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高一数学必修一第一章集合与函数知识点总结精华版


高一数学必修 1 第一章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1) 列举法:{a,b,c……} 2) 描述法: 将集合中的元素的公共属性描述出来, 写在大括号内表示集合的方法。 {x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn 图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 2 (3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x =-5} 二、集合间的基本关系 1.?包含?关系—子集 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,(2)A 与 B 是同一集合。 ;
? ? 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? B 或 B ? A 2. ?相等?关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 2 实例:设 A={x|x -1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集合相等? 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A B(或 B ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 n n-1 ? 有 n 个元素的集合,含有 2 个子集,2 个真子集 三、集合的运算 运算 交 集 并 集 补 集 类型 定 义 由所有属于 A 且属 于 B 的元素所组成 的集合,叫做 A,B 的 交集. 记作 A ? B 读 ( 作‘A 交 B’ ,即 ) 由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素所 组成的集合, 叫做 A,B 的并集.记作:A ? B (读作‘A 并 B’,即 ) 设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集,由 S 中 所有不属于 A 的元素组 成的集合,叫做 S 中子 集 A 的补集(或余集)

A)

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A ? B={x|x ? A,且 x ? B} .

A ? B ={x|x ? A,或 x ? B}).

记作 C S A ,即 CSA= { x | x ? S , 且 x ? A} S

韦 恩 图 示 性

A

B

A

B

S A

图1

图2



A ? A=A A ? Φ=Φ A ? B=B ? A A? B? A A? B? B

A? A? A? A? A?

A=A Φ=A B=B ? A B? A B? B

(CuA) ? (CuB) = Cu (A ? B) (CuA) ? (CuB) = Cu(A ? B) A ? (CuA)=U A ? (CuA)= Φ.

例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是 A 某班所有高个子的学生
2

( 个 .



B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数

2.集合{a,b,c }的真子集共有

3.若集合 M={y|y=x -2x+1,x ? R},N={x|x≥0},则 M 与 N 的关系是 4.设集合 A= ? x 1 ? x ? 2 ? ,B= ? x x ? a ? ,若 A ? B,则 a 的取值范围是

5.50 名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有 40 人,化 正确得有 31 人, 两种实验都做错得有 4 人,则这两种实验都做对的有 M= .
2 2 2 2

学实验做得

人。

6. 用 描 述 法 表 示 图 中 阴 影 部 分 的 点 ( 含 边 界 上 的 点 ) 组 成 的 集 合 7.已知集合 A={x| x +2x-8=0}, B={x| x -5x+6=0}, C={x| x -mx+m -19=0}, 若 ∩C=Φ,求 m 的值 B∩C≠Φ,A

二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于 集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就 称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫 做自变量, 的取值范围 A 叫做函数的定义域; x 的值相对应的 y 值叫做函数值, x 与 函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么, 它的定义域是使各
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部分都有意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ? 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关) ; ②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数 值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C 上每一 点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实 数对 x、y 为坐标的点(x,y),均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对 于集合 A 中的任意一个元素 x, 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应, 那么 就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作?f(对应关系) :A(原 象) ? B(象) ? 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、g 的复合 函数。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个 自变量 x1, 2, x1<x2 时, x 当 都有 f(x1)<f(x2), 那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数. 区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1, 2, x1<x2 时, x 当 都有 f(x1)>f(x2), 那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间.
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注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数 y=f(x)在这一区间 上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数 的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 ○ 2 ○ 3 ○ 4 ○ 5 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 作差 f(x1)-f(x2); 变形(通常是因式分解和配方) ; 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) .

(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u)的单调性密切相关, 其规律: ?同增异减? 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和 在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x) 就叫做偶函数. (2) .奇函数 一般地, 对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x, 都有 f(-x)=—f(x), 那么 f(x) 就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 ○首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 2 ○确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 ○作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函 数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的 定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据 定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或 借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时, 一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) 1 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

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2 ○ 3 ○

利用图象求函数的最大(小)值 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:

如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递增, 在区间[b, c]上单调递减则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递减, 在区间[b, c]上单调递增则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最小值 f(b); 例题:
1.求下列函数的定义域: ⑴y ?
x ? 2 x ? 15
2

x?3 ?3

⑵y ?

1? (

x ?1 x ?1

)

2

2.设函数 f ( x ) 的定义域为 [ 0 , 1] ,则函数 f ( x 2 ) 的定义域为_ _ 3.若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [ ? 2 , 3 ] ,则函数 f ( 2 x ? 1) 的定义域是 4.函数
? x ? 2 ( x ? ? 1) ? 2 ,若 f ( x ) ? 3 ,则 x = f ( x) ? ? x (?1 ? x ? 2) ?2 x( x ? 2) ?

5.求下列函数的值域: ⑴ y ? x2 ? 2x ? 3 (x ? R) (3) y ? x ?
1? 2x

⑵ y ? x2 ? 2x ? 3 (4) y ?
2

x ? [1, 2 ]

?x ? 4x ? 5

6.已知函数 f ( x ? 1) ? x 2 ? 4 x ,求函数 f ( x ) , f (2 x ? 1) 的解析式 7.已知函数 f ( x ) 满足 2 f ( x ) ? f ( ? x ) ? 3 x ? 4 ,则 f ( x ) = 8.设 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ? ? ) 时, f ( x ) ? x (1 ?
f ( x ) 在 R 上的解析式为


x ) ,则当 x ? ( ? ? , 0 ) 时

3

f (x) =

9.求下列函数的单调区间: ⑴ y ? x2 ? 2x ? 3 ⑵y ?
?x ? 2x ? 3
2

⑶ y ? x ? 6 x ?1
2

10.判断函数 y ? ? x 3 ? 1 的单调性并证明你的结论. 11.设函数 f ( x ) ?
1? x 1? x
2

判断它的奇偶性并且求证:
2

f (

1 x

) ? ? f (x)



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