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天津市河西区2015届高三下学期总复习质量调查(三)数学(文)试题 Word版含答案


河西区 2014—2015 学年度第二学期高三年级总复习质量调查(三)

数 学 试 卷(文史类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分 钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 8 页。 答卷前,考生务必将自己的学校、姓名、准考号填写密封线内相应位置。 祝各位考生考试顺利!

>第Ⅰ卷
注意事项: 1.每小题选出答案后,将答案填在题后的括号内。 3.本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 参考公式:
·如果事件 ·柱体的体积公式 V ? Sh ·锥体的体积公式 V

A , B 互斥,那么

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
·如果事件

1 ? Sh 3

A , B 相互独立,那么

其中 S 表示柱(锥)体的底面面积

P( AB) ? P( A) ? P( B)

h 表示柱(锥)体的高

一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)复数 (A) i

3 ? 2i ?( 2 ? 3i

) (B) ?i (C) 12 ? 13i (D) 12 ? 13i

x (2) 已知命题 p :对任意 x ? R , 总有 2 ? 0 ,q :“ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件,

则下列命题为真命题的是( (A) p ? q (B)



? ?p ? ? ? ?q ?

(C)

? ?p ? ? q

(D) p ? ? ?q ?

-1-

(3)如图所示,程序框图的输出结果是(



1 6 11 (C) 12
(A)

25 24 3 (D) 4
(B)

( 4 )数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 1 , an ?1 ? 3Sn

? n ? 1?

,则 a6 ? (

)
4 ? 1 (B) 3 ? 4

(A) 3 ? 4 4
4 (C) 4

4 (D) 4 ? 1

(5)设抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点, PA ? l , A 为垂足,若直线

AF 斜率为 ? 3 ,那么 PF ? (
(A) 4 3 (B) 8

) (C) 8 3 (D) 16

(6)将函数 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? ? ?

?? ? ? ? ? ? ? 的图象向右平移 ? ?? ? 0 ? 个单位长度后 2? ? 2
? ? ? 3? ? ,则 ? 的值可以是( 2 ? ?
(D) )

得到函数 g ? x ? 的图象,若 f ? x ? , g ? x ? 的图象都经过点 P ? 0, (A)

5? 3
1

(B)

?
2

(C)

5? 6

?
6
,其中在区间 ? 0,1?

(7)给定函数① y ? x 2 ,② y ? log 1 ( x ? 1) ,③ y ? x ?1 ,④ y ? 2
2

x ?1

上单调递减函数的序号是( (A) ①②

) (C) ③④ (D) ①④

(B) ②③

2 x (8)已知函数 f ? x ? ? x ? e ?

1 x ? 0 ? 与 g ? x ? ? x2 ? ln( x ? a) 的图象上存在关于 y 轴对 ? 2
)

称的点,则 a 的取值范围是( (A)

? ??, e ?

(B) ? ??,

? ?

1 ? ? e?

(C) ? ?

? ?

1 ? , e? e ?

(D) ? ? e ,

? ?

1 ? ? e?

河西区 2014—2015 学年度第二学期高三年级总复习质量调查(三)

数 学 试 卷(文史类)
-2-

第Ⅱ卷
注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在试卷上。 2.本卷共 12 小题,共 110 分。 二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9)已知某地区小学生 3500 人,初中生 4500 人,高中生 2000 人, 近视情况如图所示. 为了解该地区中小学生的近视形成原因, 用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查, 则样本容量和抽取的 高中生近视人数分别为 .

(10) 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是________. (11)设常数 a ? R ,集合 A ? x | ? x ?1?? x ? a? ? 0 ,

?

?

B ? ?x | x ? a ?1? .若 A B ? R ,则 a 的取值范围为________.
(12)如图, P 为⊙ O 外一点,过 P 点作⊙ O 的两条切线,切 点分别为 A , B ,过 PA 的中点 Q 作割线交⊙ O 于 C , D 两点, 若 QC ? 1 , CD ? 3 ,则 PB ? ________. (13)设 D , E 分别是 ?ABC 的边 AB , BC 上的点, AD ?

1 2 AB , BE ? BC , 3 2

若 DE ? ?1 AB ? ?2 AC ( ?1 , ?2 为实数),则 ?1 ? ?2 的值为________. (14)设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ?

a2 ? 7 ,若 x

f ( x) ? a ? 1 对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围为

.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 某小组共有 A、B、C、D、E 五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标 2 (单位:千克/米 )如下表所示: A 身高 体重指标 1.69 19.2 B 1.73 25.1 C 1.75 18.5 D 1.79 23.3 E 1.82 20.9

(Ⅰ)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率; (Ⅱ)从该小组同学中任选 2 人 ,求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在 [18.5,23.9)中的概率.
-3-

(16) (本小题满分 13 分)
?ABC 中,角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ,已知 a ? 3 ,cos A ?

6 ? ,B ? A ? . 3 2

(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

(17) (本小题满分 13 分) 如图,在在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 面 ABCD , AB ? BC ? 2 , AD ? CD ? 7 ,

PA ? 3 , ?ABC ? 120? , G 为线段 PC 上的点.
(Ⅰ)证明: BD ? 面 PAC ; (Ⅱ)若 G 是 PC 的中点,求 DG 与面 APC 所成的角的正切值; (Ⅲ)若 G 满足 PC ⊥面 BGD ,求

PG 的值. GC

-4-

(18) (本小题满分 13 分) 椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 错误!未找到引用源。? a ? b ? 0? 的离心率 e ? 错误!未找到引 2 a b 2

用源。, a ? b ? 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)如图, A , B , D 是椭圆 C 的顶点, P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点,直线 DP 交 x 轴于点 N 直线 AD 交 BP 于点 M ,设 BP 的斜率为 k , MN 的斜率为 m ,证明 2m ? k 为定值.

-5-

(19) (本小题满分 14 分)
2 正项数列 ?an ? 的前项和 ?an ? 满足: sn ? (n2 ? n ?1)sn ?(n2 ? n) ? 0 .

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (Ⅱ)令 bn ?

n ?1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , 2 (n ? 2) 2 an
5 . 64

* 证明:对于任意的 n ? N ,都有 Tn ?

-6-

(20) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? b , g ? x ? ? e
2 x

?cx ? d ? ,若曲线 y ? f ? x? 和曲线 y ? g ? x ?

都过点 P ? 0,2? ,且在点 P 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2 (Ⅰ)求 a , b , c , d 的值; (Ⅱ)若 x ? ?2 时, f ? x ? ? kg ? x ? ,求 k 的取值范围.

-7-

河西区 2014—2015 学年度第二学期高三年级总复习质量调查(三)

数学试卷(文史类)参考答案及评分标准
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 40 分. (1)A (5)B (2) D (6) C (3)C (7)B (4) A (8) A

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 30 分. (9) 200 , 20 (12) 4 (10) 16? ? 16 (11)

? ??, 2?
8 7

(13)

1 2

(14) a ? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. (15) (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件有:

? A, B? , ? A, C ? , ? A, D ? , ? B, C ? , ? B, D ? , ?C, D? ,共 6 个.
选到的 2 人身高都在 1.78 以下的事件有 ? A, B ? , ? A, C ? , ? B, C ? 共 3 个. 所以选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率 P ?

3 1 ? .????5 分 6 2

(Ⅱ)解:从该小组同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件有:

? A, B? , ? A, C ? , ? A, D ? , ? A, E ? , ? B, C ? , ? B, D ? , ? B, E ? , ?C, D? , ?C, E ? , ? D, E ? ,
共 10 个. 选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有:

?C, D? , ?C, E ? , ? D, E ? ,共 3 个.
因此选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为

P?

3 ????13 分 10
3 . 3

(16) (本小题满分 13 分) (Ⅰ ) 解:在 ?ABC 中,由题意知, sin A ? 1 ? cos 2 A ? 又因为 B ? A ?

?

?? 6 ? ,所以 sin B ? sin ? A ? ? ? cos A ? , 2? 2 3 ?

-8-

a sin B ? 由正弦定理可得, b ? sin A

3?

6 3 ? 3 2 .????6 分 3 3

(Ⅱ )由 B ? A ?

?

?? 3 ? 得 cos B ? cos ? A ? ? ? ? sin A ? ? . 2? 2 3 ?

由 A ? B ? C ? ? ,得 C ? ? ? ? A ? B ? , 所以 sin C ? sin ? ?? ? ? A ? B ?? ? ? sin ? A ? B ?
? sin A cos B ? cos A sin B ?

3 ? 3? 6 6 1 ?? ? ? ? ? . ? ? ? 3 ? 3 ? 3 3 3

1 1 1 3 2 因此 ?ABC 的面积 S ? ab sin C ? ? 3 ? 3 2 ? ? .????13 分 2 2 2 3
(17) (本小题满分 13 分) (Ⅰ) 证明:由已知得三角形 ABC 是等腰三角形,且底角等于 30? ,

AB ? CB ? ? 且 AD ? CD ? ? ?ABD ? ?CBD ? BD ? DB ? ?

?ABD ? ?CBD ? 60
所以 BD ?

且 ?BAC ? 30 ,

AC ,又因为

PA ? ABCD ? BD ? PA? ? ? BD ? PAC ;?4 分 BD ? AC ?

(Ⅱ)解:设 AC

BD ? O ,由(Ⅰ)知 DO ? PAC ,连接 GO ,所以 DG 与面 APC

所成的角是 ?DGO , 由已知及(Ⅰ)知: BO ? 1 ,

AO ? CO ? 3 ,所以 DO ? 7 ? 3 ? 2

OD 1 1 ? 2 ? 4 3, GO ? PA ? 3 ? tan ?DGO ? 2 2 GO 1 3 3 2
所以 DG 与面 APC 所成的角的正切值是

4 3 ; ????8 分 3

(Ⅲ)解:由已知得到 PC ?

PA2 ? AC 2 ? 3 ? 12 ? 15 ,

因为 PC ? BGD 所以 PC ? GD ,

-9-

在 ?PDC 中, PD ? 设 PG

3 ? 7 ? 10 , CD ? 7 , PC ? 15 ,

? x 则 CG ? 15 ? x
2

? 7 ? ( 15 ? x) 2 3 2 PG 3 .????13 分 所以 PG ? x ? 15 , GC ? 15 ,所以 ? 5 5 GC 2
所以10 ? x (18) (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解 : 由 e=

c 2 a 2 ? b2 b2 3 3 c ? 1 ? ? ? 得 2 ? a a2 a2 4 2 a

所以 a ? 2b 再由 a ? b ? 3 得

a ? 2 , b ? 1 ,所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ????5 分 4
1 )① 2

(Ⅱ)因为 B(2,0) , P 不为椭圆顶点, 则 BP 方程为 y=k(x-2)( k ? 0 且 k ? ?

x2 8k 2 ? 2 4k 2 ? y ? 1,解得 P( 2 ,? 2 ) 将①代入 4 4k ? 1 4k ? 1
1 x ?1 2 4k ? 2 4k , ) ①与②联立解得 M ( 2k ? 1 2 k ? 1
又直线 AD 的方程为 y ? 由 D(0,1) , P( ②

4k ? 2 8k 2 ? 2 4k , 0) , ? 2 ) , N ( x, 0) 三点共线可角得 N ( 2 2k ? 1 4k ? 1 4k ? 1
1 2k ? 1 2k ? 1 ?k ? ,则 2m ? k ? (定值) ???13 分 2 4 2

所以 MN 的分斜率为 m ? (19) (本小题满分 14 分)

2 2 (Ⅰ)解:由 Sn ? (n2 ? n ?1)Sn ?(n2 ? n) ? 0 ,得 ? ? S n ? ( n ? n) ? ? ( S n ? 1) ? 0 .

由于 ?an ? 是正项数列,所以 Sn ? 0, Sn ? n2 ? n .
2 2 于是 a1 ? S1 ? 2, n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? n ? n ? (n ?1) ?(n ?1) ? 2n .

综上,数列 ?an ? 的通项 an ? 2n . ???7 分 (Ⅱ)证明:由于 an ? 2n , bn ?

n ?1 . 2 (n ? 2)2 an


- 10 -

bn ?

n ?1 1 ?1 1 ? ? . ? ? 2 2 4n (n ? 2) 16 ? n (n ? 2) 2 ? ?
2

(20) (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:由已知得 f ? 0? ? 2 , g ? 0 ? ? 2 , f ? ? 0? ? 4 , g? ? 0? ? 4 , 而 f ?( x) = 2 x ? b , g ?( x) = e (cx ? d ? c ) ,∴ a =4, b =2, c =2, d =2;???4 分
x

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知, f ( x) ? x ? 4 x ? 2 , g ( x) ? 2e ( x ? 1) ,
2 x

设函数 F ( x) = kg ( x) ? f ( x) = 2ke ( x ? 1) ? x ? 4 x ? 2 ( x ? ?2 ),
x 2

F ?( x) = 2ke x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 = 2( x ? 2)(ke x ? 1) ,
有题设可得 F (0) ≥0,即 k ? 1 , 令 F ?( x) =0 得, x1 = ? ln k , x2 =-2, (1)若 1 ? k ? e ,则-2< x1 ≤0,∴当 x ? (?2, x1 ) 时, F ( x) <0,当 x ? ( x1 , ??) 时, F ( x) >0,
2

即 F ( x) 在 (?2, x1 ) 单调递减 ,在 ( x1 , ??) 单调递增 , 故 F ( x) 在 x = x1 取最小值 F ( x1 ) , 而

F ( x1 ) = 2 x1 ? 2 ? x12 ? 4 x1 ? 2 = ? x1 ( x1 ? 2) ≥0,
∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x) ≤ kg ( x) 恒成立, (2)若 k ? e ,则 F ?( x) = 2e ( x ? 2)(e ? e ) ,
2
2 x 2

∴当 x ≥-2 时, F ?( x) ≥0,∴ F ( x) 在(-2,+∞)单调递增,而 F (?2) =0, ∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x) ≤ kg ( x) 恒成立, (3)若 k ? e ,则 F (?2) = ?2ke
2 ?2

? 2 = ?2e ?2 (k ? e 2 ) <0,

∴当 x ≥-2 时, f ( x) ≤ kg ( x) 不可能恒成立, 综上所述, k 的取值范围为[1, e ]. ???14 分
- 11 2

- 12 -


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