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高中数学必修4:第二章《平面向量》单元测试题B(新人教版A版必修4)


平面向量
B组 一、选择题 1.下列命题中正确的是( A. OA ? OB ? AB C. 0 ? AB ? 0 ) B. AB ? BA ? 0 D. AB ? BC ? CD ? AD

??? ? ??? ? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ? ??? ?

????

2. 设点 A(2, 0) ,B (4, 2) ,若点 P 在直线 AB 上, 且 AB ? 2 AP , 则点 P 的坐标为 ( A. (3,1) C. (3,1) 或 (1, ?1) B. (1, ?1) D.无数多个
o

????

????



3.若平面向量 b 与向量 a ? (1,?2) 的夹角是 180 ,且 | b |? 3 5 ,则 b ? ( A. (?3,6) B. (3,?6) C. (6,?3) D. (?6,3)

)

4.向量 a ? (2,3) , b ? (?1, 2) ,若 ma ? b 与 a ? 2b 平行,则 m 等于 A. ?2 B. 2 C.

?

?

? ?

?

?

1 2

D. ?

1 2

5.若 a, b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是( A.

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?



? 6
3 2

B.

? 3

C.

6.设 a ? ( ,sin ? ) , b ? (cos ? , ) ,且 a // b ,则锐角 ? 为( A. 30
0

?

?

2? 3

D.

5? 6
?

1 3

?



B. 60

0

C. 75

0

D. 45

0

二、填空题 1.若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为
? ? ?
? ? ? ?

?

?

?

? ?

?

?

?

?



2.已知向量 a ? (1, 2) , b ? ( ?2,3) , c ? (4,1) ,若用 a 和 b 表示 c ,则 c =____。 3. 若 a ? 1 , b ? 2 ,a 与 b 的夹角为 60 , 若( 3a? 5) b ? (ma ? b) ,则 m 的值为
0

?

?

?

?

? ?



4.若菱形 ABCD 的边长为 2 ,则 AB ? CB ? CD ? __________。 5.若 a = (2,3) , b = (?4,7) ,则 a 在 b 上的投影为________________。 三、解答题
? ? ? ?

??? ? ??? ? ??? ?

-1-

1.求与向量 a ? (1, 2) , b ? (2,1) 夹角相等的单位向量 c 的坐标.

?

?

?

2.试证明:平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.

3.设非零向量 a, b , c , d ,满足 d ? (a? c )b ? (a? b )c ,求证: a ? d

? ? ? ?

?

?? ?

? ? ?

?

?

4.已知 a ? (cos ?,sin ?) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? . (1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直; (2)若 ka ? b 与 a ? k b 的长度相等,求 ? ? ? 的值( k 为非零的常数).
?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

-2-

参考答案
一、选择题 1.D 起点相同的向量相减,则取终点,并指向被减向量, OA ? OB ? BA ;

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? AB, BA 是一对相反向量,它们的和应该为零向量, AB ? BA ? 0
2.C 设 P( x, y) ,由 AB ? 2 AP 得 AB ? 2 AP ,或 AB ? ?2 AP ,

????

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? AB ? (2, 2), AP ? ( x ? 2, y) ,即 (2, 2) ? 2( x ? 2, y), x ? 3, y ? 1, P(3,1) ;
(2, 2) ? ?2( x ? 2, y), x ? 1, y ? ?1, P(1, ?1)
3.A 4.D 设 b ? ka ? (k , ?2k ), k ? 0 ,而 | b |? 3 5 ,则 5k 2 ? 3 5, k ? ?3, b ? (?3,6)

?

?

?

? ? ma ? b ? (2m,3m) ? (?1, 2) ? (2m ?1,3m ? 2)
? ? 1 a ? 2b ? (2,3) ? (?2, 4) ? (4, ?1) ,则 ?2m ? 1 ? 12m ? 8, m ? ? 2

5.B

1 ?2 ? ? a ?2 a? b 1 ?2 ? ? ? ? ?2 ?2 ? ? a ? 2a ? b ? 0, b ? 2a ? b ? 0, a ? b , a ? b , cos ? ? ? ? ? 2? 2 ? 2 a b a
3 1 ? ? sin ? cos ? ,sin 2? ? 1, 2? ? 900 , ? ? 450 2 3

6.D

二、填空题 1. 120
0

? ? ? a? b ?a 2 1 ? ? ? ?2 ? ? (a ? b )?a ? 0, a ? a ? b ? 0, cos ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,或画图来做 2 a b a b
设 c ? xa ? yb ,则 ( x, 2 x) ? (?2 y,3 y) ? ( x ? 2 y, 2 x ? 3 y) ? (4,1)
?

2. (2, ?1)

?

?

x ? 2 y ? 4, 2 x ? 3 y ? 1, x ? 2, y ? ?1
3.

23 8

? ? ? ? ? ? ? ?2 b ? 5b ? 0 (3a ? 5b)? (ma ? b) ? 3ma 2 ? (5m ? 3)a?
3m ? (5m ? 3) ? 2 ? cos600 ? 5 ? 4 ? 0,8m ? 23

4. 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? AB ? CB ? CD ? AB ? BC ? CD ? AC ? CD ? AD ? 2

65 5. 5
三、解答题

? ? a? b 13 ? a cos ? ? ? ? 65 b

-3-

1.解:设 c ? ( x, y) ,则 cos ? a, c ?? cos ? b , c ?,

?

? ?

? ?

? 2 ? x? ?x ? ? ? x ? 2 y ? 2 x ? y ? ? ? 2 得? 2 ,即 ? 或? 2 ?x ? y ? 1 ?y ? 2 ?y ? ? ? ? ? ? 2
2 2 2 2 ? c ?( , ) 或 (? ,? ) 2 2 2 2

2 2 2 2

2.证明:记 AB ? a, AD ? b , 则 AC ? a ? b , DB ? a ? b ,

??? ?

? ? ???

?

??? ?

?

? ? ???

? ?

??? ? 2 ??? ?2 ? ? ? ? ? ? AC ? DB ? (a ? b )2 ? (a ? b )2 ? 2a 2 ? 2b 2 ??? ? 2 ??? ?2 ?2 ?2 ? AC ? DB ? 2 a ? 2 b
3.证明:? a? d ? a? [(a? c )b ? (a? b )c ] ? (a? c )(a? b ) ? (a? b )c ? a

? ?

?

?? ?

? ? ?

?? ? ?

? ? ? ?

?? ? ? ?? ? ? ? (a? c )(a? b ) ? (a? c )(a? b) ? 0
? ? ?a ? d
4.(1)证明:?(a ? b )? (a ? b ) ? a 2 ? b 2 ? (cos2 ? ? sin2 ? ) ? (cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 0

? ?

? ?

?

?

? ? ? ? ? a ? b 与 a ? b 互相垂直
(2) k a ? b ? (k cos ? ? cos ? , k sin ? ? sin ? ) ;
?
?

?

a ? k b ? (cos ? ? k cos ? ,sin ? ? k sin ? )
? ? k a ? b ? k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? )

?

?

? a ? kb ? k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? )
k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? )

2 而 k ? 1 ? 2k cos( ? ? ? ) ?

cos(? ? ? ) ? 0 , ? ? ? ?

?
2

-4-


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