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【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第2章 第6节 对数与对数函数(含解析)北师大版


【走向高考】2016 届高三数学一轮基础巩固 第 2 章 第 6 节 对数 与对数函数 北师大版
一、选择题 1.(文)函数 y=log2x 的图像大致是( )

A [答案] C

B

C

D

[解析] 考查对数函数的图像. (理)函数 f(x)=2|log2x|的图像大致是( )

[答案] C

x,x≥1, ? ? [解析] ∵f(x)=2|log2x|=?1 ,0<x<1, ? ?x
x

∴选 C.

2.(文)若函数 y=f(x)是函数 y=a (a>0,且 a≠1)的反函数,其图像经过点( a,a), 则 f(x)=( A.log2x C.log1 x 2 [答案] C 1 1 [解析] 由题意知 f(x)=logax,∴a=logaa2 = , 2 ∴f(x)=log1 x,故选 C. 2 (理)若点(a,b)在 y=lgx 图像上,a≠1,则下列点也在此图像上的是( 1 A.( ,b) ) ) 1 B. x 2 D.x
2

a

B.(10a,1-b) D.(a 2b)
2,

10 C.( ,b+1)

a

[答案] D
-1-

[解析]

该题考查对数的运算性质,将横坐标看成自变量,看函数值是不是纵坐标,假

设是,则点在图像上,若不是,则点不在图像上. 由题意知 b=lga, 1 对于 A 选项,lg =-lga=-b≠b,

a

对 B 选项 lg(10a)=1+lga=1+b≠1-B. 10 对 C 选项 lg =1-lga=1-b≠b+1,

a

对 D,lga =2lga=2b,故(a 2b)在图像上. 3. (2015·营口调研)函数 f(x)=logax(a>0, a≠1), 若 f(x1)-f(x2)=1, 则 f(x1)-f(x2) 等于( A.2 1 C. 2 [答案] A [解析] x1>0,x2>0,f(x1)-f(x2)=logax1-logax2=2(logax1-logax2)=2[f(x1)-f(x2)] =2. 1 1 a b 4.设 2 =5 =m,且 + =2,则 m=(
2 2 2 2 2 2

2

2,

) B.1 D.loga2

a b

) B.10 D.100

A. 10 C.20 [答案] A

1 1 1 1 lg2 a b [解析] 由 2 =5 =m, 则 a=log2m, b=log5m,代入 + =2 得 + =2, 则 + a b log2m log5m lgm lg5 lg2+lg5 1 =2,即 =2,即 lgm= ,则 m= 10. lgm lgm 2

?1?x 5.已知函数 f(x)满足:当 x≥4 时,f(x)=? ? ;当 x<4 时,f(x)=f(x+1),则 f(2+ ?2?
log23)=( 1 A. 24 1 C. 8 [答案] A [解析] ∵2<3<4=2 ,∴1<log23<2,∴3<2+log23<4, ∴f(2+log23)=f(3+log23)=f(log224)
2

) 1 B. 12 3 D. 8

-2-

?1?log224=2-log224=2 log224 = 1 . =? ? 24 ?2?
6.(文)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数

1

a 满足 f(log2a)+f(log1 a)≤2f(1),则 a 的取值范围是(
2 A.[1,2] 1 C.[ ,2] 2 [答案] C [解析] 因为log1 a=-log2a 且 f(-x)=f(x), 2 1 B.(0, ] 2 D.(0,2]

)

则 f(log2a)+f(log1 a)≤2f(1)? f(log2a)+f(-log2a)≤2f(1)? f(log2a)≤f(1). 2 又 f(log2a)=f(|log2a|)且 f(x)在[0, +∞)上单调递增, ∴|log2a|≤1? -1≤log2a≤1, 1 解得 ≤a≤2,选 C. 2 (理)若函数 f(x)=log2(x+1)且 a>b>c>0, 则 A. C.

f?a? f?b? f?c? 、 、 的大小关系是( a b c

)

f?a? f?b? f?c? > > a b c f?b? f?a? f?c? > > b a c

B. D.

f?c? f?b? f?a? > > c b a f?a? f?c? f?b? > > a c b

[答案] B [解析] ∵

f?a? f?b? f?c? 、 、 可看作函数图像上的点与原点所确定的直线的斜率, a b c f?c? f?b? f?a? > > .故选 B. c b a

结合函数 f(x)=log2(x+1)的图像及 a>b>c>0 可知 二、填空题

7.(2014·陕西高考)已知 4 =2,lgx=a,则 x=________. [答案] 10

a

[解析] 本题考查指数与对数运算. 1 1 a 4 =2,∴a= ,lgx=a= , 2 2 ∴x= 10.
? ?3 ,x≤0 8.(2015·东营质检)已知函数 f(x)=? ?log2x,x>0 ?
x+1

,则使函数 f(x)的图像位于直线 y

-3-

=1 上方的 x 的取值范围是________. [答案] {x|-1<x≤0 或 x>2} [解析] 当 x≤0 时,由 3 ∴-1<x≤0. 当 x>0 时,由 log2x>1,得 x>2. ∴x 的取值范围是{x|-1<x≤0 或 x>2}. 9.函数 y=log3(x -2x)的单调减区间是________. [答案] (-∞,0) [解析] (等价转化法)令 u=x -2x,则 y=log3u. ∵y=log3u 是增函数,u=x -2x>0 的单调减区间是(-∞,0), ∴y=log3(x -2x)的单调减区间是(-∞,0). 三、解答题 10.已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性,并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的取值范围. [解析] (1)f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),
? ?x+1>0, 则? ?1-x>0, ?
2 2 2 2

x+1

>1,得 x+1>0,即 x>-1.

解得-1<x<1.

故所求定义域为{x|-1<x<1}. (2)f(x)为奇函数. 证明如下:由(1)知 f(x)的定义域为{x|-1<x<1},且

f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)
=-[loga(x+1)-loga(1-x)] =-f(x). 故 f(x)为奇函数.

x+1 (3)因为当 a>1 时,f(x)在定义域{x|-1<x<1}上是增函数,所以 f(x)>0? >1. 1-x
解得 0<x<1. 所以使 f(x)>0 的 x 的取值范围是{x|0<x<1}.

一、选择题 1. (2014·四川高考)已知 b>0, log5b=a, lgb=c,5 =10, 则下列等式一定成立的是( A.d=ac B.a=cd
-4d

)

C.c=ad [答案] B

D.d=a+c

[解析] B 本题考查指对互化、指对运算性质等.可逐项验证.A 中,d=log510,而 ac lgb ?lgb? lg10 lgb =log5b·lgb= ·lgb= , ∴A 错. B 中, cd=lgb·log510=lgb· = =log5b lg5 lg5 lg5 lg5 =a,选 B.解题时要灵活应用换底公式等. 2.(文)函数 f(x)=a +loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为 a,则 a 的值为 ( ) 1 A. 4 C.2 [答案] B [解析] ∵y=a 与 y=loga(x+1)具有相同的单调性. ∴f(x)=a +loga(x+1)在[0,1]上单调, ∴f(0)+f(1)=a,即 a +loga1+a +loga2=a, 1 化简得 1+loga2=0,解得 a= . 2 1 (理)已知 x=lnπ ,y=log52,z=e- ,则( 2 A.x<y<z C.z<y<x [答案] D [解析] 本小题主要考查了对数、指数的性质的运用. 1 1 1 ∵y=log52= ,z=e- = 且 e<2<log25 log25 2 e ∴y<z<1,又 lnπ >1,∴y<z<x,故选 D. 二、填空题 3x 3.已知 lgx+lgy=2lg(2x-3y),则 log 的值为________. 2y [答案] 2 [解析] 依题意,可得 lg(xy)=lg(2x-3y) , 即 xy=4x -12xy+9y , 整理得 4( ) -13( )+9=0,
2 2 2 0 1 2

x

1 B. 2 D.4

x

x

)

B.z<x<y D.y<z<x

x y

2

x y

x x 9 解得 =1 或 = . y y 4

-5-

∵x>0,y>0,2x-3y>0,

x 9 ∴ = , y 4
3x ∴log =2. 2y 4 . (2014· 兰 州 、 张 掖 联 考 ) 函 数 f(n) = logn
+ 1

(n + 2)(n ∈ N ) , 定 义 使

*

f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数 k(k∈N*)叫做企盼数,则在区间[1,2013]内这样的
企盼数共有________个. [答案] 9 ln?n+2? [解析] ∵logn+1(n+2)= , ln?n+1? ∴ f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k) = log2(k+2). ∵1 024=2 2 048=2 ,且 log24=2,∴使 f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数有 10-1=9 个. 三、解答题 5.已知函数 f(x)=loga(2-ax),是否存在实数 a,使函数 f(x)在[0,1]上是 x 的减少的, 若存在,求 a 的取值范围. [分析] 参数 a 既出现在底数上,又出现在真数上,应全面审视对 a 的取值范围的制约. [解析] ∵a>0,且 a≠1, ∴u=2-ax 是 x 的减函数. 又 f(x)=loga(2-ax)在[0,1]是减少的, ∴函数 y=logau 是 u 的增函数,且对 x∈[0,1]时,
10, 11

ln3 ln4 ln5 ln?k+2? ln?k+2? · · ·…· = = ln2 ln3 ln4 ln?k+1? ln2

u=2-ax 恒为正数.
? ?a>1 其充要条件是? ?2-a>0 ?

即 1<a<2.

∴a 的取值范围是(1,2). 6.(文)已知定义域为 R 的函数 f(x)为奇函数,且满足 f(x+2)=-f(x),当 x∈[0,1] 时,f(x)=2 -1. (1)求 f(x)在[-1,0)上的解析式; (2)求 f(log1 24)的值. 2 [解析] (1)令 x∈[-1,0),则-x∈(0,1], ∴f(-x)=2 -1.又∵f(x)是奇函数,
-x

x

-6-

∴f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=f(-x)=2 -1,
-x

?1?x ∴f(x)=-? ? +1. ?2?
(2)∵log1 24=-log224∈(-5,-4), 2 ∴log1 24+4∈(-1,0), 2 ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x), ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴f(log1 24)=f(log1 24+4) 2 2 1 1 ?1? =-? ?log1 24+4+1=-24× +1=- . 16 2 ?2? 2 (理)若 f(x)=x -x+b,且 f(log2a)=b,log2f(a)=2(a≠1). (1)求 f(log2x)的最小值及对应的 x 值; (2)x 取何值时,f(log2x)>f(1),且 log2f(x)<f(1). [解析] (1)∵f(x)=x -x+b, ∴f(log2a)=(log2a) -log2a+b, 由已知(log2a) -log2a+b=b, ∴log2a(log2a-1)=0. ∵a≠1,∴log2a=1,∴a=2.又 log2f(a)=2,∴f(a)=4. ∴a -a+b=4,∴b=4-a +a=2. 故 f(x)=x -x+2. 1 2 7 2 从而 f(log2x)=(log2x) -log2x+2=(log2x- ) + . 2 4 1 7 ∴当 log2x= ,即 x= 2时,f(log2x)有最小值 . 2 4
??log2x? -log2x+2>2, ? (2)由题意? 2 ? ?log2?x -x+2?<2 ?x>2或0<x<1, ? ?? ?-1<x<2 ?
2 2 2 2 2 2 2 2

? 0<x<1.

∴x 的取值范围为(0,1).

-7-


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