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高三数学导数的定义、导数与切线、导数与单调区间人教版知识精讲.doc


高三数学导数的定义、导数与切线、导数与单调区间人教版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容: 导数的定义、导数与切线、导数与单调区间 二. 重点、难点: 1. 定义

f ?( x0 ) ? lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

2. 常见函数的导数 (1) y ? c (2) y ? x
n

(3) y ? loga x (4) y ? a (5) y ? sin x
x

(6) y ? cos x (7) y ? tan x (8) y ? cot x

y? ? 0 y? ? nxn?1 1 y ? ? log a e x y? ? a x ln a y ? ? cos x y ? ? ? sin x 1 y? ? cos 2 x 1 y? ? ? 2 sin x

3. 运算 (1) [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) (2) [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) (3) [c ? f ( x)]? ? c ? f ?( x)

1 ]? ? ? f ?( x) / f 2 ( x) ( f ( x) ? 0 ) f ( x) f ( x) f ?( x) g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) (5) [ ( g ( x) ? 0 ) ]? ? g ( x) g 2 ( x)
(4) [ 4. 复合函数的系数

y ? f (u ) u ? g ( x) y ? F ( x) ? f [ g ( x)] ∴ F ?( x) ? f ?(u) ? g ?( x) 其中 u ? g ( x) 5. 切线 P( x0 , y0 )在 y ? f ( x) 上,以 P 为切点, f ( x) 为切线 l : y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 )
6. 单调区间 (1) y ? f ( x) 在区间( a , b )内可导 且 x ?( a , b )总有 f ?( x) ? 0 ∴( a , b )为 y ? f ( x) 的增区间 (2) y ? f ( x) 在区间( a , b )内可导 且 x ? (a , b) 总有 f ?( x) ? 0 ∴( a , b )为 y ? f ( x) 的减区间

【典型例题】
[例 1] 用定义求函数 y ? 解: ?y ?

x 的导函数

x ? ?x ? x
x ? ?x ? x ?x 1 ? lim ? ?x ? 0 ?x ?x ( x ? ? x ? x ) 2 x

y ? ? lim

?x ? 0

[例 2] y ? f ( x) 在 x ? x0 处可导,且 lim

f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) ? 1 ,求 f ?( x0 ) ?x ?0 ?x f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) ? lim 2 解: lim ?x ?0 2 ?x ?0 ?x 2?x 1 ∴ 2 f ?( x0 ) ? 1 ∴ f ?( x0 ) ? 2

[例 3] 求证 y ? f ( x) ?| x | ,在 x0 ? 0 处连续且不可导 证明: f ( x) ? ?
x ?0 x ?0

? x ( x ? 0) ?? x ( x ? 0) lim f ( x) ? lim f ( x) ? f ( x) ? 0 ? ?
lim?

f ( x) ? ?x ? 0 f ( x) ?x ? lim? ? ?1 lim ? lim ?1 ? ? ?x ? 0 ?x ?0 ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ?x ?x ?x f ( x) ∴ lim 不存在 ∴ 不可导 ?x ? 0 ?x
[例 4] 求下列函数的导数 (1) y ? f ( x) ? (2) y ? f ( x ) ?

x 2 ? 3x ? 2 x

x 1? x2 1 ? sin x (3) y ? f ( x) ? 1 ? cos x 3 (4) y ? f ( x) ? sin 3x ? sin x
(5) y ? f ( x) ? (2 x ? 5) ? (3x ? 1)
3 4

(6) y ? f ( x) ? (7) y ? x (8) y ? x 解:
3 1
sin x x

4 x ?1 ? x ?1

(1) y ? x 2 ? 3x 2 ? 2 ? x (2) y ? ?

?

1 2

y? ?

? 3 2 3 ?2 x ? x ?x 2 2 2

1

1

3

(1 ? x 2 ) ? x(?2 x) 1? x2 ? (1 ? x 2 ) 2 (1 ? x 2 ) 2

(3) y ? ?

sin x ? cos x ? 1 (1 ? cos x) 2

(4) y? ? cos x 3 ? 3x 2 ? 3 sin 2 x ? cos x (5) y? ? 6(2x ? 5) 2 ? (3x ? 1) 4 ? 12(3x ? 1) 3 (2x ? 5) 3

? 6(3x ? 1) 3 (2x ? 5) 2 (7 x ? 9)
(6) y ? 2( x ? 1 ?

x ? 1)
1 x ?1

y? ? 2 ? (

1 2 x ?1

?

1 2 x ?1

)

?
(7) y ? e

1 x ?1
ln xsin x

?

?e

sin x?ln x

1 y ? ? e sin x?ln x ? (sin x ? ln x)? ? e sin x?ln x (cos x ln x ? sin x) x 1 y ? ? ln x ? 1 (8) ln y ? x ln x y? ? x x ? ( l n x ? 1) y
[例 5] 求曲线 y ? x 2 在点 P(2,4)处的切线方程。 解:P(2,4)在 y ? x 2 上 ∴ l切 : y ? 4 ? 4( x ? 2) ∴ k ?4 y? ? 2x 4x ? y ? 4 ? 0

[例 6] 曲线 y ? 2 x 2 ? 3x ? 26在点 A 处的切线的斜率为 15,求切线方程。 解:设切点为 A( x0 , y0 ) ∴ x0 ? 3 ∴ y0 ? 1 ∴ 15x ? y ? 44 ? 0 ∴ l切 : y ? 1 ? 15( x ? 3) [例 7] 过点 P(2,0)且与曲线 y ? 解: y ? ? ?

y? ? 4x ? 3

∴ 4 x0 ? 3 ? 15

1 相切的直线方程。 x

1 x2

1 上,设切点 A( x0 , y0 ) x 1 ∴ l切 : y ? y 0 ? ? 2 ( x ? x0 ) x0
P(2,0)不在 y ?

1 ? ? y0 ? x ? x0 ? 1 ? 0 ∴ ? ?? ?0 ? y ? ? 1 (2 ? x ) ? y 0 ? 1 0 0 2 ? x0 ? ∴ l切 : y ? 1 ? ?( x ? 1) ∴ x? y?2 ?0
[例 8] y ? x 与 y ? x 交点处的两条切线的夹角
?2 ?1

1 ? y? 2 ? ?x ? 1 1 1 ? x y ? ? ?2 3 , y ? ? ? 2 ?? 解: ? x x ?y ?1 ?y ? 1 ? x ? ∴ k1 ? ?2 k 2 ? ?1 ? 2 ?1 1 1 tan ? ?| |? ∴ ? ? arctan 1? 2 3 3
[例 9] 求过 P(2, ? 2 )与曲线 y ? 3x ? x 3 相切的切线方程

y ? ? 3 ? 3x 2 ∴ l切 : y ? b ? (3 ? 3a 2 )(x ? a)
解:设切点 A( a , b ) ∴ ?
3 ? ?b ? 3a ? a 2 ? ?? 2 ? b ? (3 ? 3a )(2 ? a )

a 3 ? 3a 2 ? 4 ? 0

(a ? 1)(a ? 2) 2 ? 0

① a ? ?1 ? b ? ?2 ② a ? 2 ? b ? ?2

l切 : y ? ?2 l切 : 9 x ? y ? 16 ? 0

[例 10] 求曲线 C1: y ? x 2 ,曲线 C2: y ? ?( x ? 2) 2 的公切线 解:公切线 l 与 C1、C2 切点为 A( a , a )B( b , ? (b ? 2) 2 )
2

l1 : y ? a 2 ? 2a( x ? a) l 2 : y ? (b ? 2) 2 ? ?2(b ? 2)(x ? b) l1 、 l 2 为同一条直线 l1 : y ? 2ax ? a 2 l 2 : y ? ?2(b ? 2) x ? b 2 ? 4 ?2a ? ?2(b ? 2) ? a ? 2 ?a ? 0 ?? 即: ? 或? 2 2 ?b ? 0 ?b ? 2 ?? a ? b ? 4
∴ 两公切线: y ? 4 x ? 4 , y ? 0 [例 11] 求下列函数的单增区间

1 2 x ? 2x ? 5 2 x2 ?1 (2) y ? x 2 k ? x( k ? 0 ) (3) y ? x 2 (4) y ? 2 x ? ln x
(1) y ? x ?
3

解: (1) y? ? 3x ? x ? 2 ? 0
2

2 x ? (?? , ? ) ? (1 , ? ?) 3

∴( ? ? , ?

2 ),(1, ? ? ) ? 3

x2 ?1 ?0 x ? (?? , 0) ? (0 , ? ?) x2 ∴ (?? , 0) (0 , ? ?) ?
(2) y ? ? (3) y ? ? 1 ?

k2 ?0 x2

x ? (?? , ? k ) ? (k , ? ?)

∴( ? 8 , ? k ),( k , ? ? ) ? (4) y ? ? 4 x ?

1 4x 2 ? 1 ? ?0 x x
∴ x?(

* 定义域(0, ? ? )

1 , ? ?) ? 2

[例 12] 证明不等式

x2 x2 (1) x ? (0 , ? ?) x ? ? l n1 (? x ) ? x ? 2 2(1 ? x) 2x ? x ? (0 , ) (2) sin x ? ? 2 ? x ? (0 , ) (3) x ? sin x ? tan x ? x 2
解:

x2 ) (1)令 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ( x ? 2 1 x2 f ?( x) ? ? (1 ? x) ? x ? (0 , ? ?) 1? x 1? x
∴ 任取 x ? (0 , ? ?) 令 g ( x) ? [ x ?

f ?( x) ? 0 ?

f (0) ? 0

f ( x) ? f (0) ? 0 恒成立

即 ln(1 ? x) ? ( x ?

x2 ) 2

x2 ] ? ln(1 ? x) 2(1 ? x) 4x 2 ? 4x ? 2x 2 1 2x 2 g ?( x) ? 1 ? ? ? 1 ? x 4(1 ? x) 2 4(1 ? x) 2 ∴ x ? (0 , ? ?) g (0) ? 0 g ?( x) ? 0 ? ∴ 任取 x ? (0 , ? ?) g ( x) ? g (0) ? 0 恒成立
x2 ∴ x? ? ln(1 ? x) 2(1 ? x) sin x 2 ? (2)原式 ? x ? sin x c o sx( x ? t a nx) f ?( x) ? 令 f ( x) ? x x2 ? ? x ? (0 , ) f ?( x) ? 0 ∴ ? ∴ f ( x) ? f ( ) 2 2 sin x 2 2x ? ∴ 即 sin x ? x ? ? (3)令 f ( x) ? tan x ? 2 x ? sin x

f ?( x) ? sec2 x ? 2 ? cos x
2 1? 2c o 2 sx ?c o 3 s x (1 ? c o s x) ( c o xs ?sin x) ? 2 2 c o sx cos x ? ? x ? (0 , ) ∴ x ? (0 , ) f ( x) ? 0 ? 2 2 ? f ( x) ? 0 ∴ x ? (0 , ) f ( x) ? f (0) ? 0 2 ∴ tan x ? x ? x ? sin x

?

[例 13] 函数 y ? f ( x) ? x 3 ? mx2 ? 2 x ? (m ? 1) 为增函数,求 m 的取值范围。 解: f ?( x) ? 3x 2 ? 2mx ? 2

? ? 4m 2 ? 24 ? 0

? 6 ?m? 6

[例 14] 求证方程 x ? lg x ? 1 在区间(2,3)有且仅有一个实根。 解:设 y ? f ( x) ? x lg x ? 1

y ? ? lg x ? lg e ? lg ex x ?(2,3)时, y ? ? 0 ? f (2) ? 2 lg 2 ? 1 ? lg 0.4 ? 0 f (3) ? 3 lg 3 ? 1 ? lg 2.7 ? 0 ∴ 在(2,3)内 x lg x ? 1 ? 0 有且仅有一个实根

【模拟试题】 1. 已知 a ? R ,求函数 f ( x) ? x 2 e ax 的单调区间。 2. 已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? x ? 1 为 R 上减函数,求 a 的取值范围。 1 3 1 2 3. 函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 1) x ? 1 在区间 (1, 4) 内为减区间, 在区间 (6,? ? ) 3 2 为增区间,求 a 的范围。 4. 函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x 已知过 A(0,16)作曲线 y ? f ( x) 的切线,求切线方程。
f 2 ( x) ? 9 5. y ? f ( x) , x ? 1 时, f ( x) ? 3 , f ?( x) ? 2 ,求 lim x ?1 x ?1 6. 关于 x 的多项式函数 y ? f ( x) ,对 x ? R 有 f ?( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? f ( x) ? 2 x 3 ? 2 x ? 1 ,求 y ? f ( x) 的增区间。

试题答案
1. f ?( x) ? (2x ? ax )e
2 ax

(1)若 a ? 0

x ? (0 , ? ?) f ?( x) ? 0 ? x ? (?? , 0) f ?( x) ? 0 ? (2)若 a ? 0 2 x ? ax2 ? 0 2 x?? 或x ? 0 a 2 f ?( x) ? 0 ? ∴ x ? (?? , ? ) a 2 x ? (? , 0) f ?( x) ? 0 ? a (3)若 a ? 0 2 0? x?? 2 x ? ax2 ? 0 a
∴ x ? (?? , 0)

x ? (0 , ? ?)

f ?( x) ? 0 ?

f ?( x) ? 0 ?

2 x ? (0 , ? ) a

f ?( x) ? 0 ?

2 , ? ?) f ?( x) ? 0 ? a 2. f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x ? 1 x?R f ?( x) ? 0 恒成立 ?a ? 0 ?a ? 0 ∴ a ? ?3 ?? ? ?? ? 0 ?? ? 36 ? 12a ? 0 2 3. f ?( x) ? x ? ax ? a ? 1 ? ( x ? 1)[x ? (a ? 1)] ? 0 x1 ? 1 x2 ? a ? 1 (1)若 a ? 1 ? 1 ? a ? 2 f ( x) 在( ? ? ,1),( a ? 1 , ? ? ) ? (1, a ? 1 ) ? ?a ? 1 ? 4 ∴ ? 5?a?7 ?a ? 1 ? 6 (2)若 a ? 1 ? 1 ? a ? 2 f ( x) 在( ? ? , a ? 1 ),(1, ? ? ) ? ( a ? 1 ,1) ? x ? (?
4. y ? x ? 3x
3

无解

A 不在 y ? f ( x) 上

y ? ? 3x 2 ? 3 2 ∴ l 切: y ? b ? (3a ? 3)(x ? a)
设切点为 P( a , b )
2 ? ?16 ? b ? 3(a ? 1)(0 ? a) ∴ ? 3 ? ?b ? a ? 3a a ? ?2 b ? ?2 a 3 ? ?8 ∴ l 切: 9 x ? y ? 16 ? 0

16 ? a 3 ? 3a ? ?3a 3 ? 3a

f 2 ( x) ? 9 f 2 ( x) ? f 2 (1) ? lim x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 f ( x) ? f (1) ? lim [ f ( x) ? f (1)] x ?1 x ?1 f ( x) ? f (1) ? lim ? lim[ f ( x) ? f (1)] x ?1 x ?1 x ?1 ?x ? 0 令 x ? 1 ? ?x x ? 1 f (1 ? ?x) ? f (1) ? lim ? [ f (1) ? f (1)] ?x ?0 ?x ? f ?(1) ? [ f (1) ? f (1)] ? 12 6. [ f ( x) ? 1][ f ?( x) ? 1] ? 2 x 3 ? 2 x ∴ f ( x) 为二次三项式 f ( x) 比 f ?( x) 高一次
5. lim ∴ 设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ∴ (ax2 ? bx ? c)(2ax ? b) ? 2x 3 ? ax2 ? (2a ? b ? 2) x ? (b ? c ? 1)

?2a 2 ? 2 ?a ? 1 ? ?3ab ? a ? ∴ ? ? ?b ? 1 2 ?2ac ? b ? 2a ? b ? 2 ?c ? 1 ? ?bc ? b ? c ? 1 ? 1 ∴ f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ∴( ? , ? ? ) ? 2


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