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期末考试 高二级 数学(理) 试卷


考号的最后两位

□□
8. 已知双曲线

期末考试
考号:__________________ 题

高二级 数学(理) 试卷

命题人:何伟军(渭源一中) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个备选项中.只有一
项是符合题目要求的.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,在双曲线右支上存在一点 P 满 a 2 b2

足 PF1 ? PF2 且 ?PF1 F2 ? A. 2 B. 3

?
6

,那么双曲线的离心率为( C. 2 ? 1



D. 3 ? 1



1. 设集合 M ? {x | x 2 ? x ? 0, x ? R}, N ? {x | x ? 2, x ? R} ,则( A.N ? M 2. 复数 B.M∩N=M C.M∪N=M D.M∪N=R )



9. 小张向右图中的矩形 ABCD 内随机扔入一粒豆子,若豆子落在阴影部分内,周末小张就与同学 去户外游玩,否则呆在家中。那么,小张去户外游玩的概率为( ) A.

姓名:_____________

i 在复平面内的对应点到原点的距离为( 1? i
B.

1 4 1 C. 3

2 5 2 D. 3
B.

y D C

y=- x2 +1

A

O

B x



A.

1 2

2 2

C.1

D. 2

10.已知某几何体的三视图如左上所示,则这个几何体的外接球的表面积等于( A.

) 左视图

3. 某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了了解该 单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为 7 人,则样本 容量为( B ) A.7 B.15 C.25 D.35 4. 命题“对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 ”的否定为( )



7 ? 3 28 ? 3

主视图

B.

2

班级:____ _____



A.对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 ; C.存在 x0 ? R ,使得 x02 ? 2 x0 ? 4 ? 0 ;

B.对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 ; D.存在 x0 ? R ,使得 x02 ? 2 x0 ? 4 ? 0 . )

C. 8? D. 16?

1

1 俯视图

3

? ? ? ? ? 5.已知 a ? (2,1), a ? b ? (1, k 2 ?1) ,则“ k ? 2 ”是“ a ? b ”的(
A.充分不必要条件; C.充要条件; B.必要不充分条件; D.既不充分也不必要条件.

11.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A、B 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,满足 OA ? OB ? ?4 ,F 是抛物线的 焦点,则 S?OFA ? S?OFB ? ( ) A.2 B.3 ) C.4 D.5
x y

??? ? ??? ?

线

6.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 1 门,则甲、乙所选的课程不相同的概率等于( A.

1 2

B.

3 4

开始 k=1

12. 已 知 点 P( x, y) 在 直 线 x ? 2 y ? 3 上 移 动 , 当 2 ? 4 取 最 小 值 时 , 过 点 P 引 圆

学校:

2 C. 3

1 D. 3

S=0 M 否 S=S+k k=2k
第1页 共 14 页

1 1 1 C : ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 的切线,则此切线长等于( 2 4 2
是 输出 S 结束 A.





7.按照如右图所示的程序框图执行,若输出的结果为 15,



则 M 处的条件可为( A. k ? 8 C. k ? 16 B. k ? 8 D. k ? 16



1 2
1 2

B.

3 2
3 4

C. 5

6 2
6 7

D.

3 2
8 9 10 11 12

题号 答案

第2页

共 14 页

第Ⅱ卷(非选择题

共70分)

18. (本小题满分 12 分) 如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中 点,将△ AED 、△ DCF 分别沿 DE 、 DF 折起,使 A 、 C 两点重合于点 A? ,连接 EF , A?B . (1)求证: A?D ? EF ; 密 . (2)求直线 A ' D 与平面 EFD 所成角的正弦值.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.抛物线 y ? 8x 上与焦点的距离等于 8 的点坐标为
2

?x ? y ? 2 ? 0 ? y?2 14. 已知变量 x, y ,满足约束条件 ? ,则 Z ? 2 x ? y 的最大值为 ? x? y ?0 ? 1 6 ) 的展开式中的常数项为 15. 二项式 (3 x ? . x
3 2 16. 设 f ?( x ) 为 f ( x) ? x ? ax ? 2bx ? 1的导函数, 若函数 f ?( x ) 的图像关于直线 x ?

. 封

2 对称, 且 3

第 18 题图

线

f ( x) 在 [1, ? ] 上恒有 f ( x) ? 1 ,则实数 b 的取值范围为

.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
内 17. (本小题满分 12 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , an 是 Sn 和 1 的等差中项. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {nan } 的前 n 项和 Tn . 禁 止 答 题

第3页

共 14 页

第4页

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考号的最后两位 考号:__________________

□□

19. (本小题满分 12 分)微信红包是一款可以实现收发红包、查收记录和提现的手机应用.某网络 运营商对甲、乙两个品牌各 5 种型号的手机在相同环境下,对它们抢到的红包个数进行统计,



得到如下数据: 型号 手机品牌 甲品牌(个) Ⅰ 4 5 Ⅱ 3 7 Ⅲ 8 9 Ⅳ 6 4 Ⅴ 12 3



乙品牌(个)

(1)如果抢到红包个数超过 5 个的手机型号为“优” ,否则“非优” ,请据此判断是否有 85%的 把握认为抢到的红包个数与手机品牌有关? (2) 如果不考虑其它因素, 要从甲品牌的 5 种型号中选出 3 种型号的手机进行大规模宣传销售. ① 求在型号Ⅰ被选中的条件下,型号Ⅱ也被选中的概率; ② 以 X 表示选中的手机型号中抢到的红包超过 5 个的型号种数,求随机变量 X 的分布列 及数学期望 E ( X ) . 下面临界值表供参考: (1)求 0.10 0.05 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 的取值范围; 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆方程为

姓名:_____________

y2 ? x 2 ? 1,斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 过椭圆的上焦点且 2



与椭圆相交于 P , Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 y 轴相交于点 M (0, m) .

P( K ≥k0 )

2

0.15



(2)求△ MPQ 面积的最大值.

2.072 2.706 3.841 2 n(ad ? bc) 参考公式: K 2 ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

k0

班级:____ _____ 学校:





线



第5页

共 14 页

第6页

共 14 页

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) = ln x - px + 1 (1)已知 x ? 1 是函数 f ( x ) 的极值点,求 p 的值; (2)求函数 f ( x ) 的极值点; (3)当 p ? 0 时,若对任意的 x ? 0 ,恒有 f ( x) ? 0 ,求 p 的取值范围.

22. ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 已 知 命 题 p : ?x ?[1, 2], x2 ? a ? 0 . 命 题 q : ? x 0 ? R, 使 得

x02 ? (a ?1) x0 ? 1 ? 0 .若“ p 或 q ”为真,“ p 且 q ”为假,求实数 a 的取值范围.
密 封 线 内 禁 止 答 题

第7页

共 14 页

第8页

共 14 页

考号的最后两位 考号:__________________

□□
18.解析: (1)在正方形 ABCD 中,有 AD ? AE , CD ? CF 则 A?D ? A?E , A?D ? A?F ????????????????????3 分

期末考试


高二级 数学(理)参考答案 BDDCB


一、BBBDA

AC
14. 6 ; 15.135 ;

二、13. (6, ? 4 3)
16. [ , ??)

又 A?E ? A?F ? A? , ∴ A?D ? 平面 A?EF ?????????????5 分



1 2

2 解 析 : 因 为 f ?( x)? 3x ? 2a x ? 2, b 其图象关于直线 x?

2 对称,所以 3

而 EF ? 平面 A?EF ,∴ A?D ? EF ????????????????????6 分 (2)方法一: ∵正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点, ∴ BE ? BF ? A?E ? A?F ? 1 , ∴ EF ? 2
2 2 2 ∴ A?E ? A?F ? EF ,∴ A?E ? A?F

?

?2a 2 ? ? a ? 2 ,所以 f ( x) ? x3 ? 2 x2 ? 2bx ? 1 . 因为 f ( x) 在 [1, ? ] 上恒有 f ( x ) ? 1,所以 6 3

姓名:_____________



1 1 b ? ? ( x2 ? 2 x) 在 [1, ? ] 上 恒 成 立 , 而 g ( x) ? ? ( x2 ? 2 x )在 [1, ? ] 为 单 调 递 减 函 数 , 所 以 2 2 g ( x)m a x ? g (1) ? 1 1 ,所以实数实数 b 的取值范围为 [ , ??) 2 2

由(1)得 A?D ? 平面 A?EF , ∴分别以 A?E , A?F , A?D 为 x , y , z 轴建立如图所示的空间 直角坐标系 A? ? xyz , ????????????8 分 则 A?(0,0,0) , E (1, 0, 0) , F (0,1, 0) , D(0,0, 2)

三、解答题

17.解析(1)由题意得: Sn ? 1 ? 2an , ①???????1 分

∴ DE ? (1,0, ?2) , DF ? (0,1, ?2) , A ' D ? (0,0, 2) 设平面 DEF 的一个法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,

??? ?

????

?????

当 n ? 2 时, Sn?1 ? 2(an?1 ? 1) ,②???????2 分

??

班级:____ _____

①-②得 an ? 2an ? 2an?1 ,即 an ? 2an?1 ,∴ 由①式中令 n ? 1 ,可得 a1 ? 1 ,

an ? 2 .???????4 分 an ?1

线

∴数列 {an } 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, ???????5 分 ∴ an ? 2n?1 .????????????????6 分 (2)由 anbn ? n ? 2
n?1

?? ???? ?? ? ?n1 ? DE ? x ? 2 z ? 0 则由 ? ?? ???? , 可取 n1 ? (2,2,1) ????????????????10 分 ? ?n1 ? DF ? y ? 2 z ? 0 ?? ????? n1 ? A ' D 2 1 ? ?11 分 令直线 A ' D 与平面 EFD 所成角为 ? ,∴ sin ? ? ?? ????? ? | n1 || A ' D | 4 ? 4 ?1 ? 2 3
∴直线 A ' D 与平面 EFD 所成角的正弦值为 方法二: 连接 BD 交 EF 于点 G ,连接 A?G ∵在正方形 ABCD 中,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点, ∴ BE ? BF , DE ? DF , ∴点 G 为 EF 的中点, 且 BD ? EF ∵正方形 ABCD 的边长为 2,∴ A?E ? A?F ? 1 , ∴ A?G ? EF , EF ? 平面A ' GD , ? A' 在面 EFD 的射影 在 BD 上,??????????????????8 分



1 3

?????????????????12 分



Tn ? a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 ? b3 ? ? ? an ? bn

学校:

? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? n ? 2n?1 ?????????7 分



2Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ?? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n ???????8 分
以上两式相减 得

?Tn ? 20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n?1 ? n ? 2n ?

1? 2 ? n ? 2n ? 2n ? 1 ? n ? 2n ?????11 分 1? 2
n



∴ Tn ? (n ?1) ? 2n ? 1.?????????12 分
第9页 共 14 页

第 10 页

共 14 页

则 ?A'DG 直线 A ' D 与平面 EFD 所成角??????????9 分 由(Ⅰ)可得 A?D ? A?G , ∴△ A?DG 为直角三角形 ∵正方形 ABCD 的边长为 2, ∴ BD ? 2 2 , EF ? 2 , ∴ BG ?

故 X 的分布列为

X P

1

2

3

3 10

3 5

1 10
??????12 分



2 3 2 2 , DG ? 2 2 ? , 又 A?D ? 2 ? 2 2 2

? E ? X ? ? 1?

3 3 1 ? 2 ? ? 3 ? ? 1.8 10 5 10

∴ A?G ?

DG 2 ? A?D2 ?

9 2 ?4 ? ??????????????????11 分 2 2
1 ??12 分 3

2 A?G 1 ? 2 ? ∴ sin ?A?DG ? DG 3 2 3 2

? y ? kx ? 1, ? 20.解析(1)设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,由 ? y 2 可得 (k 2 ? 2) x2 ? 2kx ?1 ? 0 . 2 ? ? x ? 1, ?2
设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?



∴直线 A ' D 与平面 EFD 所成角的正弦值为

?2k 1 , x1 x2 ? ? 2 . 2 k ?2 k ?2

线

可得 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 19. 解析: (1)根据题意列出 2 ? 2 列联表如下: 红包个数 手机品牌 甲品牌(个) 乙品牌(个) 合计 优 3 2 5 非优 2 3 5 合计 5 5 10 ?????2 分 又 k ? 0 ,所以 0 ? m ?

4 .???????????3 分 k ?2
2

设线段 PQ 中点为 N ,则点 N 的坐标为 (

?k 2 , 2 ) ,由题意有 k MN ? k ? ?1, k ?2 k ?2
2



m?
可得

2 k ? 2 ? k ? ?1 .可得 m ? 1 , k k2 ? 2 k2 ? 2
2



K2 ?

10 ? 4 ? 9 ?

2

5?5?5?5

?

10 ? 25 ? 0.4 ? 2.072 , 25 ? 25
??????4 分

1 .????????6 分 2

(2)设椭圆上焦点为 F , 则 S ?MPQ ?

所以没有 85%的理由认为抢到红包个数与手机品牌有关.
1 2 C3 C4 3 3 ? , P ( CD ) ? ? , 3 3 C5 5 C5 10

(2)①令事件 C 为“型号 I 被选中”;事件 D 为“型号 II 被选中”, 则 P(C ) ?

1 ? FM ? x1 ? x2 ? 2m(1 ? m)3 ????????9分 2 1 ) . 2



3 所以△ MPQ 的面积为 2 m(1 ? m) ( 0 ? m ?

所以 P( D C ) ?

P(CD) 1 ? . P(C ) 2

??????6 分 ??????7 分

设 f (m) ? m(1 ? m) ,则 f ' (m) ? (1 ? m) (1 ? 4m) .
3 2



②随机变量 X 的所有可能取值为 1, 2,3 ,

可知 f ( m) 在区间 (0, ) 单调递增,在区间 ( , ) 单调递减. 所以,当 m ?

1 4

1 1 4 2

P ? X ? 1? ? P ? X ? 3? ?

1 2 1 2 C3 ? C2 C2 C3 3 3 ; ? P X ? 2 ? ? ; ? ? 3 3 C5 10 C5 5 3 C3 1 ? . 3 C5 10

1 1 27 时, f ( m) 有最大值 f ( ) ? . 4 4 256


??????10 分
第 11 页 共 14 页 第 12 页 共 14 页

考号的最后两位 考号:__________________

□□
∵p 或 q 为真,p 且 q 为假,∴p 与 q 一真一假.?????6 分 ①p 真 q 假时,-1≤a≤1; ?????7 分 ②p 假 q 真时,a>3. ?????8 分 ∴实数 a 的取值范围是 a>3 或-1≤a≤1. ?????10 分

1 3 6 所以,当 m ? 时,△ MPQ 的面积有最大值 .?????12 分 4 16
21. 解析(1)? f ?( x) ?

1 1 ? px ?p? x x
????2 分

题 答

由已知可得 f ' (1) ? 0,? p ? 1

经检验:当 p ? 1 时,函数 f(x)在 x=1 处取得极值,? p ? 1 ????3 分 (2)? f ( x) ? ln x ? px ? 1,? f ( x)的定义域为 (0,??) ,

姓名:_____________

f ?( x) ?



1 1 ? px ?p? x x

????4 分

当 p ? 0时,f ?( x) ? 0, f ( x)在(0,??) 上无极值点 ????5 分

?x ? 当 p>0 时,令 f ?( x) ? 0,

1 ? (0,??), f ?( x)、f ( x)随x 的变化情况如下表: p 1 p
0 极大值



x

(0, + ↗

1 ) p

1 ( ,??) p
- ↘

班级:____ _____

f '( x)



f ( x)

从上表可以看出:当 p>0 时, f ( x ) 有唯一的极大值点 x ?

1 ??8 分 p

线

(3)当 p>0 时, f ( x ) 在 x=

1 1 1 处取得极大值 f ( ) = ln , 此极大值也是最大值, 要使 f ( x) ? 0 p p p
? p ?1
????12 分

恒成立,只需 f ( ) ? ln

1 p

1 ?0, p

学校:



∴p 的取值范围为 [1,+∞ )

22. 解析: 由条件知,a≤x2 对?x∈[1,2]成立,∴a≤1; ????2 分



2 ∵?x0∈R,使 x0 +(a-1)x0+1<0 成立,

∴不等式 x2+(a-1)x+1<0 有解,??????3 分 ∴Δ=(a-1)2-4>0,∴a>3 或 a<-1;??????4 分
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