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浅谈一题多解与一题多变在高中数学教学中的作用


浅谈一题多解与一题多变在高中数学教学中的作用 海南华侨中学三亚学校数学组 周瑞华

【摘要】 学高中数学,离不开解题训练,但我们在解题中不能为解题而去“孤立”的解题,要善 于拓展思路,用联系的眼光看待数学问题。要学会在解题中去寻求一题多解与一题多变,通 过利用一切有用条件,进行对比、联想,这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵 活性、独创性无疑是一条有效的途径 【关键词】 创新思想 思维变通 发散思维 对于传统的数学教学来说,教学过程的重点不外乎为:讲解定义推导公式,例题演练, 练习,及习题的安排。下面就一题多解与一题多变在教学中的作用谈谈我个人的几点心得体 会。 (一)一题多解,拓宽思路,培养思维的发散性 为了培养学生的创新意识和富有创造的思维变通能力,教学中适当精选一些一题多解的 典型题目,尽可能的引导学生进行多向思维,把所学的各方面知识有机的联系起来,既能有 效巩固基础知识,又能提高学生的思维能力和创新能力。一题多解的题目要具有代表性,能包 容大部分所学知识点,不能过于复杂(难),但也不能流于简单。过难挫伤学生研究学习的积 极性,过于简单学生没有兴趣,这一步对激发学生的学习研究兴趣很重要。 下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明: 例:已知 x、y≥0 且 x+y=1,求 x2+y2 的取值范围。 解答此题的方法比较多,下面给出几种常见的思想方法,以作示例。 解法一:(函数思想)由 x+y=1 得 y=1-x,则 1 1 x2+y2= x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2(x- )2+ 2 2 由于 x∈[0,1],根据二次函数的图象与性质知 1 1 当 x= 时,x2+y2 取最小值 ;当 x=0 或 1 时,x2+y2 取最大值 1。 2 2 评注:函数思想是中学阶段基本的数学思想之一,揭示了一种变量之间的联系,往往用 函数观点来探求变量的最值。对于二元或多元函数的最值问题,往往是通过变量替换转化为 一元函数来解决,这是一种基本的数学思想方法。解决函数的最值问题,我们已经有比较深 的函数理论,函数性质,如单调性的运用、导数的运用等都可以求函数的最值。 解法二:(三角换元思想)由于 x+y=1,x、y≥0,则可设 π x=cos2θ ,y=sin2θ 其中θ ∈[0, ] 2 则 x2+y2= cos4θ +sin4θ =(cos2θ +sin2θ )2-2 cos2θ sin2θ 1 1 2 2 =1- (2sinθ cosθ ) =1- sin 2θ 2 2 1 1-cos4θ 3 1 =1- × = + cos4θ 2 2 4 4 1 于是,当 cos4θ =-1 时,x2+y2 取最小值 ; 2 2 2 当 cos4θ =1 时,x +y 取最小值 1。 评注:三角换元思想也是高中数学的基本思想方法之一,通过三角换元就将问题转化为 三角恒等式变形后来解决,而三角恒等变形却有着一系列的三角公式,所以运用三角换元解 决某些问题往往比较方便。 解法三:(对称换元思想)由于 x+y=1,x、y≥0,则可设
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1 1 1 1 +t, y= -t,其中 t∈[- , ] 2 2 2 2 1 1 1 1 于是,x2+y2= ( +t)2+( -t)2= +2t2 t2∈[0, ] 2 2 2 4 1 1 所以,当 t2=0 时,x2+y2 取最小值 ;当 t2= 时,x2+y2 取最大值 1。 2 4 评注:对称换元将减元结果进行简化了,从而更容易求最值。 这三种方法,在本质上都一样,都是通过函数观点来求最值,只是换元方式的不同而已, 也就导致了化简运算量大小不同,教师通过引导、启发学生主动思考、运用,提高了学生对 数学的认识,也增强了学生思维能力的提高。 解法四:(运用基本不等式)由于 x、y≥0 且 x+y=1 (x+y)2 1 1 则 xy≤ = ,从而 0≤xy≤ 4 4 4 2 2 2 于是,x +y =(x+y) -2xy=1-2xy 1 1 所以,当 xy=0 时,x2+y2 取最大值 1;当 xy= 时,x2+y2 取最小值 。 4 2 评注:运用基本不等式可以解决一些含有两个未知量的最值问题,但要注意等号成立的 条件是否同时满足。 解法四:(解析几何思想)设 d= x2+y2 ,则 d 为动点 C(x,y)到原点(0,0)的距离, ?x ? y ? 1 ? 于是只需求线段 ? x ? 0 上的点到原点的最大和最小距离就可。 ?y ? 0 y ? x= 当点 C 与 A 或 B 重合时,dmax=1,则(x2+y2)max=1 1 B C 2 1 当 OC⊥AB 时 dmin= ,则(x2+y2)min= A 2 2 O 1 x 评注:用几何的观点研究代数问题,可以加强学生数形结合思想的养成,使学生在数和 形的理解把握好一个联系的尺度,能够由数想到形的意义,由形想到数的结构,从而达到快 速解决这类问题的目的。事实上,有许多解析几何最值问题和代数中许多最值问题都可以用 类似的方法解决,这对学生数学思维能力的培养,有着很积极的作用。 解法五:(数形结合思想)设 x2+y2=r2(r>0),此二元方程表示以坐标原点为圆心、半 径为 r 的动圆,记为⊙F。 y ?x ? y ? 1 1B ? 于是,问题转化为⊙F 与线段 ? x ? 0 ?y ? 0 A ? 有公共点,求 r 的变化范围。
O 1 x

当⊙F 经过线段 AB 端点时 rmax=1;当⊙F 与线段 AB 相切时 rmin= 则

2 2

1 ≤x2+y2≤1 2 评注:此解法与解法四并无本质区别,关键是数形结合思想的形成。 至此,解答本题的几种常见方法介绍完毕,下面展示对本题的变式和推广。 学生对此车资问题很感兴趣, 从上例可以看出,同学们对选题很感兴趣,思维活跃,勇 于探究,学习效果很明显。 例 2:在平行四边形 ABCD 中,E、F 分别是边 AB、CD 上的点,且 AE=CF,求证:BF//DE
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证法一:启发引导学生从平行四边形的判定定理: “两组对角分别相等的四边形是平行四 边形”入手,先证四边形 BEDF 是平行四边形,再根据平行四边形的定义就可得 BF//DE。 证法二:请学生思考能否应用平行四边形的判定定理: “两组对边分别相等的四边形是平 行四边形”来证明四边形 BEDF 是平行四边形,让学生先口头判断,再让学生板演。 证法三:请问学生还有其它的证法吗? 学生讨论、交流,教师点拨,让学生发现,可根据平行四边形判定定理:“一组对边平 行且相等的四边形是平行四边形”来证得四边形 BEDF 是平行四边形,从而获证 BF//DE。 通过以上三种解法的讨论,巩固了所学过的平行四边形的判定定理与性质定理,突破了本节 课的重点,不但达到了认知目标,而且还有利于培养学生思维的广阔性、变通性、创造性, 锻炼了学生的发散思维,这样也达到了本节课的能力目标;让学生比较哪种方法简练,并对 学生想出第三种证法给予高度评价,使学生拥有成功的喜悦,享受到数学思路的创新美,借 此调动学生深钻多思的学习积极性,在某种意义上达到该节课的情感目标。 (二)一题多变,积极思维,培养思维的灵活性 在初中数学教学中,选择教材中的典型题,恰当的进行一题多变的教学,可使学生处在 一种愉快的探索知识的过程中,可使学生所学知识纵向加深,横向沟通,从而充分调动学生 的积极性,提高学生分析问题和解决问题的能力。运用一题多变方式教学,可使学生根据变 化了的情况及时调整和改变原来的思维进程和方向,不受思维定势的消极影响,进行积极思 索,迅速提出解决问题的方法,从而激发学生学习的热情,大大提高课堂教学的容量,有利 于培养学生思维变通和创新意识能力。 一题多变,可以改变条件,保留结论;也可以保留条件,改变结论;又可以同时改变条 件和结论;还可以将某项条件和结论互换。请看如下例证: 例:如图 1,AB 是一条小河,C、D 两个村庄想在河 AB 上修建 一座水塔 M,使水塔到这两个村庄的距离之和最小。请你在图中找出水塔 M 的位置,并说明 理由。 分析:如何才能把 CM、DM 放在同一条直线上呢?如图 2,做 C 点关于 AB 的对称点 C’,连 接 DC’交 AB 于点 M,所以 MC=MC’,即点 M 为所求的点(两点之间线段最短) 。 证明:如图 3,假设 M’为所求的点,连接 C’M’、DM’、CM’、CM、C’M,因为 AB 是对 称轴,所以 CM=C’M,CM’=C’M’。即:DM+CM=DM+C’M,DM’+C’M’=DM’+CM’。因为 D、 M 、 C’在同一条直线上(由做法可知) ,根据在三角形中,两边之和大于第三边,所以 DM’+C’M’ 〉DM+C’M,即:DM’+C’M’ 〉DM+CM。所以 M 点即为所求的点。 变式 1:(2006,南充)如图 4,经过点 M(—1,2) 、N(1,—2)的抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴 交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点。 (1) 求 b 的值 (2) 若 OC2=OA·OB,试求抛物线的解析式 (3) 在该抛物线的对称轴上是否存在点 P, 使△PAC 的周长最小?若存在, 求出点 P 的坐标; 若不存在,请说明理由。

解:(1)将 M、N 两点的坐标代入抛物线解析式,得 a-b+c=2 ① a+b+c=-2 ② ②—①,得 2b=-4,∴b=-2; (2)由(1)b=-2,a+c=0,∴抛物线解析式可写为 y=ax2-2x-a 则 C(0,-a) 。设 A(x1,0)B(x2,0),则 x1,x2 是方程 ax2-2x-a=0 的两根,从而 x1x2=-1 由所给图形可知 OC=a,OA=- x1,OB= x2.∵OC2=OA·OB, ∴a2=- x1x2, ∴a2=1, ∴a=1(a>0) ∴抛物线解析式为 y=x2-2x-1
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(3)如图 5,在抛物线对称轴上存在点 P,使△PAC 的周长最小。 ∵AC 为定值,∴要使△PAC 的周长最小,只需 PA+PC 最小。谁是那条“河”呢?由题意可知 对称轴 x=1 是那条“河” 。 ∵点 A 关于对称轴 x=1 的对称点是 B,由上述例题可知,连结 BC 交 x=1 于一点,这一点即为 P 点(PA+PC=PB+PC) 。 由(2)知 B( 2 +1,0)、C(0,-1),经过点 B( 2 +1,0)、C(0,-1)的直线为 y=( 2 -1)x-1. 当 x=1 时,y= 2 -2.即 P(1,
2 -2).

变式 2.已知如图 6,A 点坐标为(-1,3) ,B 点坐标为(-4,2) ,有两动点 C、D,C 在 x 轴移 动,D 在 y 轴上移动。当四边形 ABCD 周长最短时,求 C、D 的坐标。 分析:连结 AB,∵AB 为定值,∴要使四边形 ABCD 周长最小,只需 BC+CD+DA 最小。如何才能 把 BC、CD、DA 放在同一条直线上呢?由例题可知,需要找出对称轴,只有 x 轴和 y 轴才能是 对称轴。∴做 A(-1,3)点关于 y 轴的对称点 A’(1,3), 做 B(-4,2)点关于 y 轴的对称 点 B’(-4,-2),连结 A’B’,交 y 轴、x 轴于两点 D、C,连结 AD,BC。∴此时四边形 ABCD 周长最小(证明略,辅助线已添加) 。设 A’B’的解析式为:y=kx+b,把 A’(1,3)、B(-4, -2) 代入到解析式中, 3=k+b, -2=-4k+b, ∴k=1, b=2, ∴A’B’的解析式为: y=x+2. 令 x=0, ∴y=2; 令 y=0, ∴x=-2. 即 C 的坐标(-2,0) , D 的坐标(0,2) 。 2 变式 3.(2006,北京)已知抛物线 y=ax +bx+c 与 y 轴交于点 A(0,3) ,与 x 轴分别交于 B(1,0)、C(5,0)两点。 (1) 求此抛物线的解析式; (2) 若点 D 为线段 OA 的一个三等分点,求直线 DC 的解析式; (3) 若一个动点 P 自 OA 的中点 M 出发,先到达 x 轴上的某点(设为点 E) ,再到达抛物线 的对称轴上某点(设为点 F) ,最后运动到点 A。求使点 P 运动的总路径最短的点 E、 点 F 的坐标,并求出这个最短总路径的长。 解:(1)根据题意得 c=3, 把 B(1,0)、C(5,0)两点代入到抛物线 y=ax2+bx+c 中,得 a+b+3=0, 3 3 ? 18 18 25a+5b+3=0,解之得 a= , b= ∴抛物线的解析式为 y= x2— x+3 5 5 5 5 (2)依题意可得 OA 的三等分点分别为(0,1) , (0,2)设直线 CD 的解析式为 y=kx+b 1 当点 D 的坐标为(0,1)时,直线 CD 的解析式为 y=- x+1 5 2 当点 D 的坐标为 (0,2) 时, 直线 CD 的解析式为 y=- x+2 5 3 (3)如图 8,由题意,可得 M(0, ) ,点 M 关于 x 轴的对 2 3 称点为 M’ (0,- ) ,点 A 关于抛物线对称轴 x=3 的对 2 称点为 A’(6,3) 。连结 A’M’,由例 2 可知(根据轴 对称性及两点间线段最短) ,A’M’的长就是所求点 P 运 动的最短总路径的长。 所以 A’M’与 x 轴的交点为所求 E 点与直线 x=3 的交点为所求 F 点。 可求得直线 A’M’的解 3 3 3 15 析式为 y= x— ;可得 E 点坐标为 (2, 0) , F 点坐标为 (3, ) , 由勾股定理可求出 A’M’= 。 4 2 4 2 所以点 P 运动的最短总路径(ME+EF+FA)的长为 15/2。 显而易见,通过对例题和习题的 潜心挖掘,使题目由一道题变成了一类题,大大提高了双基容量和灵活性,从而锻炼了学生
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思维的广泛性,提高了举一反三触类旁通的能力,而这正是思维灵活性得到培养和发展的最 好体现。 例 4:初三年级(下)《证明》这章中的“中位线”其练习题:求证顺次连结四边形各边中 点所得四边形是平行四边形。 变式:如果改为特殊四边形,如平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形时, 顺次连结它们各边的中点,将是什么四边形?如何证明?从推理过程中你发现原四边形的对 角线的关系是怎样决定中点四边形的图形呢? 在学完初三年级(下)《用推理方法研究四边形——中位线》这节之后,设计安排上述变式 的题目,让学生研讨、思考,显然颇有益处,既可以把若干知识点串联起来,达到巩固所学 知识的目的,又可以培养学生的猜想能力,有效地促进创造思维的形成与发展。 综上所述,通过一题多解、一题多变,对教材中的例题、习题进行纵向或横向的展开, 能加强学生对诸多知识和多种方法的理解和变通,从而最大限度地发挥教材中习题、例题的 潜在功能,从而达到培养学生良好思维方式和创新意识的目的。 参考文献: [1] 王建磐。义务教育课程标准实验教科书(华师大版) ,2007 版 [2] 张庆华。中考科学集训。白山出版社,2008 版

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