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高一假期作业必修五


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高一假期作业卷:必修五检测试卷 A. 一、选择题(题型注释) 1.在 ?ABC 中,若 c ? A、120° B、60°

1 x? y

B.

1 1 1 1 ( ? ) C. 2 2( x ? y 2 ) 4 x y

D.

1 2 xy

a 2 ? b 2 ? ab, 则角 C 的度数是( ).
C、60 或 120° D、45° ) D. -256

10.定义 max?a, b? ? ?

? ?a(a ? b), ? x ? 2, 设实数 x 、 y 满足约束条件 ? 且 z ? max?4 x ? y,3x ? y? ,则 y ? 2 , ? ?b(a ? b), ?
) C. [?6,8] D. [?7,8] )

2.在等比数列 ?an ? 中,若 a2 ? a3 ? 4, a4 ? a5 ? 16, 则 a8 ? a9 ? ( A. 128 B. -128 C. 256

z 的取值范围为(
A. [?6,0]

B. [ ?7,10]

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

3.等差数列 {an } 中, a1 ? a4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27, 则数列 {an }前9 项的和 S9 等于 A. 66 B. 99 C. 144 D. 297 ( )

11.在等比数列 {an } 中, a1 ? a2 ? 3 , a5 ? a6 ? 48 ,则 a9 ? a10 等于( A. 16 B. 256 C. 768 D.

4.已知 {a n } 是等比数列, a 2 ? 2, a5 ? 16 ,则公比 q 等于 A.2 B. ? 2 C.

16 3

1 2

D. ?

1 2

x?0 ? ? 5.已知实数 x , y 满足 ? ,若目标函数 z ? ax ? y ?a ? 0? 取得最小值时最优解有无数 y?1 ?2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ?
个,则实数 a 的值为( A、 ? 1 )

12.设 O 为坐标原点,点 A(1,1) ,若点 值时,点 B 的个数是 A、1 B、 2 C、3

? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0, ? B( x, y )满足 ?1 ? x ? 2, ?1 ? y ? 2, ?
D、无数

则 OA ? OB 取得最小

1 B、 ? 2

1 C、 2

二、填空题(题型注释) D、1 13.等比数列 ?an ? 的各项均为正数,前四项之积等于 64,那么 a12 ? a42 的最小值等于 14.在等差数列 {an} 中,若 a5 ? 4 , a7 ? 6 ,则 a 9 ? 。

6. 不等式ax ? b ? 0的解集为 x x ? 2 , 则不等式 的解集为( ) A. C.

?

?

ax ? b ?0 x ? 2x ? 3
2

? x ? 2 ? x ? ?1或x ? 3? ? x ? 1 ? x ? 2或x ? 3?

B. x ? 3 ? x ? ?2或x ? 1 D. x 2 ? x ? 3或x ? ?1

?

?

?

?

?x ? 0 ? (k为常数),若z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则 k = 15.已知 x, y满足条件? y ? x ?2 x ? y ? k ? 0 ?

.

7.已知各项均为正数的等比数列 {an } , a1 ? a2 ? a3 ? 5 , a7 ? a8 ? a9 ? 10 ,则 a4 ? a5 ? a6 ? A. 5 2 B. 7 C. 6 D. 4 2 ( )

16 . ( 文 ) 已 知 点 A(1, 0), B(0,1) 和 互 不 相 同 的 点 P1 , P 2 , P 3 ,?, P n ,?,满足
* O 其中 {an }、 若 P1 {bn } 分别为等差数列和等比数列, OP n ? an OA ? bn OB (n ? N ) , 为坐标原点,

是线段 AB 的中点,设等差数列公差为 d ,等比数列公比为 q ,当 d 与 q 满足条件 点 P1 , P 2,P 3 ,?, P n ,?共线 三、解答题(题型注释) 17.在△ABC 中, 若 sin A : sin B : sin C ? 7 : 8 :13 ,求角 C 大小

时,

8.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 11, S12 ? 186, 则a5 ? 11 = A.18 B.20 C.21 D.22

9.已知 x ? 0, y ? 0, x ? y ,则下面四个数中最小的是

第1页 共4页



第2页 共4页

18.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 ?bn ? 的各项均为正数, b1 ? 1 ,公比 为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12 , q ? (Ⅰ)求 an 与 bn ; (Ⅱ)证明:

(2)在 an 与 an ?1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成公差为 d n 的等差数列,求数列 ? 和 Tn .(6 分)

S2 . b2

? ?1? ? 的前 n 项 ? dn ? ?

1 1 1 ? ? ? 3 S1 S2

?

1 2 ? . Sn 3

19.14 分)已知在数列 ?an ? 中, a1 ?

1 , S n 是其前 n 项和,且 S n ? n 2 an ? n(n ? 1) . 2

(1)证明:数列 ?

?n ?1 ? S n ? 是等差数列; ? n ?

(2)令 bn ? (n ? 1)(1 ? an ) ,记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn . ①;求证:当 n ? 2 时, bn ?1 ? bn ? 2 ? ? ? b2 n ?

4 1 ? 5 2n ? 1

②: 求证:当 n ? 2 时, Tn ? 2( 20. (本小题满分 12 分)

2

T T2 T3 ? ??? n ) 2 3 n

设三角形 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, a ? 4, c ? 13 , sin A ? 4sin B . (1)求 b 边的长; (2)求角 C 的大小; (3)求三角形 ABC 的面积 S 。 21. (实验班必做)数列 {an } 的前 n 项和记为 S n , a1 ? t , an?1 ? 2S n ? 1(n ? N ? ) (1)t 为何值时,数列 {an } 是等比数列? (2) 在 (1) 的条件下, 若等差数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 有最大值, 且 T3 ? 15 , 又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求 Tn 。 22. (实验班必做) (12 分)设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 an?1 ? 2Sn ? 2(n ?N ).
*

(1)求数列 {an } 的通项公式; (6 分)
第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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参考答案 1. A 【解析】 c ?
2 2 2 a2 ? b2 ? a , b? a ? b ? c ? ?, ab

? cos C ?
2.C 【解析】 试 题

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? ? ,? C ? 120 2ab 2







a4 ? a5 ? a2 ? q 2 ? a3 ? q 2 ? (a2 ? a3 )q 2



? q2 ? 4



?a8 ? a9 ? q6 (a2 ? a3 ) ? 4 ? 43 ? 256 .
考点:等比数列的基本运算. 3.B 【解析】解:因为等差数列

{a n }中, a1 ? a 4 ? a 7 ? 39, a 3 ? a 6 ? a 9 ? 27, a 2 ? a 5 ? a 8 ? x ? 2x ? 39 ? 27 ? 66 ? x ? 33 则数列{a n }前9项的和S9 =99
选B 4.A 【解析】 试题分析:结合题意由等比数列的通项公式可得 a5 ? a2 q ,由此求得 q 的值.
3

解:由 a5 ? a2 q 得: 16 ? 2 ? q3 ,解得 q ? 2 。故选 A。
3

考点:等比数列的通项公式. 点评:本题考查等比数列的基本量之间的关系,若已知等比数列的两项,则等比数列的所有 量都可以求出,只要简单数字运算时不出错,问题可解. 5. A 【解析】 作出不等式表示的可行域, 由 题 意 知 当 直 线 z=ax+y 与 直 线 2x-2y+1=0 重 合 时 , 目 标 函 数 z 取 得 最 小 值 , 所 以 a=- 1. 6.C 【解析】本题考查不等式的解法 由 ax ? b ? 0 得 ax ? ?b :若 a ? 0 ,则其解集为 x ? ? b ;项 a ? 0 ,则其解集为 x ? ? b .
a a

因为 ax ? b ? 0 的解集为 ? x | x ? 2? ,所以 a ? 0 且 ? b ? 2 .
a



ax ? b ? 0 得 ? ax ? b ? x2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,即 ? a x? b ?? x ? 3?? x ? 1? ? 0 ,由 a ? 0 知此不等式的 x2 ? 2 x ? 3

?

?

最高次项的系数为正数 令 ? ax ? b ?? x ? 3?? x ? 1? ? 0 得 x ? ?1或 x ? 2 或 x ? 3

答案第 1 页,总 10 页

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由序轴标根法有不等式 ? ax ? b ?? x ? 3?? x ? 1? ? 0 的解集为 x ? 1 ? x ? 2或x ? 3 所以
ax ? b ? 0 的解集为 x ? 1 ? x ? 2或x ? 3 x2 ? 2 x ? 3

?

?

?

?

故正确答案为 C

?1
7.A

2

3

【解析】解:因为各项均为正数的等比数列 {an } , a1 ? a2 ? a3 ? 5 , a7 ? a8 ? a9 ? 10 ,则

(a 4 ? a5 ? a6 )2 ? (a1 ? a 2 ? a3 ) ? (a7 ? a8 ? a9 ) ? 50, a4 ? a5 ? a6 ? 5 2 ,选 A
8.B 【解析】∵ S12 ?

12(a1 ? a12 ) ? 6(a5 ? a8 ) ? 186 ,又 a5 ? 11 ,∴ a8 ? 20 ,故选 B 2

9.C 【解析】本题考查均值不等式. 因为 x ? 0, y ? 0, x ? y ,由均值不等式定理得 x ? y ? 2 xy ,则 又 x2 ? y2 ? 2 xy ,则 2 x2 ? y2 ? 4 xy ,则
1 ? 1 ;① 2 xy x ? y

?

?

1 ? 1 , 4 xy 2 x2 ? y 2

?

?

所以

1 ? 1 ? 1 ;② 4 xy 2 xy 2 x2 ? y2

?

?

因为 x2 ? y2 ? 2 xy ,所以 2 x2 ? y 2 ? 2 xy ? x 2 ? y 2 ? ? x ? y ? ,即 2 x2 ? y2 ? ? x ? y ? ,所以
2 2

?

?

?

?

2 x2 ? y2 ? x ? y ,则
1 (1 ? 1 ) ? x ? y ? 4 x y 4 xy x? y

?

?

1 ? 1 2 x? y 2 x ?y

?

2

?



? x? y? 4?? ? ? 2 ?

2

?

1 1 ,则 1 ( 1 ? 1 ) ? 1 ? 2 x? y 4 x y x? y 2 x ? y2

?

?



由①②③④知,最小的是 故正确答案为 C

1 2( x ? y 2 )
2

10.B 【解析】 ? (4 x ? y) ? (3x ? y) ? x ? 2 y ,

答案第 2 页,总 10 页

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?4 x ? y ( x ? 2 y ? 0), 直线 x ? 2 y ? 0 ?z ? ? ?3x ? y ( x ? 2 y ? 0).
将约束条件 ?

? ?x ? 2 所确定的平面区域分为两部分. ? ?y ?2

如图,令 z1 ? 4 x ? y ,点 ( x, y ) 在四边形 ABCD 上及其内部,求得 ,求得 ? 7 ? z1 ? 10 ;令 z2 ? 3x ? y ,点 ( x, y ) 在四边形 ABEF 上及其内部(除 AB 边)

? 7 ? z2 ? 8 .综上可知, z 的取值范围为 [?7,10] .
11.C 【解析】

由等比数列的通项an ? a1q n ?1可得: a1 ? a2 ? a1 (1 ? q) ? 3, a5 +a6 ? a1q 4 (1 ? q) ? 48, ? q 4 ? 16, a9 ? a10 ? a1q8 (1 ? q) ? 3 ? (q 4 ) 2 ? 768 故答案选C.
12.B 2 2 2 2 【解析】解:x +y -2x-2y+1≥0 即(x-1) +(y-1) ≥1, 表示以(1,1)为圆心、以 1 为半径的圆周及其以外的区域. 当目标函数 z= OA ? OB ? =x+y 的图象同时经过目标区域上的点(1,2)、(2,1)时, 目标函数 z= OA ? OB =x+y 取最小值 3. 故点 B 有两个. 故选 B. 13.16 【解析】解答:因为等比数列 ?an ? 的各项均为正数,由基本不等式可知 a12 ? a42 ? 2a1a4 , 当 且 仅 当 a1 ? a4 时 等 号 成 立 。 由 等 比 数 列 的 性 质 , a1a4 ? a2 a3 , 所 以

a1a 2 a a3 ?4 ? a a

?1

2

2 2 ? 4 64 ,所以 a1a4 ? 8 ,即 a1 ? a4 ? 16 。

故答案为 16 14.8 【解析】首先根据等差数列的概念由 a5 和 a7 求出公差,然后由 a5+4d 求 a9. 解:因为数列{an}是等差数列,且 a5=4,a7=6,设其公差为 d, 所以 a7=a5+2d,即 6=4+2d,所以 d=1,则 a9=a5+4d=4+4×(1)=8. 故答案为 8. 15.-6
答案第 3 页,总 10 页

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【解析】略 16.
x 理y?( )

1 4 ;

文?

?d ? 0 ?d ? 0 或? 另一种描述: d ? 0 或 q ? 1 且 d ? 0与q ? 1 不同时成立 ?q ? 1 ?q ? 1
2? 3

【解析】略 17. C ?

【解析】 试题分析: 根据题意, 由于 sin A : sin B : sin C ? 7 : 8 :13 , 结合正弦定理可知 a:b:c=7:8:13, 则 可 知 角 C 是 最 大 角 , 那 么 设 a=7,b=8,c=13, 根 据 余 弦 定 理 可 知 , cosC=

2? a 2 ? b 2 ? c 2 49 ? 64 ? 169 1 ? ? ? ,那么可知角 C 的大小为 C ? 3 2ab 2? 7?8 2

考点:正弦定理 点评:主要是根据正弦定理来得到边的比值,借助于余弦定理来求解角,属于基础题。 18. (Ⅰ) an ? 3 ? 3(n ?1) ? 3n (Ⅱ)由 S n ? 得 , bn ? 3n?1 .

n(3 ? 3n) , 2

1 2 2 1 1 ? ? ( ? ). S n n(3 ? 3n) 3 n n ? 1
1 1 ? ? S1 S2 ?
2 1 1 ? (1 ? ) n ?1 Sn 3
1 1 1 1 ? 1, ≤ ,于是 ≤ 1 ? n ?1 2 2 n ?1

求得

因为 n ≥ 1 ,所以 0 ? 得出

1 1 1 1 2 ≤ ? ??? ? 。 3 S1 S 2 Sn 3

【解析】 试题分析: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,

?b2 ? S 2 ? 12, ?q ? 6 ? d ? 12, ? ? S2 6?d 因为 ? 所以 ? q? . q? , ? ? q b2 ? ?
解得 q ? 3 或 q ? ?4 (舍) , d ? 3. 故 an ? 3 ? 3(n ?1) ? 3n , bn ? 3n?1 .

3分

6分

答案第 4 页,总 10 页

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(Ⅱ)因为 S n ? 所以

n(3 ? 3n) , 2
9分

1 2 2 1 1 ? ? ( ? ). S n n(3 ? 3n) 3 n n ? 1



1 1 ? ? S1 S2
2 1 (1 ? ) 3 n ?1

?

1 2? 1 1 1 1 1 ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? Sn 3 ? 2 2 3 3 4
11 分

1 1 ? ?( ? ) n n ?1 ? ?

?

1 1 1 1 ? 1, ≤ ,于是 ≤ 1 ? n ?1 2 2 n ?1 1 2 1 2 )? . 所以 ≤ (1 ? 3 3 n ?1 3
因为 n ≥ 1 ,所以 0 ? 即

1 1 1 1 2 ≤ ? ??? ? 3 S1 S 2 Sn 3

13 分

考点:本题主要考查等差数列、等比数列的的基础知识, “裂项相消法” ,不等式的证明。 点评:中档题,本题具有较强的综合性,本解答从确定通项公式入手,从而求得了 s n ,进 一步转化成数列 { } 求和问题,利用“裂项相消法”化简,达到证明不等式的目的。 19.解:由条件可得 S n ? n (S n ? S n?1 ) ? n(n ? 1) , (n ? 1)S n ? n S ? n(n ? 1)
2 2 2

1 sn

两边同除以 n(n ? 1) ,得:

n ?1 n Sn ? S n ?1 ? 1 n n ?1

所以:数列 ?

?n ?1 ? S n ? 成等差数列,且首项和公差均为 1??????4 分 ? n ?

(2)由(1)可得:

n ?1 n2 2 Sn ? n , Sn ? , 代 入 S n ? n an ? n(n ? 1) 可 得 n n ?1

an ? 1 ?

1 1 1 1 1 ,所以 bn ? , Tn ? 1 ? ? ? ? ? .?????????6 分 n 2 3 n n(n ? 1)
1 1 4 1 ? ? ? 即 n ? 2 时命题成立 3 4 5 5

①当 n ? 2 时, b3 ? b4 ?

假设 n ? k (k ? 2) 时命题成立,即

1 1 1 4 1 ? ??? ? ? k ?1 k ? 2 2k 5 2k ? 1

答案第 5 页,总 10 页

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当 n ? k ? 1 时,

1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ? ? ? ? k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2k ? 2 5 2k ? 1 k ? 1 2k ? 1 2k ? 2
=

4 1 4 1 ? ? ? 5 2k ? 2 5 2k ? 3

即 n ? k ? 1 时命题也成立

综上,对于任意 n ? 2 , bn ?1 ? bn ? 2 ? ? ? b2 n ?

4 1 ? ????????????9 分 5 2n ? 1

② bn ?

1 1 1 当 n ? 2 时, bn ? Tn ? Tn ?1 ? , 即Tn ? ? Tn ?1 n n n
2

平方则 Tn ?

2Tn 2T 1 1 2 2 2 ? 2 ? Tn ?1 ? Tn ? Tn ?1 ? n ? 2 n n n n T T2 T3 1 1 1 ? ??? n ) ? ( 2 ? 2 ??? 2 ) 2 3 n 2 3 n

叠加得 Tn ? 1 ? 2(

2

? Tn ? 2(

2

T T2 T3 1 1 ? ??? n ) ?1? ( 2 ??? 2 ) 2 3 n 2 n



1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? ? ??? 2 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n 2 3 n
1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 1? ? 1 2 2 3 n ?1 n n
T T2 T3 ? ??? n ) 2 3 n

=1 ?

? Tn ? 2(

2

??????14 分 【解析】略 20.解: (1)依正弦定理

a b ? 有 b sin A ? a sin B …………………………2 分 sin A sin B
…………………………4 分

又 a ? 4, sin A ? 4sin B ,∴ b ? 1

a 2 ? b2 ? c 2 16 ? 1 ? 13 1 ? ? ………………………6 分 (2)依余弦定理有 cos C ? 2ab 2 ? 4 ?1 2
又 0 < C < 180 ,∴ C ? 60
?
?

?

…………………………8 分

答案第 6 页,总 10 页

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(3)三角形 ABC 的面积 S ? 【解析】略 21. (1)t=1(2) Tn ? 15 n ?

1 1 ab sin C ? ? 4 ?1? sin 60? ? 3 ………………12 分 2 2
n(n ? 1) ? (?10 ) = ? 5n 2 ? 20n 2

【解析】解: (1) a2 ? 2a1 ? 1 ? 2t ? 1 n ? 2时.an ? 2S n?1 ? 1, 从而an?1 ? an ? 2an

? an?1 ? 3an (n ? 2),

a3 ?3 a2 a2 2t ? 1 ? 3, ? 3,? t ? 1 a1 t

{a }为等比数列时 ,

(2)设等差数列{bn}的合差为 d(d<0),由 T3=15,得 b2=5,而 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9

?1 ? 5 ? d ,3 ? 5,9 ? 5 ? d 成等比数列 ? d 2 ? 8d ? 20 ? 0

(b-d)(d+14)=82

? d ? ?10或d ? 2

? b1 ? 15
n(n ? 1) ? (?10 ) = ? 5n 2 ? 20n 2 15 2n ? 5 ? 22 . (1) an ? 2 ? 3n?1 ; (2) Tn ? 。 16 16 ? 3 n ?1 Tn ? 15 n ?
【 解 析 】 (1) 由 an?1 ? 2Sn ? 2(n ? Z ),得 an ? 2Sn?1 ? 2(n ? Z ,
* *

) ,

再两式相减得:

, 从而可得

,又因为

是等比数

列,所以

,从而求出首项 a1,得到

的通项公式.

(2) 由 ( 1 ) 知

,则

,又∵

,从而可得

答案第 7 页,总 10 页

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,所以

,所以采用错位相减的方法求和即可.

(1)由

Z)

*



Z,

*

) ,????????????2 分

两式相减得:





Z,

*

) ,????????????4 分



是等比数列,所以







,∴





??????????6 分

答案第 8 页,总 10 页

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(2)由(1)知

,则







???????8 分



?



②???????10 分

①-②得

??????????????11 分

答案第 9 页,总 10 页

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??????????????12 分

答案第 10 页,总 10 页


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高二数学必修5寒假作业附有答案
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