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高二数学选修1、3-2-1几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式老师4页


高二数学选修 1、3-2-1 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式老师 4 页

3.2.1 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式
一、选择题 (1+Δx)2-1 1. lim 表示( Δx Δx→0 A.曲线 y=x2 的斜率 B.曲线 y=x2 在点(1,1)处的斜率 C.曲线 y=-x2 的斜率 D.曲线 y=-x2 在(1,-1)处的斜率 [答案] B (1+Δx)2-1 [解析] 由导数的意义可知, lim 表示曲线 y=x2 在点(1,1)处的斜率. Δx Δx→0 2π 2.若 y=cos ,则 y′=( 3 A.- C.0 [答案] C [解析] 常数函数的导数为 0. 3.下列命题中正确的是( ) 3 2 ) 1 B.- 2 1 D. 2 )

①若 f′(x)=cosx,则 f(x)=sinx ②若 f′(x)=0,则 f(x)=1 ③若 f(x)=sinx,则 f′(x)=cosx A.① C.③ [答案] C [解析] 当 f(x)=sinx+1 时,f′(x)=cosx, 当 f(x)=2 时,f′(x)=0. 4.若 y=ln x,则其图象在 x=2 处的切线斜率是( A.1 C.2 [答案] D 1 1 1 [解析] ∵y′= ,∴y′|x=2= ,故图象在 x=2 处的切线斜率为 . x 2 2 5.已知直线 y=kx 是 y=ln x 的切线,则 k 的值为( 1 A. 2 1 B.- 2 ) B .0 1 D. 2 ) B.② D.①②③

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1

1 C. e [答案] C

1 D.- e

1 ? 1 1 [解析] y′= =k,∴x= ,切点坐标为? ?k,1?, x k 1 1 1 又切点在曲线 y=lnx 上,∴ln =1,∴ =e,k= . k k e 1 ?1?? 6.已知函数 f(x)=x ,则? ?f?2??′=( 2 A.0 C.1 [答案] A 1? [解析] ∵f? ?2?= 1 ,∴? 2 ? 1? ′=0. 2? ) B. 2 2 2 2 )

D.-

1 7.y= 在点 A(1,1)处的切线方程是( x A.x+y-2=0 C.x+y+2=0 [答案] A 1 [解析] ∵y′=- 2,∴y′|x=1=-1. x ∴y-1=-1(x-1),即 x+y-2=0. 8.下列结论中正确的个数为( 1 ①y=ln2, 则 y′= 2 1 则 y′= xln2 A.0 C.2 [答案] D B .1 D.3 )

B.x-y+2=0 D.x-y-2=0

1 2 ②y= 2, 则 y′|x=3=- x 27

③y=2x, 则 y′=2xln2 ④y=log2x,

[解析] ①y=ln2 为常数,所以 y′=0,①错. 9.下列结论中不正确的是( A.若 y=0,则 y′=0 B.若 y= 3 3 ,则 y′=- 1 3 x x )

x

1 C.若 y=- x,则 y′=- 2 x D.若 y=3x3,则 y′=3x2 [答案] D [解析] y′=(3x3)′=3×3· x3 1=9x2.


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2

π 10.若 y=sinx,则 y′|x= =( 3 1 A. 2 C. 3 2

) 1 B.- 2 D.- 3 2

[答案] A

二、填空题 11.曲线 y=lnx 与 x 轴交点处的切线方程是__________. [答案] y=x-1 [解析] ∵曲线 y=lnx 与 x 轴的交点为(1,0) ∴y′|x=1=1,切线的斜率为 1,所求切线方程为:y=x-1. 5 12 .质点沿直线运动的路程与时间的关系是 s= t ,则质点在 t=32 时的速度等于 ____________. [答案] 1 80

4 13.在曲线 y= 2上求一点 P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为 135° ,则 P 点坐标 x 为________. [答案] (2,1) 4? -2 -3 [解析] 设 P(x0,y0),y′=? ?x2?′=(4x )′=-8x , ∴tan135° =-1=-8x0 3.∴x0=2,y0=1.


14.y=10x 在(1,10)处切线的斜率为________. [答案] 10ln10 [解析] y′=10xln10,∴y′|x=1=10ln10. 三、解答题 15.已知曲线 C:y=x3 (1)求曲线 C 上点(1,1)处的切线方程 (2)在(1)中的切线与曲线 C 是否还有其它公共点? [解析] (1)∵y′=3x2 即 3x-y-2=0
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∴切线斜率 k=3

∴切线方程 y-1=3(x-1)

? ?3x-y-2=0 (2)由? ∴(x-1)(x2+x-2)=0∴x1=1 x2=-2 3 ?y=x ?

∴公共点为(1,1)及(-2,-8) 16.求下列函数的导数 (1)y=lnx 1 (2)y= 4 x


1 5 (3)y= x3[答案] (1)y′=(lnx)′= x
-4-1

(2)y′=(x 4)′=-4· x

4 - =-4· x 5=- 5 x

17.已知点 P(-1,1),点 Q(2,4)是曲线 y=x2 上两点,求与直线 PQ 平行的曲线 y=x2 的 切线方程. [解析] ∵y′=(x2)′=2x,设切点为 M(x0,y0) 则 y′|x=x0=2x0, 4-1 1 又∵PQ 的斜率为 k= =1,而切线平行于 PQ,∴k=2x0=1,即 x0= .所以切点为 2 2+1 1 1? M? ?2,4?. 1 1 ∴所求切线方程为 y- =x- ,即 4x-4y-1=0. 4 2 π 2 18.求过曲线 y=sinx 上的点 P? , ?且与在这点处的切线垂直的直线方程. ?4 2 ? [解析] ∵y=sinx,∴y′=(sinx)′=cosx.

∴经过这点的切线的斜率为

2 ,从而可知适合题意的直线的斜率为- 2. 2

∴由点斜式得适合题意的直线方程为 y- 2 π =- 2(x- ), 2 4 2 2 - π=0. 2 4

即 2x+y-

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