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2014理科高考题分类汇编--函数导数(2)


2014 年高考题理科数学集合、逻辑、函数、导数、 三角函数分类解析(二)
一、选择、填空题 1. (广西大纲卷第 3 题)设 a ? sin 33?, b ? cos55?, c ? tan 35?, 则 ( A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? b ? a D. c ? a ? b )C

解:b=cos 55 ? ?

sin 35 ? 所以 c ? b ? a 。 2. (广西大纲卷第 7 题)曲线 y ? xe x ?1 在点(1,1)处切线的斜率等于 ( A. 2 e B. e C.2 D.1 )C

3. (广西大纲卷第 16 题)若函数 f ( x) ? cos 2 x ? a sin x 在区间 ( 取值范围是
2

? ? , ) 是减函数,则 a 的 6 2

.

? ??,2?
?? ? ? ?1 ? , ?,则t ? ? ,1? ?6 2? ?2 ?

解: f ?x ? ? ?2 sin x ? a sin x ? 1,设 t ? sin x, x ? ?

函 数 f ? x ? 可 以 看 作 是 由 函 数 y ? ?2t 2 ? at ? 1 与 函 数 t ? s i nx 复 合 而 成 , 函 数

? ? ?1 ? t ? sin x 在区间 ( , ) 是增函数,所以函数 y ? ?2t 2 ? at ? 1 在区间 ? ,1? 是减函数; 6 2 ?2 ?
因为函数 y ? ?2t ? at ? 1 在区间 ?
2 2

a 1 ?a ? ,?? ? 是减函数, 所以 ? , 故a ? 2 . 4 2 ?4 ?
)C D. (??,0] ? [1,??)

4. (江西卷第 2 题)函数 f ( x) ? ln(x ? x) 的定义域为( A.

(0,1)

B. [0,1]

C. (??,0) ? (1,??)

| x| 2 5. (江西卷第 3 题) 已知函数 f ( x) ? 5 ,g ( x) ? ax ? x(a ? R) , 若 f [ g (1)] ? 1 , 则a ?



)A A. 1

B. 2

C. 3
2

D. -1

6. (江西卷第 8 题)若 f ( x ) ? x ? 2 A. ? 1 解:设 B. ?

?

1

0

f ( x)dx, 则 ? f ( x )dx ? (
0

1

)B

1 3

C.

1 3

D.1

?

1

0

f ( x )dx ? k, (k 为常数),则 f ?x ? ? x 2 ? 2k

1

1 1 1 1 ? ? f ? x ?dx ? ? ?x 2 ? 2k ?dx ? ( x 3 ? 2kx ) 1 ? 2k ? k 0 ? 0 0 3 3

?k ? ?

1 3

故选 B。

7. (安徽卷第 2 题) “ x ? 0 ”是“ ln(x ? 1) ? 0 ”的( A. 充分而不必要 B. 必要而不充分

)条件 B D. 既不充分也不必要

C. 充分必要

8. (安徽卷第 6 题)设函数 f ( x)(x ? R) 满足 f ( x ? ? ) ? f ( x) ? sin x. 当 0 ? x ? ? 时,

f ( x) ? 0 ,则 f (
1 2

23? ) ?( 6

)A D. ?

A.

B.

3 2

C.0

1 2

17? 5? ? 23? ? ? 17? ? ? 17? ? ? 17? ? f? ?? ? ? f ? ? f? ? ?? f? ? ? sin ? ? sin 6 6 ? 6 ? ? 6 ? ? 6 ? ? 6 ? 解: 11? 1 5? 1 1 ? 11? ? ? 11? ? ? 5? ? ? f? ? ? f? ? 0? ? ? ? sin ? ? f ? ? ? sin 6 2 6 2 2 ? 6 ? ? 6 ? ? 6 ?
9. (安徽卷第 11 题)若将函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? 关于 y 轴对称, 则 ? 的最小正值是________.

? 17? ? 1 f? ?? ? 6 ? 2

? ?

??

? 的图像向右平移 ? 个单位,所得图像 4?

3? 8

解: f ?x ? ? ? ? sin? 2?x ? ? ? ?

? ?

??

? ? ? ? ? sin? 2 x ? ? 2? ? 4? 4 ? ?
??
? 的图像向右平移 ? 个单位,所得图像关于 y 轴对称, 4?
3? 。 8

因为将函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? 所以

? ?

?
4

? 2? ? k? ?

?
2

, k ? Z ,所以 ? 的最小正值是

二、解答题 1. (广西大纲卷第 22 题)函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? (I)讨论 f ? x ? 的单调性; (II)设 a1 ? 1, an?1 ? ln(an ? 1) ,证明:

ax ? a ? 1? . x?a

2 3 ? an ? . n +2 n?2

解: (I) f ? x ? 的定义域为 ? ?1, ? ? ? , f ? ? x ? ?

2 ? x? ? x ? ? a ? 2a ??

? x ? 1?? x ? a ?

2



2 2 2 令 f ??x ? ? 0, 得x1 ? 0, x2 ? a ? 2a ,? a ? 1 ?a ? 2a ? (?1) ? (a ? 1) ? 0

2

?a 2 ? 2a ? ?1 ?a 2 ? 2a ? (? 1, ? ?)
(i) 当 x2 ? a 2 ? 2a ? 0 ,即 1 ? a ? 2 时,令 f ??x ? ? 0, 得 - 1 ? x ? a 2 ? 2a或x ? 0 ; 令 f ??x ? ? 0, 得a 2 ? 2a ? x ? 0

? f ?x ? 在 ? ?1 , a 2 ? 2a ? 上是增函数,在 ? 0 , ? ?? 上是增函数;在 ? a 2 ? 2a , 0 ? 上是减函数
(ii)当 x2 ? a 2 ? 2a ? 0 ,即 a = 2 时, f ??x ? ? 0, f ??x ? ? 0 成立当且仅当 x = 0 , f ( x) 在

?? 1,??? 上是增函数.
(iii)当 x2 ? a 2 ? 2a ? 0 ,即 a ? 2 时, ,令 f ??x ? ? 0, 得 - 1 ? x ? 0或x ? a 2 ? 2a 令 f ??x ? ? 0, 得0 ? x ? a 2 ? 2a

? f ?x ? 在 (- 1 , 0) 上是增函数;在 ? a 2 ? 2a , ? ? ? 上是增函数.在 ? 0 , a 2 ? 2a ? 上是减函数
(II)由(I)知,当 a = 2 时, f ( x) 在 ?? 1,??? 是增函数. 当 x ? ?0,??? 时, f (x) > f (0) = 0 ,即 ln ( x + 1) >
2x (x > 0) . x+ 2

又由(I)知,当 a = 3 时, f ? x ? 在 [0 , 3) 上是减函数; 当 x ? ?0,3? 时, f (x) < f (0) = 0 ,即 ln (x + 1) < 证明
3x (0 < x < 3) .下面用数学归纳法 x+ 3

2 3 ? an ? . n?2 n?2

2 (i)当 n = 1 时,由已知 < a1 = 1 ,故结论成立; 3

(ii)假设当 n = k 时结论成立,即 当 n = k + 1 时, ,

2 3 ? ak ? . k ?2 k ?2

2 ? 2 ? k ?2 ? 2 a k ?1 ? ln?a k ? 1? ? ln? ? 1? ? 2 k ?3 ?k ?2 ? ?2 k ?2 3 3? 3 ? ? k ?2 ? 3 a k ?1 ? ln?a k ? 1? ? ln? ? 1? ? 3 k ?3 ?k ?2 ? ?3 k ?2 2 3 ? ? ak ? 即当 n = k + 1 时有 结论成立.根据(i) 、 (ii)知对任何 n ? N 结论都成 k ?3 k ?3 2?
立.
3

2. (江西卷第 18 题)已知函数 f ?x ? ? x 2 ? bx ? b 1 ? 2 x ?b ? R? (1) 当 b=4 时,求 f ? x ? 的极值; (2) 若 f ? x ? 在区间 ? 0, ? 上单调递增,求 b 的取值范围. 3.(安徽卷第 18 题)设函数 f ?x ? ? 1 ? (1 ? a) x ? x 2 ? x 3 , 其中a ? 0 (1) 讨论 f ? x ? 在其定义域上的单调性; (2) 当 x ? ?0,1? 时,求 f ? x ? 取得最大值和最小值时的 的值.

?

?

? 1? ? 2?

4


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