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高中数学人教版选修2-2教学课件:1.7 定积分在几何中应用(1)


定积分的简单应用: 1.7.1定积分在几何中的 应用 复习引入 定积分 一.定积分的几何意义是什么? 1、如果函数f(x)在[a,b]上连续且f(x)≥0时,那么: ? b a f ( x)dx 就表示以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积。 y y ? f ( x) A ? ?a f ( x )dx b A o a b x f ( x ) ? 0, f

( x ) ? 0, ?a f ( x )dx ? A ?a f ( x )dx ? ? A b b 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 S1 S2 S3 2、定积分 ? b a f ( x)dx 的数值在 几何上都可以用曲边梯形面积的 代数和来表示。 y y ? f2 ( x) ? b a f ( x )dx ? S1 ? S 2 ? S 3 b A o y ? f1 ( x ) b x 3、A ? ? [ f 2 ( x) ? f1 ( x)]dx a a 二、微积分基本定理内容是什么? 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,并且F’(x)=f(x),则, b ? a f ( x)dx ? F (b) ? F (a) 这个结论叫微积分基本定理(fundamental theorem of calculus),又叫牛顿-莱布尼茨公式(Newton-Leibniz Formula). 或记作 ? f ( x)dx ? F ( x) ? F (b) ? F (a). b a b a 例 1. 计算由两条抛物线 y 2 ? x 和 y ? x 2 所围成 的图形的面积. 解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示: ? ?y ? x x ? 0 x ? 1 解方程组 ? 得 :{y ?0 ,{y ?1, y 2 y ? x ? 2 ? y y ? ? xx B 即两曲线的交点为(0,0),(1,1) 2 S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD C o y?x 2 x 1 1 S = ? ( x - x )dx ? ( x ? ) |0 ? . 0 3 3 3 1 2 3 2 ?? 1 0 xdx ? ? x dx 2 0 1 O 3 D 2 y ? xx A 例 2.计算由曲线 y ? 2x , 直线 y ? x ? 4以及 x 轴所围 成的图形的面积. 解:作出y=x-4, y ? 2x 的图象 如图所示: ? ? y ? 2x x=8 解方程组 ? 得 :{y=4 , ? ?y ? x ? 4 y ? 2x S2 S1 直线y=x-4与x轴交点为(4,0) S ? S1 ? S2 ? ? 4 0 y ? x?4 8 2 xdx ? [ ? 8 8 4 2 xdx ? ? ( x ? 4)dx] 4 ? (? 4 0 2 xdx ? ? 4 2 xdx) ? ? ( x ? 4)dx ? ? 4 8 8 0 2 xdx ? ? ( x ? 4)dx 4 8 2 2 3 1 2 40 8 2 8 ? x |0 ?( x ? 4 x) |4 ? 3 2 3 s?? 8 0 1 2 xdx ? ? 4 ? (8 ? 4) 2 3 2 8 0 2 2 ? x | ?8 3 2 2 40 ? ?16 2 ? 8 ? 3 3 1 2 s ? ? [(4 ? y ) ? y ]dy 0 2 4 1 2 1 3 4 ? (4

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