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河北省保定市2014届高三数学摸底考试试题


河北省保定市 2014 届高三数学摸底考试试题(扫描版)新人教 A 版

-1-

-2 -

-3-

2013 年保定市高三摸底考试 数学试题(理科)答案
-4-

一.选择题:DCADA

BCDCC

BB

6.提示:由累加法得 f (2013) ? 1 . 2013 另解:变换后可认为 ?

? 1 ? 1 . ? , x ? N * 是等差数列,易求得 f(2013)= 2013 ? f (x ) ?
x=a 为 对 称 轴 , 所 以

7. 提 示 : 易 知

f (a) ? sin(3a ? ? ) ? ?1 , 而

f (a ? ) ? sin(3a ? ? ? ) ? cos(3a ? ? ) ? 0 (彭领军命制) 6 2
另解:∵x=a 为对称轴,又 f(x)周期是

?

?

2? ? ? ,故 x=a+ 是与 x=a 相邻的对称轴,而 x=a+ 是 3 3 6

两相邻对称轴中间的 f(x)的零点。即 f (a ?

?
6

)?0

10. 提示:∵a3+a7-a10+ a11—a4=9,∴a7=9,∴S13=13 a7=117

?0 ? x ? 1 ? 11.解: ?0 ? y ? 1 ?0 ? x ? y ? 1 ?

结合图像得 B

另解:特殊化法 :分别取 A(0,0) 、B(1,0) 、C(0,1)易得 ( , ) 到 (1,1) 距离最小为

1 1 2 2

2 1 ,再求其平方得 . 2 2

12. 提示:

?2013 (x =-1) ? g'(x)=1 ? x ? x 2 ? x 3 +...+x 2012 = ?1+x 2013 >0 (x ? -1) ? ? 1+x

g (x)在R上单调递增 , 又因为g (0)=1.g (?1) ? 0 所以g(x)在(-1,0)上有唯一的零点
由 ? 1 ? x ? 3 ? 0得: -4<x<-3,所以g ( x ? 3)在(?4, ?3)有唯一的零点
二.填空题:13. 1; 三.解答题: 17.解: (1)因为 an ?1 ? an ? 2(n ? N ) ,所以数列 ? an ? 的公差 d=2
*

14. 2

n ?1



15.

39 3 ; 4

16.3

…………2 分

又 a2 ? 4

所以 an ? 2n ………………5 分

-5-

(2) 易得 S n = n ? n ………………6 分
2

所以 bn ?

1 1 1 ……………8 分 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

所以 T ? 1 ? 1 = n n 18. 解: (1) f ( x) ? cos(

n ?1 n ?1

………………10 分

?

1 ? 3 ? ? ? ? sin x ? cos x ? 1 x ? ) ? 2cos 2 x = cos x ? 2 3 2 3 3 3 3 6

1 ? 3 ? ? ? ? ? cos x ? sin x ? 1=-sin ( x + ) 1 ,………………4 分 ? 2 3 2 3 3 6
故 T=6. ………………………………6 分 (2)因为函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称, 所以 g ( x) ? f (? x) ? sin (

?

x- ) 1 ,又因为 T=6. ………………8 分 ? 3 6

?

g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)+g(6)=-6 ………………………………10 分 所以 g (1) ? g (2) ? ??? ? g (2012) +g(2013)=-2011 ……12 分——彭领军命题 19. 解: (1) f ??x ? ? ln x ? 1, x >0. ………………2 分 而 f ?? x ? >0 ? lnx+1>0 ? x > , f ?? x ? <0 ? ln x ? 1 <0 ? 0< x < ,

1 e

1 e

所以 f ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? ,?? ? 上单调递增. ……………4 分 所以 x ?

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

1 是函数 f ? x ? 的极小值点,极大值点不存在. ………………6 分 e

(2)设切点坐标为 ? x0 , y0 ? ,则 y0 ? x0 ln x0 ? 1 ,切线的斜率为 ln x0 ? 1, 又切线 l 过点 ?0,?1? ,所以 所以 y0 ? 1 ? x0 (

y0 ? 1 ? ln x0 ? 1, ………………9 分 ) x0



ln x0 ? 1, )解得 x0 ? 2

所以直线 l 的斜率为 1 +ln 2 …………………………………………12分 20. 解 (1) bc ? cos? ? 8 , 又 b ? c ? 2bc
2 2

b2 ? c2 ? 2bc cos? ? 42 即 b2 ? c 2 ? 32 ………2 分
,即 bc 的最大值为 16 ………4 分

所以 bc ? 16

当且仅当 b=c=4, ? =

?
3

时取得最大值…………………………5 分
-6-

(2)结合(1)得, 又 0< ? < ?

8 ? 16 , 所以 cos ? ? 1 , cos ? 2
所以 0< ? ?

?
3

………………………………7 分

f (? ) ? 3 sin 2? ? cos 2? -1 ? 2sin(2? ? )-1 6
因 0< ? ?

?

………………8 分

?
3

,所以

? ? 5? 1 ? < 2? ? ? , ? sin(2? ? ) ? 1 ………9 分 6 6 6 2 6

当 2? ?

?
6

?

5? 6

即? ?

?
3

时, f (? ) min ? 2 ?

1 -1 ? 0 2

……………10 分

当 2? ?

?
6

?

?
2

即? ?

?
6

时, f (? )max ? 2 ?1-1 ? 1

……………11 分

所以,函数 f (? ) ? 3 sin 2? ? cos 2? -1 的值域为[0,1] ………………12 分

?1 5 ? an , n为偶数 21. (1)解:∵ a4 ? , an ?1 ? ? 2 2 ?an ? 1,n为奇数 ?
∴ a3 ?

5 3 ? 1 ? ,∴ a2 ? 3 ,∴ a1 ? 2 ………………………3 分 2 2

1 a ?1 bn a2 n ?1 ? 1 2 2 n ? 2 1 ? ? ? ,…………………6 分 (2)证明: bn ?1 a2 n ?3 ? 1 a2 n ? 2 ? 1 ? 1 2
1 的等比数列。……………………7 分 2 1 n ?1 (3)解:∵ bn ? a2 n ?1 ? 1 ,∴ a2 n ?1 ? 1 ? (a1 ? 1) ? ( ) 2 1 n?1 即 a2 n ?1 ? ( ) ? 1 ………………………………………………8 分 2 1 1? (1 ? n ) 2 ? n=2- 1 ? n ……………9 分 ∴ a1 ? a3 ? ? ? a2 n ?1 ? 1 2n-1 1? 2
故数列 {bn } 是首项为 1,公比为 又∵ a2 ? a1 ? 1, a4 ? a3 ? 1,? a2 n ? a2 n ?1 ? 1 ………………………10 分

S ? 2(a1 ? a3 ? ? ? a2 n?1 ) ? n ? 4 ? ∴ 2n
22.解: (1)f(x)定义域为(-a,+∞)

1 2
n?2

? 3n ………………12 分(张军红命制)

-7-

f , ( x) ?

1 1? x ? a , ,由 f ( x) =0,得 x=1-a>-a. …………………1 分 ?1 ? x?a x?a
,

当 x 变化时, f ( x) ,f(x)变化情况如下 x (-a,1-a) + 增 1-a 0 极大值 (1-a,+∞) 减

f , ( x)
f(x)

因此,f(x)在 x=1-a 处取得最大值,故 f(1-a)=a-1=0,所以 a=1. ………………3 分 (2) 当k ? 0时,取x ? 1有f (1) ? ln 2 ? 1 ? 0, 故k ? 0不合题意. …………4 分 当 k<0 时, 令g ( x) ? ln( x ? 1) ? x ? kx , x ? (?1, ??)
2

1 ? x ? 2kx( x ? 1) x(?2kx ? 2k ? 1) ? 1 ? 2kx ? ? , 令g , ( x) ? 0 x ?1 x ?1 x ?1 ?2k ? 1 1 得x1 ? 0, x2 ? ? ?1 ? ? ?1,?????????5分 2k 2k g , ( x) ?

1 ①k ? ? 时,x2 ? 0, g , ( x) ? 0在 ? 0, ? ? 恒成立 ,因此 g(x)在(0,+∞)单调递增 ? 2
从而对任意的 x ? [0,+∞ ) ,总有 g(x)≥g(0)=0,即 f (x) ≥ kx 在[0,+∞ ) 恒成立。
2

故k ? ?

1 符合题意。………………………………………………7 分 2

1 ②当- ? k ? 0时,x2 ? 0, 对于x ? (0, x2 ),g , ( x) ? 0, 故g ? x ? 在(0, x2 )内单调递减。因此取 2 1 x0 ? (0, x2 ), g ( x0 ) ? g (0), 即f ( x0 ) ? kx0不成立。故- ? k ? 0不合题意 2
综上,k 的最大值为-

1 .……………………………………………9 分 2
n 2 ? ? 2 ? 2 ? ) ? ? ?ln ?1 ? ?? ? 2i ? 1 ? 2i ? 1 ? 2i ? 1 ? i ?1 ?
n n 2 2 ………10 分 ? ln ? 2n ? 1? ? ? 2i ? 1 i ?1 2i ? 1

(3)当 n=1 时,不等式左边=2<ln3+2=右边,不等式成立. 当 n≥2 时,

?
i ?1
n i ?1

n

f(

? ? ?ln ? 2i ? 1? ? ln ? 2i ? 1? ? ? ? ? ?
i ?1

在(2)中取 k ? - 得f ( x) ? ? ∴ f(

1 2

1 2 x ( x ? 0) 2

2 2 2 )?? ?? (i ? N * , i ? 2) 2 2i ? 1 (2i ? 1) (2i ? 1)(2i ? 3)

-8-

所以有 ln(2n ? 1) ? ?
i ?1

n

n 2 ? 2 ? n ?? f? ? ? 2 ? 2i ? 1 i ?1 ? 2i ? 1 ? = f (2) ? ? f ? ? ? 2i ? 1 ? i ?2

>ln3-2-

? ?2i ? 3??2i ? 1? =ln3-2- ? ? 2i ? 3 ? 2i ? 1 ? =ln3-2-1+ 2n ? 1 >-2. ? ?
i ?2 i ?2

n

2

n

?

1

1 ?

1

综上,

? 2i ? 1 ? ln(2n ? 1) ? 2
i ?1

n

2

(n ? N * ) ………………………12 分(段飞华改编)

欢迎有兴趣的老师为高三题库提供优质试题,一旦选用,我们将在答案后面附上命 题老师的尊姓大名,以表感谢。所供题目必须是原创题目或改编题目(改编题目还需 附上原题) 每到题目都需提供详细答案 , (包括小题) 整理后发至邮箱 bdchyp@sina.com , 谢谢!

2013 年保定市高三摸底考试 一.选择题:DCADA BCDCC 数学试题(文科)答案 BB

6.提示:由累加法得 f (2013) ? 1 . 2013 另解:变换后可认为 ?

? 1 ? 1 . ? , x ? N * 是等差数列,易求得 f(2013)= 2013 ? f (x ) ?
x=a 为 对 称 轴 , 所 以

7. 提 示 : 易 知

f (a) ? sin(3a ? ? ) ? ?1 , 而

f (a ? ) ? sin(3a ? ? ? ) ? cos(3a ? ? ) ? 0 (彭领军命制) 6 2
-9-

?

?

另解:∵x=a 为对称轴,又 f(x)周期是

2? ? ? ,故 x=a+ 是与 x=a 相邻的对称轴,而 x=a+ 是 3 3 6

两相邻对称轴中间的 f(x)的零点。即 f (a ?

?
6

)?0

10. 提示:∵a3+a7-a10+ a11—a4=9,∴a7=9,∴S13=13 a7=117 12. 提 示 : 由 条 件 可 以 看 出 , 在 上递增,根据奇函数性质,

f ( x) 在 区 间

1 1 1 [?2, ? ] 上 也 是 递 增 , 故 函 数 在 区 间 [?2, ? ] 上 的 值 域 为 [ f (?2), f (? )] , 而 2 2 2
,即值域为
n ?1

(张军红命制)

二.填空题:13. 1; 三.解答题:

14. 2



15.

39 3 ; 4

16.2

17.解: (1)因为 an ?1 ? an ? 2(n ? N ) ,所以数列 ? an ? 的公差 d=2
*

…………2 分

又 a2 ? 4

所以 an ? 2n ………………5 分
2

(2) 易得 S n = n ? n ………………6 分 所以 bn ?

1 1 1 ……………8 分 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

所以 T ? 1 ? 1 = n n 18.解: (1) f ( x) ? cos(

n ?1 n ?1

………………10 分

?

1 ? 3 ? ? ? ? sin x ? cos x ? 1 x ? ) ? 2cos 2 x = cos x ? 2 3 2 3 3 3 3 6

1 ? 3 ? ? ? ? ? cos x ? sin x ? 1=-sin ( x + ) 1 ,………………4 分 ? 2 3 2 3 3 6
故 T=6. ………………………………6 分 (2)易得 f(1)+f(2)+……+f(6)=-6,又因为 T=6. ………………9 分 所以 f(1)+f(2)+……+f(2013)=-2014………………12 分——彭领军命题 19. 解: (1) f ??x ? ? ln x ? 1, x >0. ………………2 分 而 f ?? x ? >0 ? lnx+1>0 ? x > , f ?? x ? <0 ? ln x ? 1 <0 ? 0< x < ,

1 e

1 e

- 10 -

所以 f ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? ,?? ? 上单调递增. ……………4 分 所以 x ?

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

1 是函数 f ? x ? 的极小值点,极大值点不存在. ………………6 分 e

(2)设切点坐标为 ? x0 , y0 ? ,则 y0 ? x0 ln x0 ? 1 ,切线的斜率为 ln x0 ? 1, 又切线 l 过点 ?0,?1? ,所以 所以 y0 ? 1 ? x0 (

y0 ? 1 ? ln x0 ? 1, ………………9 分 ) x0



ln x0 ? 1, )解得 x0 ? 2

所以直线 l 的斜率为 1 +ln 2 …………………………………………12分 20. 解 (1) bc ? cos? ? 8 , 又 b ? c ? 2bc
2 2

b2 ? c2 ? 2bc cos? ? 42 即 b2 ? c 2 ? 32 ………2 分
所以 bc ? 16 ,即 bc 的最大值为 16 ……………4 分

当且仅当 b=c=4, ? =

?
3

时取得最大值…………………………5 分

(2)结合(1)得, 又 0< ? < ?

8 ? 16 , 所以 cos ? ? 1 , cos ? 2
所以 0< ? ?

?
3

………………………………7 分

f (? ) ? 3 sin 2? ? cos 2? -1 ? 2sin(2? ? )-1 6
因 0< ? ?

?

………………8 分

?
3

,所以

? ? 5? 1 ? < 2? ? ? , ? sin(2? ? ) ? 1 ………9 分 6 6 6 2 6

当 2? ?

?
6

?

5? 6

即? ?

?
3

时, f (? ) min ? 2 ?

1 -1 ? 0 2

……………10 分

当 2? ?

?
6

?

?
2

即? ?

?
6

时, f (? )max ? 2 ?1-1 ? 1

……………11 分

所以,函数 f (? ) ? 3 sin 2? ? cos 2? -1 的值域为[0,1] ………………12 分

?1 5 ? an , n为偶数 21. (1)解:∵ a4 ? , an ?1 ? ? 2 2 ?an ? 1,n为奇数 ?
∴ a3 ?

5 3 ? 1 ? ,∴ a2 ? 3 ,∴ a1 ? 2 ………………………3 分 2 2
- 11 -

1 a ?1 bn a2 n ?1 ? 1 2 2 n ? 2 1 ? ? ? ,…………………6 分 (2)证明: bn ?1 a2 n ?3 ? 1 a2 n ? 2 ? 1 ? 1 2
1 的等比数列。……………………7 分 2 1 (3)解:∵ bn ? a2 n ?1 ? 1 ,∴ a2 n ?1 ? 1 ? (a1 ? 1) ? ( ) n ?1 2 1 即 a2 n ?1 ? ( ) n ?1 ? 1 ………………………………………………8 分 2 1 1? (1 ? n ) 2 ? n=2- 1 ? n ……………9 分 ∴ a1 ? a3 ? ? ? a2 n ?1 ? 1 2n-1 1? 2
故数列 {bn } 是首项为 1,公比为 又∵ a2 ? a1 ? 1, a4 ? a3 ? 1,? a2 n ? a2 n ?1 ? 1 ………………………10 分 ∴

S 2 n ? 2(a1 ? a3 ? ? ? a2 n?1 ) ? n ? 4 ?

1 2
n?2

? 3n ………………12 分(张军红命制) 1 x ln x 2 =x ln x ………………1 分 2
f (x) 单调递减
∵t ? 2 ?

22. 解: (1)当 x 在区间[t,t+2](t>0)时, f ( x) ? 所以 f ( x) ? ln x ? 1
'

当 x ? (0, ), f ( x) ? 0
'

1 e

当 x ? ( ,??), f ( x) ? 0
'

1 e

f (x) 单调递增

1 e

…………………3 分

∴① 0 ? t ? ②

1 ?t?2 e

即0 ? t ?

1 时 e

1 1 f ( x) min ? f ( ) ? ? …………………5 分 e e

1 ?t ?t?2时 e

f (x) 在区间[t,t+2](t>0)时是递增的

∴ f ( x) min ? f (t ) ? t ln t



f ( x ) min
2

? ? 1 ,o ?t ? 1 e ? ? e 1 , ? t ln t ,t ? e

………………………7 分

(2) 2 x ln x ? ? x ?|a|x ? 3 设 h( x) ? 2 ln x ? x ? 则 h ( x) ?
'

则 |a| ? 2 ln x ? x ?

3 …………………8 分 x

2 3 ( x ? 3)( x ? 1) ,………………………9 分 ? 2 ?1 ? x x x2

3 x

x ? (1,??)h ' ( x) ? 0, h( x) 递增 x ? (0,1)h ' ( x) ? 0, h( x) 递减

- 12 -



h( x) min ? h(1) ? 4

…………………………………………11 分

故所求 a 的范围是 ?4 ? a ? 4 ………………………………………12 分 欢迎有兴趣的老师为高三题库提供优质试题,一旦选用,我们将在答案后面附上命 题老师的尊姓大名,以表感谢。所供题目必须是原创题目或改编题目(改编题目还需 附上原题),每到题目都需提供详细答案(包括小题)

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