 B.都假 C.否命题真 D.逆否命题真

关闭

原命题为真命题,则其逆否命题为真命题.
关闭

D 解析 答案

-15考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点2充分条件、必要条件的判断 例2(1)(2015合肥模拟)“a>1”是“函数f(x)=x3+a在R上为单调递 增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

关闭

因为a无论取何值,函数f(x)=x3+a在R上为单调递增函数,所以“a>1”是“函

数f(x)=x3+a在R上为单调递增函数”的充分不必要条件.
A 解析

关闭

答案

-16考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)给定两个命题p,q.若 p是q的必要而不充分条件,则p是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

关闭

因为 p 是 q 的必要不充分条件,则 q? p 但 p q,其逆否命题为 p? q 但 q p,所以 p 是 q 的充分不必要条件.
A
解析
关闭

答案

-17考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:充分条件、必要条件的判断有哪几种方法? 解题心得:充要条件的三种判断方法: (1)定义法:根据p?q,q?p进行判断. (2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的 命题转化为其逆否命题进行判断.

-18考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练 2 (2015 重庆,理 4)“x>1”是“log 1(x+2)<0”的
2

(

)
A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
关闭

由 log 1(x+2)<0 可得 x+2>1,即 x>-1,而{x|x>1}?{x|x>-1}, 所以“x>1”是“log 1(x+2)<0”的充分不必要条件.
2
关闭

2

B
解析 答案

-19考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点3充分条件、必要条件的应用

log2 , > 0, 例3(1)函数f(x)= 有且只有一个零点的充分不必 2 -, ≤ 0 要条件是( ) 1 A.a≤0或a>1 B.0 2<a< 1 C2 . <a<1 D.a<0
关闭

因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x)有且只有一个零点?函数y=2x-a(x≤0)
没有零点?函数y=2x(x≤0)与直线y=a无公共点.由数形结合,可得a≤0或 a>1.即充要条件为a≤0或a>1,使“a≤0或a>1”成立的充分不必要条件为选
关闭

项 D D.
解析 答案

-20考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)设条件p:2x2-3x+1≤0,条件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若 p是 q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 .

关闭

由 2x2-3x+1≤ 0 得 ≤x≤1,由 x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0 得 a≤x≤a+1.
2

1

由 p 是 q 的必要不充分条件知,p 是 q 的充分不必要条件 , ≤ , 2 则有 ≤ ≤ 1 ? {x|a≤x≤a+1},所以 且等号不同时 2 + 1 ≥ 1,
1 1

成立 ,解得 0≤a≤ . 2 1 0,
2

1

关闭

解析

答案

-21考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:如何求与充要条件有关的参数问题?如何证明一个论断是 另一个论断的充要条件? 解题心得:1.与充要条件有关的参数问题的求解方法:解决此类问 题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系,并由此列出关于 参数的不等式(组)求解. 2.充要条件的证明方法:在解答题中证明一个论断是另一个论断 的充要条件时,其基本方法是分“充分性”和“必要性”两个方面进行 证明.

-22考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练3 (1)若集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-2<x<a},则“A∩B≠?” 的充要条件是( ) A.a>-2 B.a≤-2 C.a>-1D.a≥-1

关闭

A={x|-1<x<2},B={x|-2<x<a},如图所示:

∵ C A∩B ≠? ,∴a>-1.
解析

关闭

答案

-23考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,则a的最大值为

.

关闭

由x2>1得x>1或x<-1.由题意知{x|x<a}?{x|x>1或x<-1},

所以a≤-1,从而a的最大值为-1.
-1 解析

关闭

答案

-24考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.写一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命 题的条件和结论,然后按定义来写;在判断命题的真假时,可以借助 原命题与其逆否命题同真或同假的关系来判定. 2.充要关系的几种判断方法: (1)定义法:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假. (2)等价法:利用A?B与 B? A;B?A与 A? B;A?B与 B? A的等价关系.对于条件或结论是否定形式的命题,一般 运用等价法. (3)集合间关系法:设A={x|p(x)},B={x|q(x)},利用集合A,B的关系 来判断.

-25考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.当一个命题有大前提时,要写出其他三种命题,必须保留大前提, 也就是大前提不动. 2.判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以 先把命题改写成“若p,则q”的形式. 3.判断条件之间的关系,要注意条件之间的推出方向,正确理解“p 的一个充分不必要条件是q”等语言.

-26-

思想方法——等价转化思想在充要条件中的应用 等价转化是一种重要的数学思想,体现了“把未知问题化归到已 有知识范围内可解”的求解策略,本节内容蕴含着丰富的等价转化 思想,对于一个难以入手的命题,可以把命题转化为易于解决的等 价命题,每一个等价命题都能提供一个解题思路.因此熟悉并掌握 命题的多种等价形式是等价转化的前提,同时也是灵活解题的基础.

-27-

典例已知p: ≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且 p是 q的必 要而不充分条件,求实数m的取值范围. 分析:先求出p,q对应不等式的解集,再利用p,q间的关系列出关于 m的不等式或不等式组得出结论. 解:(方法一)由q:x2-2x+1-m2≤0,m>0, 得1-m≤x≤1+m, 则 q:A={x|x>1+m或x<1-m,m>0}.
1-

-1 3

由 ≤2, 解得-2≤x≤10, 所以 p:B={x|x>10或x<-2}. 因为 p是 q的必要而不充分条件, 则 A? B,

1-

-1 3

-28-

> 0, > 0, 所以 1- < -2, 或 1- ≤ -2, 1 + ≥ 10, 1 + > 10, 即 m≥9 或 m>9.故 m≥9.

-29-

(方法二)因为 p是 q的必要而不充分条件, 所以p是q的充分而不必要条件. 由q:x2-2x+1-m2≤0,m>0, 得1-m≤x≤1+m, 则q:Q={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.

-1 由 1- 3 ≤2, 解得-2≤x≤10,所以p:P={x|-2≤x≤10}. 因为p是q的充分而不必要条件,则P?Q,
> 0, > 0, 所以 1- < -2, 或 1- ≤ -2, 1 + ≥ 10, 1 + > 10,
即m≥9或m>9.故m≥9.

-30-


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