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高考数学知识点之不等式


高考数学知识点之不等式
考试内容: 不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式. 考试要求: (1)理解不等式的性质及其证明. (2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会 简单的应用. (3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. (4)掌握简单不等式的解法. (5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│

§06. 不 等 式 知识要点
1. 不等式的基本概念 (1) 不等(等)号的定义: a
? b ? 0 ? a ? b; a ? b ? 0 ? a ? b; a ? b ? 0 ? a ? b.

(2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3) 同向不等式与异向不等式. (4) 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 (1) a ? b ? b ? a (对称性) (2) a ? b , b ? c ? a ? c (传递性) (3) a ? b ? a ? c ? b ? c (加法单调性) (4) a ? b , c ? d ? a ? c ? b ? d (同向不等式相加) (5) a ? b , c ? d ? a ? c ? b ? d (异向不等式相减) (6) a . ? b , c ? 0 ? ac ? bc (7) a ? b , c ? 0 ? ac ? bc (乘法单调性) (8) a ? b ? 0 , c ? d ? 0 ? ac ? bd (同向不等式相乘)
(9 ) a ? b ? 0 , 0 ? c ? d ? a c ? b d

(异向不等式相除)

(1 0 ) a ? b , a b ? 0 ?

1 a

?

1 b

(倒数关系)
n

(11) a (12) a

? b ? 0 ? a
? b ? 0 ?
n

n

? b ( n ? Z , 且 n ? 1)
n

(平方法则)

a ?

b ( n ? Z , 且 n ? 1)

(开方法则)

3.几个重要不等式 (1) 若 a ? R , 则 | a |? 0 , a (2) 若 a 、 b ? R ? , 则 a 2
2

? 0

? b

2

? 2 ab ( 或 a

2

? b

2

? 2 | ab |? 2 ab )

(当仅当 a=b 时取等号) a=b 时取等号)

(3)如果 a,b 都是正数,那么

ab ?

a ?b 2

. (当仅当

极值定理:若 x , y ? R ? , x ? y ? S , x y ? P , 则: 1 ○如果 P 是定值, 那么当 x=y 时,S 的值最小; 2 ○如果 S 是定值, 那么当 x=y 时,P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等.

1

( 4 ) 若 a 、 b、 c ? R , 则

?

a ?b?c 3

?

3

abc

(当仅当 a=b=c 时取等号)

(5) 若 ab ? 0, 则

b a

?

a b

? 2
2

(当仅当 a=b 时取等号)
2

( 6 ) a ? 0时 , x |? a ? x |

? a

? x ? ? a 或 x ? a; ?

| x |? a ? x

2

? a

2

? ?a ? x ? a

(7) 若 a 、 b ?

R , 则 || a | ? | b || ? | a ? b |? | a | ? | b |

4.几个著名不等式 (1)平均不等式: 如果 a,b 都是正数,那么
1 a 2 ? 1 b ? ab ? a ?b 2 ? a
2

?b 2

2

(当仅当 a=b 时
.

取等号)即:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b 为正数) : 特别地, a b
a
2

? (

a ?b 2

)

2

?

a ?b
2

2

(当 a = b 时, ( a

?b 2

)

2

?

a ?b
2

2

? ab



2
2

2

? b

2

? c

2

3

? a ? ?b ? c ? ? ? ? ( a , b , c ? R , a ? b ? c 时取等 ) 3 ? ?
2 2 2

? 幂平均不等式: a 1 ? a 2 ? ... ? a n ?
2 2 2 2

1 n
2

( a 1 ? a 2 ? ... ? a n )

2

注:例如: ( a c ? b d ) ? ( a ? b )( c ? d ) . 常用不等式的放缩法:①
1 n ? n ?1
1 n ? 1 n ?1 ? 1 n ( n ? 1) ? 1 n
2

?

1 n ( n ? 1)

?

1 n ?1

?

1 n

(n ? 2)

② n ?1 ?

n ?

? 2

1 n

?

1 n ? n ?1

?

n ?

n ? 1 ( n ? 1)

(2)柯西不等式:

若 a 1 , a 2 , a 3 , ? , a n ? R , b1 , b 2 , b 3 ? , b n ? R ; 则 ( a 1 b 1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 ? ? ? a n b n ) ? ( a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n )( b 1 ? b 2 ? b 3 ? ? b n ) a3 an a1 a2 当且仅当 ? ? ?? ? 时取等号 b1 b2 b3 bn
2 2 2 2 2 2 2 2 2

(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点 x 1 , x 2 ( x 1
f ( x1 ? x 2 2 )? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2 或 f ( x1 ? x 2 2 )? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2 .

? x2 ), 有

则称 f(x)为凸(或凹)函数. 5.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法 (1)整式不等式的解法(根轴法). 步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结) ,定解. 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; 2 ②一元二次不等式 ax +bx+c>0(a≠0)解的讨论. (2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

2

f (x) g (x)

? 0 ? f ( x ) g ( x ) ? 0;

? f (x)g (x) ? 0 ? 0 ? ? g (x) ? g (x) ? 0 f (x)

(3)无理不等式:转化为有理不等式求解 1 ○
f (x) ? ? f (x) ? 0? ? ? ? 定义域 g (x) ? ? g (x) ? 0 ? ? ? f (x) ? g (x)

2 ○

? f (x) ? 0 ? ? f (x) ? 0 f (x) ? g (x) ? ? g (x) ? 0 或? 2 ? g (x) ? 0 ? ? f ( x ) ? [ g ( x )]

3 ○

? f (x) ? 0 ? f (x) ? g (x) ? ? g (x) ? 0 2 ? f ( x ) ? [ g ( x )] ?

(4).指数不等式:转化为代数不等式
a a
f (x)

? a

g (x)

( a ? 1) ? f ( x ) ? g ( x );

a

f (x)

? a

g (x)

( 0 ? a ? 1) ? f ( x ) ? g ( x )

f (x)

? b ( a ? 0 , b ? 0 ) ? f ( x ) ? lg a ? lg b

(5)对数不等式:转化为代数不等式
? f (x) ? 0 ? lo g a f ( x ) ? lo g a g ( x ) ( a ? 1) ? ? g ( x ) ? 0 ; ? f (x) ? g (x) ? ? f (x) ? 0 ? l o g a f ( x ) ? lo g a g ( x ) ( 0 ? a ? 1) ? ? g ( x ) ? 0 ? f (x) ? g (x) ?

(6)含绝对值不等式 1 ○应用分类讨论思想去绝对值; 3 ○应用化归思想等价转化

2 ○应用数形思想;

?g (x) ? 0 | f ( x ) |? g ( x ) ? ? ?? g (x) ? f (x) ? g (x) | f ( x ) | ? g ( x ) ? g ( x ) ? 0 ( f ( x ), g ( x ) 不同时为 ?g (x) ? 0 0 )或 ? ? f ( x ) ? ? g ( x )或 f ( x ) ? g ( x )

注:常用不等式的解法举例(x 为正数) : ① x (1 ? x ) 2 ?
1 2
2 2

? 2 x (1 ? x )(1 ? x ) ?

1

(

2

)

3

?

4 27

2 3
2

②y

? x (1 ? x ) ? y
2

?

2 x (1 ? x ) (1 ? x )
2

?

1 2

(

2 3

)

3

?

4 27

? y ?

2 9

3

2
2 2

类似于 y ? s in x c o s x ? s in x (1 ? s in x ) ,③ | x ?

1 x

|? | x | ? |

1 x

| ( x与

1 x

同号,故取等) ? 2

3


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