当前位置:首页 >> 数学 >>

离散型随机变量及其概率分布


随机变量及其分布
第二节 离散型随机变量 及其概率分布

一、离散型随机变量的概率分布
引例

从中任取3 个球,
取到的白球数X是一个随机变量 . (1) X 可能取的值是0,1,2 ; (2) 取每个值的概率为 且

? P ( X ? i) ? 1
i ?1

3

这样,我们就掌握了 X这个随机变量取值 的概率规律.

一、离散型随机变量的概率分布
1、离散型随机变量的定义

定义:设 X 为随机变量,若他的全部可能取值只 有有限或无穷可数个,则称其为离散型随机变量。
研究离散型随机变量概率分布,即寻找随机 变量所有可能的取值以及取每个值所对应的概率。 分布函数可以研究离散型随机变量的概率分 布,除此之外,针对离散型特点,我们引入研究 离散型随机变量的重要工具——概率分布律(列)

一、离散型随机变量的概率分布
2、离散型随机变量的概率分布 定义:设 xk (k=1,2, …) 是离散型随机变量 X 所取 的一切可能值,称

为离散型随机变量 X 的分布律. 概率分布列

概率分布阵

一、离散型随机变量的概率分布
3、性质
用这两条性质 判断一个函数 是否是分布律

注意:只有离散型才有概率分布列。 思考:下列两个等式一样么?

P ( X ? xk ) ? pk P ( X ? xk ) ? pk , k ? 1, 2, 3?

一、离散型随机变量的概率分布
例1 设随机变量X的分布律为

k =0,1,2, …,
试确定常数a . P(X =k)≥0, 解: 依据分布律的性质



a≥0 ,

e ??
?
k ?0

?

?k
k!

从中解得

一、离散型随机变量的概率分布
例2 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9,求他两次独 立投篮投中次数X 的概率分布.

解: X可取值为0,1,2
P{X =0}=(0.1)(0.1)=0.01 P{X =2}=(0.9)(0.9)=0.81 P{X =1}= 2(0.9)(0.1) =0.18



一、离散型随机变量的概率分布
例3 设随机变量X的分布列为

求:常数a,P(X<1),P(-2<X≤0),P(X≥2). 由归一性 a +3a +1 8+a +2a ? 1, 得 a ? 1 8 解:

P(X<1) =P(X=-2)+ P(X=-1)+ P(X=0)=5/8
P(-2<X≤0) = P(X=-1)+ P(X=0)=1/2 P(X≥2) = P(X=2)=1/4

一、离散型随机变量的概率分布
小结:

离散型随机变量的概率分布列,明确的给出了X 取xi (正概率点)的概率,是研究概率分布的重要工具。

?a ? b, P(a ? X ? b) ?

a ? xi ? b

?

P( X ? xi )

即:离散型随机变量落入任何区间内的概率, 等于该区间内所有正概率点对应概率之和。

一、离散型随机变量的概率分布
练习1 某射手连续向一目标射击,直到命中为止,已 知他每发命中的概率是p,求射击发数X的分布律. 解: X 可能取的值是1,2,… , 为计算 P{X =k }, k = 1,2, …, 设 Ak = {第k发命中},k =1, 2, …, 于是 P{X=1}=P(A1)=p,

??
分布律为

二、离散型随机变量的分布函数
随机变量的分布函数同样可以描述随机变量落 入任意区间的概率,那么分布函数与离散型分布列 有什么关系呢? 对于分布列:P (a ? X ? b) ? ? pk
a ? xk ? b

对于分布函数:F ( x ) ? P ( X ? x ) ?
分布列 ? 分布函数

xk ? x

?p

k

F ( x )的值会随着x(区间上限)的变化而改变,伴随区间

(??, x]的增大,区间包含的xk 逐渐增多,概率也会变化。

二、离散型随机变量的分布函数
例4 设随机变量 X 的分布律为 X

求 X 的分布函数 F (x) .


当 当

F(x) = P(X ? x) x<0 时,{ X x } = , 故 F(x) =0 0 x < 1 时, F(x) = P{X x} = P(X=0) =

1 xX x X 0

??

?

2

x

二、离散型随机变量的分布函数


1 x < 2 时, F(x) = P{X=0}+ P{X=1}= +

=



x 2 时, F(x) = P{X=0} + P{X=1} + P{X=2}= 1

二、离散型随机变量的分布函数
故 特点: 1.分段函数 2.右连续 3.X取值点为分界点 4.分段区间左闭右开

下面我们从图形上来看一下.

二、离散型随机变量的分布函数
F (x )的分布函数图
1
1 2

12 13 13
0
O

16
O

O

1

2

x
X

特点: 阶梯曲线 在xk 处有跳跃

跳跃值为 P{ X=xk } = pk

二、离散型随机变量的分布函数
总结:设离散型随机变量 X 的分布律为 P{ X=xk } = pk , k =1,2,3,… 则其分布函数为 即F(x) 是 X 取 F(x) = P(X x) = 的诸值 xk 的概率之和.
x ? x1 x1 ? x ? x2 x2 ? x ? x3 xk ? x ? xk ?1 xn ? x

? ?0 ? ? p1 ? ? p1 ? p2 ? F ( x ) ? ?? ? k ? ? pi ? i ?1 ?? ? ?1 ?

二、离散型随机变量的分布函数
例5 一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X 的分布函数. 解
当 x ? 0时, P{ X ? x }是不可能事件, 于是F ( x ) ? P{ X ? x } ? 0; 当 0 ? x ? 2时, P{0 ? X ? x} ? kx 2 , k是常数. 1 由 P{0 ? X ? 2} ? 1, 得 4k ? 1, 即 k ? . 4 2 x 因而P{0 ? X ? x } ? . 4

二、离散型随机变量的分布函数
于是 F ( x ) ? P{ X ? x }

x2 ? P { X ? 0}? P {0 ? X ? x } ? . 4 当 x ? 2时,
F ( x ) ? P{ X ? x } ? 1.

故 X 的分布函数为 x ? 0, ?0, ? 2 ?x F ( x ) ? ? , 0 ? x ? 2, ?4 其图形为一连续曲线 x ? 2. ?1, ?

二、离散型随机变量的分布函数
练习2 设随机变量X的分布列为

求:F(x).

x ? ?2 ? 0, ?1 8 , ? 2 ? x ? ?1 ? ?1 2 , ? 1 ? x ? 0 答案:F ( x ) ? ? ?5 8 , 0 ? x ? 1 ?3 4 , 1 ? x ? 2 ? x?2 ? 1,

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
1、单点分布(或退化分布) 若随机变量X的全部可能取值为常数c,即“X=c” 是必然事件,其概率分布为 P(X=c)=1 则称X服从单点分布(或退化分布). 例如,从一批全是合格品的产品中,任取c件进 行合格性检查,若以X表示所取到的合格品数,则 “X=c”是必然事件,其概率分布为P(X=c)=1.

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
2、两点分布(或0-1分布、伯努利分布) 设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分 布律为
X pk

0 1? p

1 p

则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布.
X ? B(1, p)

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例如 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,若规定

?1, 取得不合格品, X ?? ?0, 取得合格品.

X

0
190 200

1
10 200

pk

则随机变量 X 服从两点分布. 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
3、独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 设在一次试验E中只考虑两个互逆的结果:A 或 掷骰子:“掷出4点”,“未掷出4点” 抽验产品:“是正品”,“是次品” 这样的试验E称为贝努利试验 .(两点分布) 将伯努利试验E独立地重复地进行n次 ,则称这 一串重复的独立试验为n重贝努利试验 . “重复”是指这 n 次试验中P(A)= p 保持不变.

“独立”是指各次试验的结果互不影响 .

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例如:某射手独立向目标连续射击4次,每次的命 中率均为0.8,求其恰好命中3次的概率。 分析:该实验为4重贝努利 设A表示命中目标,则P( A) ? 0.8
3 在4次射击中,恰好命中3次共有C4 种情况,即:

AAAA, AAAA, AAAA, AAAA 由独立性可知,发生每种情况的概率均为: [ P ( A)]3 P ( A)=(0.830.21) 每种情况彼此不能同时发生,则由互斥性质得:
3 P(恰好命中3次) ? C4 0.830.21

三、几种常见离散型随机变量的概率分布

P(至少命中3次) ? P(恰好命中3次) ? P(恰好命中4次) =C 0.8 0.2 ? C 0.8 0.2
3 4 3 1 4 4 4 0

由此可见,n重贝努利试验中,所研究的事件 在多次试验中“恰好发生k次”的概率,对于研究 试验序列各种复杂的结果有着重要的意义。

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
(2)二项分布 用X表示n重贝努利试验中事件A发生的次数,则

当 X ? k (0 ? k ? n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了k 次.
共有 C 种,
k n

且两两互不相容.
k Cn pk qn?k

因此 A在 n 次试验中发生 k 次的概率为
k Cn pk (1 ? p)n?k

得 X 的分布律为

X pk

0 qn

1
1 C n pq n?1

?

k

? ?

n pn

k ? Cn pk q n? k

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
P{ X ? k } ? C p ?1 ? p ?
k n k n? k

k ? 0,1,?, n

称这样的分布为二项分布,记为 X ~ B( n, p).

二项分布描述的是n重贝努利试验中事件 A 出现的 次数 X 的分布律 .

n重贝努利试验中,
k P (至少发生l次)=? C n p k (1 ? p)n? k k ?l l n

P (至多发生l次)=? C p (1 ? p)
k ?0 k n k

n? k

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例6 已知100个产品中有5个次品,现从中有放回 地取3次,每次任取1个,求在所取的3个中恰有2 个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次,因此这3 次试验的条 件完全相同且独立,它是贝努利试验. 依题意,每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数, 则 X ~ B(3, 0.05), 于是,所求概率为

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
注意: 若将本例中的“有放回”改为“无放回”, 那么 各次试验条件就不同了, 此试验就不是伯努利试验 . 此时, 只能用古典概型求解.

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例7 按规定, 某种型号电子元件的使 用寿命超过

1500 小时的为一级品. 已知某一大批产品的一 级 品率为0.2, 现在从中随机地抽查 只. 问20只元件 20 中恰有 k 只( k ? 0,1,?,20) 一级品的概率是多少 ?
分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很 大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很 小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.

把检查一只元件是否为一级品看成是一次试 验,检查20只元件相当于做20重贝努利试验.

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
解: 以 X 记 20 只元件中一级品的只数 ,

则 X ~ b( 20, 0.2), 因此所求概率为

P{ X ? k } ? C (0.2) (0.8)
k 20 k

20? k

, k ? 0,1,?, 20.
P{ X ? 8} ? 0.022 P{ X ? 9} ? 0.007
P{ X ? 10} ? 0.002

P{ X ? 0} ? 0.012 P{ X ? 1} ? 0.058

P{ X ? 4} ? 0.218 P{ X ? 5} ? 0.175 P{ X ? 6} ? 0.109

P{ X ? 2} ? 0.137
P{ X ? 3} ? 0.205

P{ X ? 7} ? 0.055

P{ X ? k } ? 0.001, 当 k ? 11 时

三、几种常见离散型随机变量的概率分布

注意:P(X=4)最大。

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
一般地,若在k0处,概率P{X=k}达到最大(称k0为随 机变量X的最可能值),则k0应满足
? P{ X ? k0 } ? P{ X ? k ? 1} ? 1 ? 0 ? ? P{ X ? k0 } ? 1 ? P{ X ? k0 ? 1} ?

解上述不等式得(n+1)p-1≤ k0 ≤ (n+1)p 。因为k0必须为整
数,所以

?(n ? 1) p和(n ? 1) p ? 1, 当(n+1)p为整数, k0 ? ? 其它, ?[(n ? 1) p],
本例中,n=20,p=0.2, 所以,(n+1)p=4.2, 故k0=4。

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
二项分布与两点分布的关系 1、 二项分布

n?1

两点分布

2、 若 X ? B( n, p),X i ? B(1, p),( i ? 1, 2,? , n),

则 X ? ? X i ? X1 ? X 2 ? ? ? X n .
i ?1

n

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
5 练习3 设X ? B(2, p), Y ? B(3, p),且P ( X ? 1) ? , 9 求 P (Y ? 1).
5 解:P ( X ? 1) ? 1 ? P ( X ? 0) ? 1 ? C p (1 ? p) ? , 9 1 得 p? , 3 19 0 0 3 P (Y ? 1) ? 1 ? P (Y ? 0) ? 1 ? C 3 p (1 ? p) ? . 27
0 2 0 2

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习4 某人进行射击,设每次击中的概率为0.02, 独立射击400次,求至少击中两次的概率是多少?
解:这是一个独立重复试验概型,设击中的次数为 X,则它服从参数为n=400,p=0.02的二项分布,即 X~B(400,0.02),其概率分布为
k P{ X ? k } ? C400 (0.02)k (0.98)400?k (k ? 0,1, 2,?,400)
k P{ X ? 2} ? ? C400 (0.02)k (0.98)400? k k ?2 400

? 1 ? [ P ( X ? 0) ? P ( X ? 1)]

? 1 ? [(0.98)400 ? 400 ? 0.02 ? (0.98399 )]

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
4、泊松分布 泊松分布是1837年法国数学家泊松(Poisson) 作为二项分布的近似计算机引入的。近年来日益显 示其重要性,即它不仅是二项分面的泊松近似,它 本身就是一种重要的分布。 若随机变量X全部可能取值为一切非负整数,且 ? k e? ? P{ X ? k } ? , k ? 0,1, 2,? , k!

其中? ? 0,则称X 服从泊松分布,记为X ? P(? ).

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
泊松分布的背景及应用 二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他 们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射 性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数X 服从泊松分布. 在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
二项分布与泊松分布的关系 历史上,泊松分布是作为二项分布的近似,于 1837年由法国数学家泊松引入的 . , 则对固定的 k,有 Possion定理: 设

Poisson定理说明,若X ~ b( n, p), 当n很大p很小时,

二项分布

np ? ? ( n ? ?? )

泊松分布

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
在本节练习3中,如果射手命中率是0.01,连续 射击400次,击中至少两次的概率为 P( X ? 2) ? 1 ? [(0.99)400 ? 400(0.01)(0.99)399 ]

由于n=400较大,p=0.01较小,因此可用泊松分布 近似计算,即 ? i ?? P ( X ? k ) ? e , ? ? np ? 4
k!

于是

P ( X ? 2) ? 1 ? P ( X ? 0) ? P ( X ? 1) 40 ?4 41 ?4 ? 1 ? e ? e ? 0.908421 1! 1!

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例8 某商店出售某种贵重商品,根据以往经验,每 月销售量 X 服从参数λ=3 的泊松分布,问在月初进货 时要库存多少件此商品,才能以99%的概率充分满足 顾客的需要? 解:设月初库存k件,则
3 i ?3 P ( X ? i ) ? e , i ? 0,1, 2,? i! ? i k 3 i ?3 3 ?3 P ( X ? k ) ? ? e ? 0.99, 即 ? e ? 0.01, i ? k ?1 i ! i ?0 i !

查表,得 k+1=9,即 k=8.

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习5 独立射击5000次, 命中率为0.001,
求 (1) 最可能命中次数及相应的概率;

(2) 命中次数不少于1 次的概率. (至少命中1次的概率)
解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] =5

三、几种常见离散型随机变量的概率分布

(2) 令X 表示命中次数, 则 X ~ B(5000, 0.001)

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
利用Poisson定理再求练习4
解 令X 表示命中次数, 则 令 此结果与用二项分布算得的结果0.9934仅相差万 分之一. 启示 小概率事件虽不易发生,但重复次数多了, 就成大概率事件. X ~ B( 5000, 0.001 )

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
5、超几何分布 X ? H ( N , M , n)
P( X ? k ) ?
k n CN1 CN?k 2

C

n N

, ( N ? N1 ? N 2 , k ? 0,1, 2,?, min{n, N1})

在抽样理论中 (1) 有放回抽取,抽取的次品数服从二项分布 (参数n为抽取数,p是次品率). (2) 无放回抽取,抽得的次品数服从超几何分布 (N为产品总数,M为次品总数,n是抽取数).

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
6、几何分布 X ? G( p)
P( X ? k ) ? qk ?1 p, ( p ? q ? 1, k ? 1,2,?)

注:在n重伯努利试验中

若X ? n次试验中事件A发生的次数,则X ? B(n, p). 若X ? n次试验中A首次发生的次数,则X ? G( p).

四、随堂练习

四、随堂练习

5.有加以两种味道和颜色都极为相似的名酒各4 杯,如果从中挑4杯即能将甲种酒全部挑出来算 试验成功一次。 (1)某人随机去试,求其试验成功一次的概率。 (2)某人声称他具有品酒能力,连续独立试验10次 成功3次,试推断此人是否具有品酒能力。

四、随堂练习

解:

四、随堂练习

解:

四、随堂练习

F(x) = P(X

x)

四、随堂练习


四、随堂练习

解:

四、随堂练习

四、随堂练习
{ X ? 2}

{ X ? 3} { X ? 3}
解:

{ X ? 1}

四、随堂练习

四、随堂练习
5.有加以两种味道和颜色都极为相似的名酒各4 杯,如果从中挑4杯即能将甲种酒全部挑出来算 试验成功一次。 (1)某人随机去试,求其试验成功一次的概率。 (2)某人声称他具有品酒能力,连续独立试验10次 成功3次,试推断此人是否具有品酒能力。
4 C4 (2)如果假设此人没有品酒能力,鉴别只是随机的。 1 (1) 4 ? 70 C8 10次试验视为10重贝努利试验

1 3 69 7 4 P ( X ? 3) ? C ( ) ( ) ? 3.16 ? 10?(小概率事件) 70 70 小概率事件的发生意味着鉴别成功绝非偶然。
3 10


相关文章:
离散型随机变量及其概率分布
实验名称: 离散型随机变量及其概率分布 利用 Mathematic 绘出二项分布 b(n , p)概率分布与分布函数的图形,通过观察图形, 进一步理解二项分布的概率分布和分布函数...
离散型随机变量及其概率分布
第二节 离散型随机变量及其概率分布 (2 学时) 教学目的 使学生熟练掌握常用离散型的概率分布。 教学重点和难点 本节的重点是两点分布,二项分布,泊松分布。 本...
2.1离散型随机变量及其分布列测试题及答案
2.1离散型随机变量及其分布列测试题及答案_数学_高中教育_教育专区。2.1 离散...C 4.答案:C 解析:随机变量的分布列具有两个性质:非负性,概率之和为 1....
随机变量及其概率分布
F ( x) 。二、离散型随机变量 1.离散型随机变量及其概率分布律 若随机变量 X ? X (? ) 只取一些离散值 ?? ? x1 ? x2 ? ??? ? xn ? ??? ? ...
(含答案)离散型随机变量及其分布列
(含答案)离散型随机变量及其分布列_数学_高中教育_教育专区。(含答案)离散型...的分布列. 解:本题要求我们给出耗用子弹数 ? 的概率分布列.我们知道只有 5 ...
《2.1 随机变量及其概率分布》教案
《2.1 随机变量及其概率分布》教案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。《2.1 随机变量及其概率分布》教案 教学目标: 1? 理解离散型随机变量的分布列的意义,会...
北邮概率论与数理统计离散型随机变量及其分布律2.2
2.1.1 离散型随机变量的分布律 定义 2.2.1 设 X 是离散型随机变量, 其所有可能的取值为 x1 , x2 ,?, xi ,? , X 取各个可 能值的概率为 P{X ...
选修2-3 离散型随机变量的概率分布列讲义
2.1 离散型随机变量及其分布列 知识梳理 知识点 1:随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.随机变量常用字母 X , Y, ? , ? ,? 表示.例如,在含有 10 ...
离散型随机变量及其分布列测试题
离散型随机变量及其分布列测试题一、选择题: 1、如果 X 是一个离散型随机变量,则假命题是( ) A. X 取每一个可能值的概率都是非负数;B. X 取所有可能值...
离散型随机变量及其概率分布
离散型随机变量及其概率分布 概率论习题概率论习题隐藏>> 1、 某商店的老板订购外埠报纸,供很少数量的的顾客购买。每份报纸的成本是 70 美分, 他卖 90 美分/份...
更多相关标签: