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高考数学解答题—三角函数典型例题讲解


高考数学解答题——三角函数篇
1.考点分析: 三角函数是高考解答题的必考题型,在高考中的考查点主要涉及三角函数的性质与图像,三角恒等式的运用,正余弦 定理在解三角形中的应用以及解三角形的实际应用.这类题目在高考解答题中属于低档题, 分值一般为 12 分, 属于必须 得分的题型. 2.考点浓缩: 三角函数解答题涉及的公式较多,在备考复习时不外乎从两个方面着手:公式和性质.

其中,观察 近几年的高考可以发 现,两角和的正弦、余弦公式(辅助角公式) ,正弦(余弦)的倍半角公式,正、余弦定理公式、三角形面积公式是考 查最热的几个公式;三角函数性质方面的考查主要体现在三角函数的单调区间、最值的求解,其它性质如对称中心、 对称轴、周期以及图象的变换等多出现在选择或者填空题中,在解答题中偶有涉及.所以这部分知识可以浓缩为下列几 个关键词: 公式:两角和的正(余)弦公式、正弦(余弦)的倍半角公式、正(余)弦定理公式、三角形面积公式; 性质:三角函数的单调区间、三角函数的区间最值. 命题点一、三角函数性质、三角恒等变换的考查 例 1.已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0, 其图像经过点 M ? , ? . (1) 求 f ( x) 的 0 ? ? ? π) ,x ? R 的最大值是 1,

?π 1? ? 3 2?

解析式; (2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ?

? ?

π? 2?

3 12 , f (? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13

跟踪练习 1:已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ?

? ? ?? , 上的最大值和最小值. ? 6 2? ?

命题点二、正弦、余弦定理在解三角形中的考查 例 2.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (I)求 ?ABC 的面积; (II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

??? ? ???? A 2 5 , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

跟踪练习 2:在 ?ABC 中, sin(C ? A) ? 1 ,

sin B ?

1 。 3

(I)求 sin A 的值; (II)设 AC ? 6 ,求 ?ABC 的面积。

命题点三、解三角形应用 例 3.为了测量两山顶 M,N 间的距离,飞机沿水平方向在 A,B 两点进行测量,A,B,M,N 在同一个铅垂平面内(如示 意图) ,飞机能够测量的数据有俯角和 A,B 间的距离,请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示, 并在图中标出) ;②用文字和公式写出计算 M,N 间的距离的步骤。

Om

跟踪练 习 3:如图, A , B , C , D 都在同一个与水平面垂直的平面内, B , D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于 水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 750 , 300 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角都为 600,AC= 0.1km .试 探究图中 B,D 间距离与另外哪两点距离相等,然后求 B,D 的距离 (计算结果精确到 0.01km, 2 ? 1.414, 6 ? 2.449 )

跟踪 4. 在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山,山顶设有一个观察站 P,上午 11 时,测得一轮船在岛北 30°东,俯 角为 30°的 B 处,到 11 时 10 分又测得该船在岛北 60°西、俯角为 60°的 C 处。 (1)求船的航行速度是每小时多少千米; (2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的 D 处,问此时船距岛 A 有多远?

P
西 D



C

B

东 A

命题点四、 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ? b 的图像与应用 例 4.已知函数 f ?x ? ? A sin??x ? ? ?( A ? 0, ? ? 0, ? ? (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的解析式; (Ⅱ)求函数 y ? f ? x ? ? 2 cos( x ?

?
2

) 的图象的一部分如图所示.

?

?

4

2 ) ( x ? [?6,? ]) 的最大值和最小值. 3 4

跟踪 5.如下图,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ω x+φ )+b (1)求这段时间的最大温差 (2)写出这段曲线的函数解析式 y 温度/0C
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30 20 10 时间/h 6 10 14

o

x

演练 目标要求:每题 7-10 分钟左右,保持题目全对,高考得分 12 分. 1.已知函数 f ( x) ? sin x cos ? ? cos x sin ? (其中 x ? R , 0 ? ? ? ? ) . (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)若函数 y ? f ? 2 x ?
[来:Z+xx+k.Com]

? ?

??

? 的图像关于直线 x ? 对称,求 ? 的值. 4? 6

?

2.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

)的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间

? 2? ,且图象上一个最低点为 M ( , ?2) . 2 3 ? ? (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [ , ] ,求 f ( x) 的值域. 12 2
的距离为

3.已知 a ? ? sin x, ? cos x ? , b ? ? cos x, ? cos x ? ,函数 f ? x ? ? a ? b ? (1)求 f ( x) 的最小正周期,并求其图象对称中心的坐标; (2)当 0 ? x ?

?

?

? ?

3 2

?
2

时,求函数 f ( x) 的值域。

4. 在 ?ABC 中, a、 B C 的对边,且满足 b2 ? c2 ? a2 ? bc . b、 c 分别为角 A、、 (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a ? 3 ,设角 B 的大小为 x, ?ABC 的周长为 y ,求 y ? f ( x) 的最大值.

5.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 (2b ? c) cos A ? a cos C ? 0 . (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 3, S ?ABC ?

3 3 ,试判断 ?ABC 的形状,并说明理由. 4

[来源:学,科,网]

6. 如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量, 已知 AB ? 50m , BC ? 120m ,于 A 处测得水深 AD ? 80m ,于 B 处测得水深

BE ? 200m ,于 C 处测得水深 CF ? 110m ,求∠DEF 的余弦值。

参考答案
例 1. 解: (1)依题意有 A ? 1 ,则 f ( x) ? sin( x ? ?) ,将点 M ( 而 0 ? ? ? ? ,?

? 1

?

5 ? ? ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x ; 3 6 2 2

? 1 , ) 代入得 sin( ? ? ) ? , 3 2 3 2

(2)依题意有 cos ? ?

3 4 12 5 3 12 ? , cos ? ? ,而 ? , ? ? (0, ) ,? sin ? ? 1 ? ( ) 2 ? ,sin ? ? 1 ? ( ) 2 ? , 5 5 13 13 5 13 2

3 12 4 5 56 。 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 5 13 5 13 65
考点突破:注意两角和与差的正弦、余弦公式的应用,三角函数的性质与恒等变换的考查是三角部分命题的一种常见 形式. 例 2.解析: (I)因为 cos

A 2 5 3 4 2 A ? ,? cos A ? 2cos ? 1 ? ,sin A ? , 2 5 2 5 5

又由 AB ? AC ? 3 ,得 bc cos A ? 3, ?bc ? 5 ,? S?ABC ?

??? ? ????

1 bc sin A ? 2 ; 2

21 世纪教育网

2 2 2 ?a ? 2 5 (II) 对于 bc ? 5 , 又 b ? c ? 6, 由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 20 , ?b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 ,
21 世纪教 育网

考点突破:三角函数问题涉及到向量时,可以结合图形来处理,三角形的面积在求解时要根据条件中角的正弦值来确 定所用的公式. 例 3.解:方案一:①需要测量的数据有:A 点到 M,N 点的俯角 ?1 , ?1 ;B 点到 M,N 的俯角 ? 2 , ? 2 ;A,B 的距离 d (如图)所示) . ②第一步:计算 AM . 由正弦定理 AM ?

d sin ? 2 sin(?1 ? ? 2 )

;第二步:计算 AN . 由正弦定理 AN ?

d sin ? 2 sin( ? 2 ? ?1 )



[来源:Zxxk.Com]

第三步:计算 MN. 由余弦定理 MN ? 方案二:①需要测量的数据有:
[来源:Z*xx*k.Com]

AM 2 ? AN 2 ? 2 AM ? AN cos(?1 ? ?1 ) .

A 点到 M,N 点的俯角 ?1 , ?1 ;B 点到 M,N 点的府角 ? 2 , ? 2 ;A,B 的距离 d (如图所示). ②第一步: 计算 BM . 由正弦定理 BM ?

[来源:Z#xx#k.Com]

d sin ?1 sin(?1 ? ? 2 )

; 第二步: 计算 BN . 由正弦定理 BN ?

d sin ?1 sin( ? 2 ? ?1 )



[来

源:Z。xx。k.Com]

第三步:计算 MN . 由余弦定理 MN ?

BM 2 ? BN 2 ? 2 BM ? BN cos( ? 2 ? ? 2 )

考点突破:三角应用题多集中与解三角形的问题中,要先能根据题意将实际问题抽象为数学问题,然后选择合适的正 弦或者余弦定理.
[来源:Z§ xx§ k.C

例 4.解:(Ⅰ)由图可知: A ? 2 ,

最小正周期 T ?

2?

f (1) ? 2 ,即 sin( ? ? ) ? 1 ,又 ? ? ,所以 ? ? 2 4 4

?

?

?

? 8 ,所以 ? ?

?
4

?

,所以 f ( x) ? 2 sin(

?
4

x?

?
4

).

(Ⅱ) y ? f ( x) ? 2 cos( x ?

?

?

4 2 3? ? ? 由?6 ? x ? ? 得? ? x?? , 3 2 4 6
所以,当 当

) ? 2 sin( x ? ) ? 2 cos( x ? ) ? 2 2 cos x 4 4 4 4 4 4

?

?

?

?

?

?

?
4

4

x ? ?? ,即 x ? ?4 时, y 取最小值 ? 2 2 ;

x??

?
6

,即 x ? ?

2 时, y 取最大值 6 3

跟踪练习 1. 【解析】 (Ⅰ)∵ f ? x ? ? 2sin ?? ? x ? cos x ? 2sin x cos x ? sin 2 x ,∴函数 f ( x) 的最小正周期为 ? . (Ⅱ)由 ?

?
6

?x?

?
2

??

?
3

? 2 x ? ? ,∴ ?

3 ? sin 2 x ? 1 , 2

∴ f ( x) 在区间 ? ?

3 ? ? ?? . , ? 上的最大值为 1,最小值为 ? 2 ? 6 2?

跟踪练习 2. 解: (I)由 sin(C ? A) ? 1, ?? ? C ? A ? ? , 知 C ? A ? 又 A ? B ? C ? ? , 所以 2 A ? B ? 故 cos 2 A ? sin B,1 ? 2sin A ?
2

?
2



?
2

, 即 2A ?

?
2

? B, 0 ? A ?

?
4

.

1 3 ,sin A ? . 3 3

(II)由(I)得 : cos A ? 所以 S?ABC ?

6 BC AC sin A . 又由正弦定理,得: ? , BC ? ? AC ? 3 2, 3 sin A sin B sin B

1 1 AC ? BC ? sin C ? AC ? BC ? cos A ? 3 2. 2 2
0

跟踪练习 3. 解:在△ACD 中, ?DAC ? 30 ,

?ADC ? 600 ? ?DAC ? 300 , 所以 CD= AC= 0.1 .
又∠BCD= 180 ? 60 ? 60 ? 60 , 故 CB 是△CAD 底边的中垂线,所以 BD=BA。
0 0 0 0

在△ABC 中,

AB AC AC sin 60 0 3 2 ? 6 3 2? 6 ? 0.33km ,故 B, ? , AB ? ? ,因此, BD ? 0 20 sin ?BCA sin ?ABC sin15 20

D 的距离为 0.33km 跟踪 4 解
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(1)在 Rt△PAB 中,∠APB=60° PA=1,∴AB= 3 (千米)

在 Rt△PAC 中,∠APC=30°,∴AC= 在△ACB 中,∠CAB=30°+60°=90°

3 (千米) 3

? BC ?

AC 2 ? AB 2 ? (

3 2 30 ) ? ( 3)2 ? 3 3

30 1 ? ? 2 30 (千米 / 时) 3 6
(2)∠DAC=90°-60°=30°

sinDCA=sin(180°-∠ACB)=sinACB=

AB ? BC

3 30 3

?

3 10 10

sinCDA=sin(∠ACB-30°)=sinACB·cos30°-cosACB·sin30° ?

3 10 10

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3 1 3 (3 3 ? 1) 10 ? ? 1? ( 10 ) 2 ? 2 2 10 20
在△ACD 中,据正弦定理得

AD AC , ? sin DCA sin CDA

3 3 10 ? AC ? sin DCA 9? 3 10 ∴ AD ? ? 3 ? sin CDA 13 (3 3 ? 1) 10 20

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此时船距岛 A 为

9? 3 千米 13

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仿真演练 1.解: (1)∵ f ( x) ? sin ? x ? ? ? , ∴函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? . (2)∵函 数 y ? f ? 2 x ? 令 2x ?

? ?

??

? ? ? ? , ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ,又 y ? sin x 的图像的对称轴为 x ? k? ? ( k ? Z ) 4? 4 2 ? ?

( k ?Z ) . 6 2 12 11? ∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? ? . 12 2? 2.解(1)由最低点为 M ( , ?2) 得 A=2. 3 ? T ? 2? 2? 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 = ,即 T ? ? , ? ? ? ?2 2 2 2 T ? 2? 2? 4? 由点 M ( , ?2) 在图像上的 2sin(2 ? ? ? ) ? ?2,即sin( ? ? ) ? ?1 3 3 3 4? ? 11? 故 ?? ? 2 k? ? ? ? ? 2k? ? , k ? Z 6 3 2

?

4

? ? ? k? ?

?

,将 x ?

?

代入,得 ? ? k? ?

?

又 ? ? (0,

, 故f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 2 6 6 ? ? ? ? 7? (2)? x ? [ , ],      ? 2 x ? ?[ , ] 12 2 6 3 6
当 2x ? 即x?

?

),?? ?

?

?

? ?
6
=

2

,即 x ?

?
6

时, f ( x) 取得最大值 2;当 2 x ?

?
6

?

7? 6

[来源:学科网 ZXXK]

?
2

时, f ( x) 取得最小值-1,故 f ( x) 的值域为[-1,2]

3.解: (1) f ( x) ? sin x cos x ? 3 cos x ?
2

3 . 2

………………2 分

?

1 3 3 1 3 sin 2 x ? (cos 2 x ? 1) ? ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 2 2 2

? sin(2 x ?

?
3

) ………………4 分

[来源:学科网]

所以 f ( x) 的最小正周期为 ? . 令 sin(2 x ?

………………5 分

k ? ? k? ,? x ? ? ? , k ? Z. 3 3 2 6 k ? 故所求对称中心的坐标为 ( ? ? , 0), (k ? Z). ………………8 分 2 6 ) ? 0, 得2 x ?

?

?

(2)? 0 ? x ?

?

??
??

?
3

? 2x ?

?

2

. ? 2? . ………………10 分 3
………………12 分

3

3 ? 3 ? sin(2 x ? ) ? 1 ,即 f ( x) 的值域为 [? ,1]. 2 3 2
2 2 2

4. 解: (Ⅰ)在 ?ABC 中,由 b ? c ? a ? bc 及余弦定理得 cos A ? 而 0 ? A ? ? ,则 A ? (Ⅱ)由 a ? 3, A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? 2bc 2

?
3



?
3

及正弦定理得

b c a ? ? ? sin B sin C sin A

3 ? 2, 3 2

2? 2? 2? ? x ,则 b ? 2sin x, c ? 2sin( ? x)(0 ? x ? ) 3 3 3 2? ? 于是 y ? a ? b ? c ? 3 ? 2sin x ? 2sin( ? x) ? 2 3 sin( x ? ) ? 3 , 3 6 2? ? ? 5? ? ? ? 由0 ? x ? 得 ? x? ? ,当 x ? ? 即 x ? 时, ymax ? 3 3 3 3 6 6 6 6 2
而 B ? x, C ? 5. (1)解法一:? (2b ? c) cos A ? a cos C ? 0 由正弦定理得

(2sin B ? sin C) cos A ? sin A cos C ? 0

2分

? 2sin B cos A ? sin( A ? C ) ? 0,sin B(2cos A ? 1) ? 0

?0 ? B ? ?
? sin B ? 0, cos A ? ? 0 ? A ? ? ,? A ?
(法二)

?

1 2

4分

3

? (2b ? c) cos A ? a cos C ? 0

由余弦定理,得

(2b ? c) ?

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? b2 ? c 2 ?a? ?0 2bc 2ab
2 2 2

2分

整理,得 b ? c ? a ? bc,

4分

? cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 1 ? 2bc 2

? 0 ? A ? ? ,? A ?
(2)? S ?ABC ?

?
3

1 3 3 , bc sin A ? 2 4 3 3 4
7分

即 bc sin ?

?
3

?

?bc ? 3 ①

? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A,

?b2 ? c 2 ? 6
由①②得 b ? c ?



9分

3

??ABC 为等边三角形 12 分
6. 解:作 DM // AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.

DF ? MF 2 ? DM 2 ? 302 ? 1702 ? 10 198 , DE ? DN 2 ? EN 2 ? 502 ? 1202 ? 130 ,
EF ? ( BE ? FC ) 2 ? BC 2 ? 902 ? 1202 ? 150 . . . . . . .6 分
在 ?DEF 中,由余弦定理,

cos ?DEF ?

DE 2 ? EF 2 ? DF 2 1302 ? 1502 ? 102 ? 298 16 ? ? . 2 DE ? EF 2 ?130 ?150 65

. . . . . .12 分


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