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【走向高考】(新课标)2017高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 第6讲 几何概型(理)习题


2017 高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 第 6 讲 几何概型(理)习题
A 组 基础巩固 一、选择题 1.(2015·重庆一中期中)在[-2,3]上随机取一个数 x,则(x+1)(x-3)≤0 的概率为 导学号 25402499 ( A. C. 2 5 3 5 ) 1 B. 4 4 D. 5

[答案] D 4 [解析] 由(x+1)(x-3)≤0,得-1≤x≤3.由几何概型得所求概率为 . 5 2.在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,则这个正方形的 面积介于 36 cm 与 81 cm 之间的概率为 导学号 25402500 ( A. C. 1 4 4 27 1 B. 3 4 D. 15
2 2

)

[答案] A [解析] 面积为 36 cm 时,边长 AM=6 cm; 面积为 81 cm 时,边长 AM=9 cm. 9-6 3 1 ∴P= = = . 12 12 4 3 .若在面积为 S 的△ ABC 的边 AB 上任取一点 P ,则△ PBC 的面积大于 的概率是 4 导学号 25402501 ( A. C. 1 4 3 4 ) 1 B. 2 2 D. 3
2 2

S

[答案] C [解析] 如图,在 AB 边上取点 P′,使

AP′ 3 = ,则 P 只能在 AP′上(为包括 P′点)运 AB 4

1

动,则所求概率为

AP′ 3 = . AB 4

4. 一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行, 若蜜峰在飞行过程中始终保持与正方 体 6 个表面的 距离均大于 1 ,称其 为“安全 飞行 ”,则蜜 蜂“安全 飞行 ”的概率 为 导学号 25402502 ( A. C. 4π 81 1 27 ) 81-4π B. 81 8 D. 27

[答案] C [解析] 由已知条件可知,蜜蜂只能在一个棱长为 1 的小正方体内飞行,结合几何概型 1 1 可得蜜蜂“安全飞行”的概率为 P= 3= . 3 27
3

x≤0, ? ? 5 .(2014·湖北理 )由不等式组?y≥0, ? ?y-x-2≤0
?x+y≤1, ? ? ? ?x+y≥-2

确定的平面区域记为 Ω 1,不等式组

确定的平面区域记为 Ω 2.在 Ω 1 中随机取一点,则该点恰好在 Ω 2 内的概率为 ) 1 B. 4 7 D. 8

导学号 25402503 ( A. 1 8

3 C. 4 [答案] D

1 [解析] 由题意作图,如图所示,Ω 1 的面积为 ×2×2=2,图中阴影部分的面积为 2- 2 7 4 7 1 2 2 7 × × = ,则所求的概率 P= = ,选 D. 2 2 2 4 2 8

2

6.如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA、OB 为直径作两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 导学号 25402504 ( )

A.1- C. 2 π

2 π

1 1 B. - 2 π 1 D. π

[答案] A [解析] 设分别以 OA,OB 为直径的两个半圆交于点 C,OA 的中点为 D,如图,连接 OC,

DC.

不妨令 OA=OB=2, 则 OD=DA=DC=1. π 1 π 1 则以 OA 为直径的半圆中,空白部分面积 S1= + ×1×1-( - ×1×1)=1, 4 2 4 2 所以整体图形中空白部分面积 S2=2. 1 2 又因为 S 扇形 OAB= ×π ×2 =π , 4 所以阴影部分面积为 S3=π -2. π -2 2 所以 P= =1 - . π π 二、填空题

3

6 7 .(2015·武汉调研 ) 在区间 (0,1) 内随机地取出两个数,则两数之和小于 的概率是 5 ________. 导学号 25402505 [答案] 17 25

6 [解析] 设随机取出的两个数分别为 x,y,则 0<x<1,0<y<1,依题意有 x+y< , 5 1 1 1 2 1 - ×?1- ?×?1- ? 2 5 5 17 由几何概型知,所求概率为 P= = . 2 1 25 8.已知线段 AC=16 cm,先截取 AB=4 cm 作为长方体的高,再将线段 BC 任意分成两段 作为长方体的长和宽,则长方体的体积超过 128 cm 的概率为________. 导学号 25402506 [答案] 1 3
3

[解析] 依题意,设长方体的长为 x cm,则相应的宽为(12-x)cm,由 4x(12-x)>128 8-4 1 2 得 x -12x+32<0,4<x<8,因此所求的概率等于 = . 12 3 9. (2015·湖北八校二联)记集合 A={(x, y)|x +y ≤4}和集合 B={(x, y)|x+y-2≤0,
2 2

x≥0,y≥0}表示的平面区域分别为 Ω 1 和 Ω 2,若在区域 Ω 1 内任取一点 M(x,y),则点 M 落
在区域 Ω 2 的概率为________. 导学号 25402507 [答案] 1 2π
2 2

[解析] 作圆 O:x +y =4,区域 Ω 1 就是圆 O 内部(含边界),其面积为 4π ,区域 Ω 2 2 1 就是图中△AOB 内部(含边界),其面积为 2,因此所求概率为 = . 4π 2π

10.如图所示,图 2 中实线围成的部分是长方体(图 1)的平面展开图,其中四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图 1 内的概率是 ,则此长方体的体积是________. 导学号 25402508 4

4

图1 [答案] 3

图2

[解析] 设长方体的高为 h,由几何概型的概率计算公式可知,质点落在长方体的平面 展开图内的概率 P= 为 1×1×3=3. 三、解答题 11.已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为 0 的小球 1 个,标号为 1 的小球 1 个,标号为 2 的小球 n 个.若从袋子中随机抽取 1 个小球,取到标号为 2 的小球的 1 概率是 . 导学号 25402509 2 (1)求 n 的值; (2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球,记第一次取出的小球标号为 a,第二次取出的 小球标号为 b. (ⅰ)记“a+b=2”为事件 A,求事件 A 的概率; (ⅱ)在区间[0,2]内任取 2 个实数 x,y,求事件“x +y >(a-b) 恒成立”的概率. 1 π [答案] (1)2 (2)(ⅰ) ,(ⅱ)1- 3 4 [解析] (1)依题意 1 = ,得 n=2. n+2 2
2 2 2

2+4h 1 1 = ,解得 h=3 或 h=- (舍去),故长方体的体积 ?2h+2??2h+1? 4 2

n

(2)(ⅰ)记标号为 0 的小球为 s,标号为 1 的小球为 t,标号为 2 的小球为 k,h,则取出 2 个小球的可能情况有:(s,t),(s,k),(s,h),(t,s),(t,k),(t,h),(k,s),(k,

t),(k,h),(h,s),(h,t),(h,k),共 12 种,其中满足“a+b=2”的有 4 种:(s,k),
(s,h),(k,s),(h,s). 4 1 所以所求概率为 P(A)= = . 12 3 (ⅱ)记“x +y >(a-b) 恒成立”为事件 B, 则事件 B 等价于“x +y >4 恒成立”, (x,
2 2 2 2 2

y)可以看成平面中的点的坐标,则全部结果所构成的区域为 Ω ={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2, x,y∈R},而事件 B 构成的区域为 B={(x,y)|x2+y2>4,(x,y)∈Ω }.所以所求的概率为 P(B)=1- .
12.(2015·潍坊一模)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾
5

π 4

客两家商场的奖励方案如下: 导学号 25402510

甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形,且 每个扇形圆心角均为 15°,边界忽略不计)即为中奖. 乙商场:从装有 3 个白球 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 个球(球除颜色外不加区分), 如果摸到的是 2 个红球,即为中奖. 问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大? [答案] 在乙商场中奖的可能性大 [解析] 如果顾客去甲商场,试验的全部结果构成的区域为圆盘,指针转致力 360°, 阴影区域角度为 60°. 60 1 所以,在甲商场中奖的概率为 P1= = . 360 6 如果顾客去乙商场,记盒子中 3 个白球为 a1、a2、a3,3 个红球为 b1、b2、b3,记(x,y)为 一次摸球的结果,则一切可能的结果有:(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3), (a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3),(b1,b2),(b1,b3), (b2,b3),共 15 种, 摸到的 2 个球都是红球有(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)共 3 个,所以在乙商场中奖的概 3 1 率为 P2= = . 15 5 由于 P1<P2,所以顾客在乙商场中奖的可能性大. B 组 能力提升 1 1.(2015·湖北)在区间[0,1]上随机取两个数 x、y,记 p1 为事件“x+y≤ ”的概率, 2

p2 为事件“xy≤ ”的概率,则 导学号 25402511 (
1 A.p1<p2< 2 1 C. <p2<p1 2 [答案] D 1 [解析] 如图所示,事件“x+y≤ ”的概率 2

1 2

)

1 B.p2< <p1 2 1 D.p1< <p2 2

6

1 1 1 × × 2 2 2 1 1 1 S四边形OAEF+S曲边梯形ABCE p1 = = = < , 事 件 “xy≤ ” 的 概 率 p2 = = S四边形OBDF 1×1 8 2 2 S四边形OBDF

S△AOG

1 ×1+S曲边梯形ABCE 2 1 > , 1×1 2 1 所以 p1< <p2,选 D. 2 3 1 → → 2.(2015·东莞一模)已知 A(2,1)、B(1,-2)、C( ,- ),动点 P(a,b)满足 0≤OP·OA 5 5 1 → → ≤2,且 0≤OP·OB≤2,则点 P 到点 C 的距离大于 的概率为 导学号 25402512 ( 4 5 A.1- π 64 π C.1- 16 [答案] A → → → → [解析] ∵OP·OA=2a+b,OP·OB=a-2b, → → → → 又 0≤OP·OA≤2,且 0≤OP·OB≤2,
? ?0≤2a+b≤2, ∴? ?0≤a-2b≤2 ?

)

5 B. π 64 π D. 16

表示的区域如图阴影部分所示,

点 C

1 在阴影区域内到各边界的距离大于 . 4 2 5 又|OM|= , 5 2 5 2 1 2 ? ? -π ? ? 5 4 5 ∴所求概率 P= =1- π . 64 2 5 2 ? ? 5 3.(2015·重庆)在区间[0,5]上随机地选择一个数 p,则方程 x +2px+3p-2=0 有两 个负根的概率为________. 导学号 25402513
2

7

[答案] [解析]
2

2 3 设 方 程 x + 2px + 3p - 2 = 0 的 两 个 根 分 别 为 x1 、 x2 , 由 题 意 , 得 2 ,结合 0≤p≤5,解得 <p≤1 或 2<p≤5,所以所求概率 P 3
2

Δ =4p -4?3p-2?≥0 ? ? ?x1+x2=-2p<0 ? ?x1x2=3p-2>0 2 ?1- ?+?5-2? 3 2 = = . 5 3

[点拨] 解答本题时易忽略条件 Δ =4p -4(3p-2)≥0,从而造成错解. 4.(2015·陕西)随机抽取一个年份,对西安市该年 4 月份的天气情况进行统计,结果如 下: 导学号 25402514 日期 天气 1 晴 2 雨 3 阴 4 阴 5 阴 6 雨 7 阴 8 晴 9 晴 10 晴 11 阴 12 晴 13 晴 14 晴 15 晴

2

日期 天气

16 晴

17 阴

18 雨

19 阴

20 阴

21 晴

22 阴

23 晴

24 晴

25 晴

26 阴

27 晴

28 晴

29 晴

30 雨

(1)在 4 月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率; (2)西安市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续 2 天的运动会, 估计运动会期间不 下雨的概率. 13 [答案] (1) 15 7 (2) 8

[解析] (1)在容量为 30 的样本中,不下雨的天数是 26,以频率估计概率,4 月份任选 13 一天,西安市不下雨的概率为 . 15 (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1 日与 2 日,2 日与 3 日等).这样,在 4 月份中,前一天为晴天的互邻日期对有 16 个,其中后一天不下雨的有 14 个,所以晴天的次 7 日不下雨的频率为 . 8 7 以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为 . 8 [点拨] 利用频率估计概率,在大量统计过程中将频率近似看成概率是估算概率的根本 方法. 5.(2015·顺义区一模)已知关于 x 的一次函数 y=ax+b. 导学号 25402515 (1)设集合 A={-1, -1,1,2}和 B={-2,2}, 分别从集合 A 和 B 中随机取一个数作为 a、
8

b,求函数 y=ax+b 是增函数的概率; a-b+1≥0, ? ? (2)若实数 a、 b 满足条件?-1≤a≤1, ? ?-1≤b≤1,
概率. 1 [答案] (1) 2 2 (2) 7

求函数 y=ax+b 的图象不经过第四象限的

[解析] (1)抽取全部结果所构成的基本事件空间为(-2,-2),(-2,2),(-1,-2), (-1,2),(1,-2),(1,2),(2,-2),(2,2),共 8 个. 设函数是增函数为事件 A,需 a>0,有 4 个, 1 故所求概率为 P(A)= . 2

a-b+1≥0, ? ? (2)实数 a,b 满足条件?-1≤a≤1, ? ?-1≤b≤1,
则需使 a,b 满足?
? ?a≥0, ?b≥0, ? ? ?0≤a≤1, 即? ?0≤b≤1, ?

要函数 y=ax+b 的图象不经过第四象限,

对应的图形为正方形,面积为 1,作出不

等式组对应的平面区域如图;

则根据几何概型的概率公式可得函数 y=ax+b 的图象不经过第四象限的概率为 1 2 = = . 7 7 2

S正方形OFBC S多边形ABCDE

9


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