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2015年高三数学 专题31 选择题的解法课件 理


专题31

选择题的解法

选择题的解法

主干知识梳理

热点分类突破

真题与押题

选择题的解法 题型特点概述

高考数学选择题主要考查对基础知识的理解、基本
技能的熟练程度、基本计算的准确性、基本方法的正确

运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面,注重
多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,能 充分考查灵活应用基础知识、解决数学问题的能力.

选择题是属于“小灵通”题,其解题过程“不讲道理”,

所以解答选择题的基本策略是:充分地利用题干和选择
支两方面的条件所提供的信息作出判断.先定性后定量,

先特殊后推理,先间接后直接,先排除后求解,对于具
有多种解题思路的,宜选最简解法等.解题时应仔细审

题、深入分析、正确推演、谨防疏漏.初选后认真检验,
确保准确.

解数学选择题的常用方法,主要分直接法和间接法

两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法,
但高考的题量较大,如果所有选择题都用直接法解答,

不但时间不允许,甚至有些题目根本无法解答,因此,
我们还要研究解答选择题的一些技巧.总的来说,选择 题属小题,解题的原则是:小题巧解,小题不能大做.

目录页

方法一 方法二 方法三 方法四

直接法 特例法 排除法(筛选法) 数形结合法(图解法)

方法五 估算法

方法一 直接法

直接法就是从题干给出的条件出发,进行演绎推理,
直接得出结论.这种策略多用于一些定性的问题,是解

选择题最常用的策略.这类选择题是由计算题、应用题、
利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准 确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论, 然后与选择支对照,从而作出相应的选择.

证明题、判断题改编而成的,可直接从题设的条件出发,

7

例1

数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=,且对 )

任意正整数m、n,都有am+n=am· an,若Sn<a恒成 立,则实数a的最小值为( A. C. B. D.2

解析 对任意正整数 m、n,都有 am+n=am· an,取 m an+1 1 =1,则有 an+1=an· a1? =a1= , 3 an
1 1 故数列{an}是以 为首项,以 为公比的等比数列, 3 3

1 1 ?1- n? 3 3 1 1 1 则 Sn= = (1- n)< , 1 2 3 2 1- 3

由于Sn<a对任意n∈N*恒成立,

1 1 故 a≥ ,即实数 a 的最小值为 ,选 A. 2 2
答案 A

思维升华

直接法是解答选择题最常用的基本方法.直接法适用
的范围很广,只要运算正确必能得出正确的答案.平 时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力,准确 把握题目的特点.用简便的方法巧解选择题,是建立 在扎实掌握“三基”的基础上的,否则一味求快则会 快中出错.

变式训练 1

将函数y=sin 2x(x∈R)的图象分别向

左平移m(m>0)个单位、向右平移n(n>0)个单位所得 到的图象都与函数y=sin(2x+ )(x∈R)的图象重合, 则|m-n|的最小值为( )

π 3

π A. 6

5π B. 6

π C. 3

2π D. 3

解析

函数y=sin 2x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)

个单位可得y=sin 2(x+m)=sin(2x+2m)的图象, 向右平移n(n>0)个单位可得y=sin 2(x-n)=sin(2x -2n)的图象. 若两图象都与函数y=sin(2x+ π )(x∈R)的图象重合,

? ?2m=π+2k π, 1 ? 3 则? π ? 2n=- +2k2π, ? ? 3

3
(k1,k2∈Z)

? ?m=π+k π, 1 ? 6 即? π ? n=- +k2π ? 6 ?

(k1,k2∈Z) .

所以|m-n|=| π+(k1-k2)π|(k1,k2∈Z),

3

当k1=k2时,|m-n|min= π .故选C.

答案 C

3

方法二

特例法

特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特

殊图形、特殊位臵 ) 代替题设普遍条件,得出特殊
结论,再对各个选项进行检验,从而做出正确的选

择.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、
特殊图形、特殊角、特殊位臵等.

特例检验是解答选择题的最佳方法之一,适用于解答
“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立 ”,这样

以全称判断形式出现的题目,其原理是“结论若在某
种特殊情况下不真,则它在一般情况下也不真 ”,利

用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略.

例2

(1) 等差数列 {an} 的前 m 项和为 30 ,前 2m 项和为 B.170

100,则它的前3m项和为( A.130 D.260

C

) C.210

解析 取m=1,依题意a1=30,a1+a2=100,
则a2=70,又{an}是等差数列,进而a3=110,

故S3=210,选C.

例2 (2)如图,在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有 一动点P、Q满足A1P=BQ,过P、Q、C 三点的截面把棱柱分成两部分,则其体积 之比为( )

A . 3 ∶ 1 B B. 2 ∶ 1

C. 4 ∶ 1

D. ∶1

3
解析 将P、Q置于特殊位置:P→A1,Q→B, 此时仍满足条件A1P=BQ(=0),

则有

VC ? AA1B ? VA1 ? ABC ?

VABC ? A1B1C1 ,故选B. 3

思维升华 特例法具有简化运算和推理的功效,比较适用于题 目中含有字母或具有一般性结论的选择题,但用特 例法解选择题时,要注意以下两点: 第一,取特例尽可能简单,有利于计算和推理;

第二,若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的
结论相符,则应选另一特例情况再检验,或改用其

他方法求解.

变式训练 2 已知 O 是锐角△ABC 的外接圆圆心, cos B → cos C → → ∠A=60° , · AB+ · AC=2m· AO,则 m 的值 sin C sin B 为( 3 A. 2 ) B. 2 C. 1 1 D. 2

解析 如图,当△ABC为正三角形时,A=
B=C=60°,取D为BC的中点, , 2 → → AO= AD 3

1→ 1→ → 则有 AB+ AC=2m· AO, 3 3 1 → → 2→ 1 → 4 → ∴ (AB+AC)=2m× AD, ∴ · 2AD= mAD, 3 3 3 3

3 ∴m= ,故选 A. 2

答案 A

方法三

排除法(筛选法) )

例3 函数y=xsin x在[-π,π]上的图象是(

解析

容易判断函数y=xsin x为偶函数,可排除D;

当0<x<

π 时,y=xsin x>0,排除B; 2

当x=π时,y=0,可排除C;故选A.

答案 A

思维升华 排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当 题目中的条件多于一个时,先根据某些条件在选项 中找出明显与之矛盾的,予以否定,再根据另一些 条件在缩小选项的范围内找出矛盾,这样逐步筛选, 直到得出正确的答案.它与特例法、图解法等结合 使用是解选择题的常用方法.

变式训练 3

函数 y = 2|x| 的定义域为 [a , b] ,值域为 )

[1,16],a变动时,方程b=g(a)表示的图形可以是(

解析

研究函数y=2|x|,发现它是偶函数,x≥0时,它是增

函数,

因此x=0时函数取得最小值 1,而当x=±4时,函数值为16,

故一定有0∈[a,b],而4∈[a,b]或者-4∈[a,b],
从而有结论a=-4时,0≤b≤4,b=4时,-4≤a≤0,

因此方程b=g(a)的图形只能是B.
答案 B

方法四

数形结合法(图解法)

在处理数学问题时,能够将抽象的数学语言与直观的

几何图形有机结合起来,通过对规范图形或示意图形
的观察分析,将数的问题 ( 如解方程、解不等式、判

断单调性、求取值范围等 ) 与某些图形结合起来,利
用图象的直观性,化抽象为直观,化直观为精确,从

而使问题得到解决,这种方法称为数形结合法.

例4

零点之和等于( A.2

?1 ? 函数f(x)= ? ?|x-1| +2cos πx(-2≤x≤4)的所有 ? ? ?2 ?

)

B.4

C.6

D.8

解析 由

?1 ? ? ?|x-1| f(x)=? ? +2cos πx=0, ?2 ?

?1 ? ? ?|x-1| 得? ? =-2cos πx, ?2 ?



?1? ? ?|x- 1| g(x)=? ? (-2≤x≤4), ?2?

h(x)=-2cos πx(-2≤x≤4),

? ?? 1 ? ?x-1 ?1? ? ? ? , ? ?|x-1| 又因为 g(x)=?2? =??2? ? ? ? x-1 ?2 ,

1≤x≤4, -2≤x<1.

在同一坐标系中分别作出函数

?1 ? ? ?|x-1| g(x)=? ? (-2≤x≤4) ?2 ?

和 h(x)=-2cos πx(-2≤x≤4)的图象(如图),

由图象可知,函数

?1 ? ? ?|x-1| g(x)=? ? 关于 ?2 ?

x=1 对称,

又x=1也是函数h(x)=-2cos πx(-2≤x≤4)的对称轴,
? 所以函数g(x)=? 1 ? ?|x- 1| (-2≤x≤4)和h(x)=-2cos πx

? ? ?2 ? (- 2≤x≤4)的交点也关于 x= 1对称,且两函数共有 6

个交点,
所以所有零点之和为6. 答案 C

思维升华 本题考查函数图象的应用,解题的关键是将零点问题 转化为两图象的交点问题,然后画出函数的图象找出 零点再来求和. 严格地说,图解法并非属于选择题解题思路范畴,但 它在解有关选择题时非常简便有效.运用图解法解题 一定要对有关函数的图象、方程曲线、几何图形较熟 悉.图解法实际上是一种数形结合的解题策略.

变式训练 4 过点( 2, 0)引直线 l 与曲线 y= 1-x

2

相交于 A、B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的 面积取最大值时,直线 l 的斜率等于( ) 3 3 3 A. B.- C. ± D.- 3 3 3 3

解析 由 y= 1-x ,得 x +y =1(y≥0),
2 2 2

其所表示的图形是以原点 O 为圆心, 1 为半径的上 半圆(如图所示).

由题意及图形,知直线l的斜率必为负值,故排除A,

C选项.
当其斜率为- 时,直线l的方程为 x+y- =0,

3

点O到其距离为 除D选项.选B.

|- 6|= 6 >1,不符合题意,故排 3+ 1 2

3

6

答案

B

方法五

估算法

由于选择题提供了唯一正确的选择支,解答又无需

过程.因此,有些题目,不必进行准确的计算,只
需对其数值特点和取值界限作出适当的估计,便能

作出正确的判断,这就是估算法.估算法往往可以
减少运算量,但是加强了思维的层次.

? ?x≤0, ? 例 5 若 A 为不等式组?y≥0, 表示的平面区域, ? ? ?y-x≤2

则当 a 从-2 连续变化到 1 时, 动直线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为( 3 7 A. B.1 C. 4 4 ) D. 2

解析

如图知区域的面积是△OAB去掉

一个小直角三角形. 阴影部分面积比1大,比S△OAB= 1×2×
2=2小,故选C项. 答案 C

2

思维升华 “估算法”的关键是确定结果所在的大致范围,否

则“估算”就没有意义.本题的关键在于所求值应
该比△AOB的面积小且大于其面积的一半.

m- 3 4- 2m π 变式训练 5 已知 sin θ= ,cos θ= ( <θ<π), m+ 5 m+ 5 2 θ 则 tan 等于( ) 2 m- 3 m- 3 1 A. B. C. D. 5 3 9- m |9-m|

解析

利用同角正弦、余弦的平方和为 1求m的值,再

根据半角公式求 tan 数值特征分析.

θ ,但运算较复杂,试根据答案的 2

由于受条件sin2θ+cos2θ=1的制约,m为一确定的值, 进而推知tan 也为一确定的值,又 <θ<π,

θ 2

π 2

π θ π θ 因而 < < ,故 tan >1. 4 2 2 2
答案 D

规律方法总结

1.解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、估
算法、验证法和数形结合法.但大部分选择题的解法是 直接法,在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特 点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”,在“小题小做”、 “小题巧做”上做文章,切忌盲目地采用直接法.

2.由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑 性强,稍不留心就会误入“陷阱”,应该从正反两个方向 肯定、否定、筛选、验证,既谨慎选择,又大胆跳跃.

3.作为平时训练,解完一道题后,还应考虑一下能不能
用其他方法进行“巧算”,并注意及时总结,这样才能有

效地提高解选择题的能力.


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