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广东省高州市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理


高州一中 2015—2016 学年度第二学期期中试 高二数学(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.设集合 u ? ?1,2,3,4? , M ? ?1, 2,3? , N ? ?2,3, 4? ,则 Cu ? M ? N ? ? ( A. ?1, 2? B. ?2,3?
n



C. ?2,4? )
n

D. ?1, 4?

2.已知命题 p : ?n ? N , 2 ? 1000 ,则 ? p 为( A. ?n ? N , 2 ? 1000
n

B. ?n ? N , 2 ? 1000 D. ?n ? N , 2 ? 1000
n

C. ?n ? N , 2 ? 1000
n

3. cos ? A.

? ? 3? ? ?? ? 3 ? ? ? ? ,且 ? ? ? , ? ,则 tan ? ? ( ?2 2 ? ?2 ? 5
4 3
B. ?

) D. ?

4 3

C.

3 4

3 4


4.随机地从区间 ?0,1? 任取两个数,分别记为 x , y ,则 x 2 ? y 2 ? 1的概率 p 为( A.

1 4

B.

1 2

C. 1 ?

? 4

D.

? 4


5. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0? 的一条渐近线方程为 3x ? 4 y ? 0 , 则双曲线离心率 e 等于 ( a 2 b2
B.

A.

5 4

5 3

C.

4 3

D.

4 5


?y ? x ? 6.已知实数 x 、 y 满足 ? x ? y ? 1 则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为( ? y ? ?1 ?
A.-3
5

B.5

C.2 )

D.6

2? ? 7. ? x 2 ? 3 ? 展开式中的常数项为( x ? ?
A.80 C.-40 B.-80 D.40

8.某程序框图如图所示,若 a ? 3 ,则该 程序运行后,输出的 x 值为( A.33 B.29
1



C.31

D.27

9.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为 1 的正方形,如图所示,则它的体积为( )

1 6 1 B. 3 2 C. 3 5 D. 6
A.

10.已知向量 a ? ? ?3, 4 ? , b ? ?1, m ? ,若 a ? a ? b , m ? ( A.

?

?

?

?

? ?

?



11 2

B.7

C.-7

D. ?

11 2

11.已知动圆的圆心在抛物线 y ? A. ? 0,3? 12.已知函数 f ? x ? ? ? B. ? 0, 2 ?

1 2 x 上,且与直线 y ? ?3 相切,则此圆恒过定点( ) 12
C.

? 0, ?3?

D. ? 0, 6 ?

?
12 x

, g ? x ? ? x cos x ? sin x ,当 x ?? ?3? ,3? ? 时,方程 ) D.2

f ? x ? ? g ? x ? 的根的个数是(
A.8 B.6 C.4

二、填空(每小题 5 分,共 20 分) 13.曲线 f ? x ? ? ln x ? 2x 在点 ?1, 2 ? 处的切线方程为 。

14.有 4 名优秀学生 A 、 B 、 C 、 D 全部被保送到中大、华工、广工 3 所学校,每所学校至少去 1 名, 则不同的保送方案共 种。 。

15.函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期为

16.已知点 O 为坐标原点,点 M 在双曲线 c : x2 ? y 2 ? 1 上,过点 M 作双曲线 c 的某一条渐近线的垂线, 垂足为 N ,则 ON ? MN 的值为 三、解答题(共 70 分) 。

C 所对的边分别为 a 、 b 、c 且 b ? c ? a ? bc 17. (10 分) 已知顶点在单位圆上的 ?ABC 中, 角 A 、B 、
2 2 2

⑴求角 A 的大小; ⑵若 b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积。
2 2

2

18. (12 分) 某班 50 位学生期中考试数学的成绩频率分布直方图如图所示, 其中成绩分组区间是 ? 40,50? ,

?50,60? , ?60,70? , ?70,80? , ?80,90? , ?90,100?
(Ⅰ)求图中 x 的值; (Ⅱ)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人, 该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数 记为 ? ,求 ? 的数学期望。

19. (12 分)如图,已知四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 是菱形, PA ? 底面 ABCD , ?ABC ? 60? ,

PA ? AB ? 2 , E 、 F 分别为 BC 、 PC 的中点。
(Ⅰ)求证 AE ? PD ; (Ⅱ)求二面角 E ? AF ? C 的余弦值。

3

20. (12 分)设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a1 ? 2 , an?1 ? Sn ? 2 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? ? 2n ? 1? ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。

3 x2 y 2 21. (12 分)设椭圆 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 过点 ? 0, 4 ? ,离心率 , 5 a b
⑴求 c 的方程; ⑵求过 ? 3,0 ? 且斜率

4 的直线 c 所截线段的中点坐标。 5

22. (12 分)已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? ax ? 4 ? a ? 0 ? 3

(Ⅰ)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)若对于任意的 a ??1, 4? ,都存在 x0 ?? 2,3? ,使得不等式 f ? x0 ? ? e ? 2a ? m 成立,求 m 的
a

取值范围。

4

高州一中 2015—2016 学年度第二学期期中试 高二数学(理科)参考答案

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 D 5 A 6 B 7 D 8 C 9 D 10 B 11 A 12 B

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、 3x ? y ? 1 ? 0 三、解答题 17、 (Ⅰ)由 b ? c ? a ? bc 得 b ? c ? a ? bc ,
2 2 2 2 2 2

14、36

15、 2?

1 6、

1 2

b2 ? c 2 ? a 2 1 cos A ? ? 2bc 2
…………4 分 …………5 分 …………6 分

又∵ 0 ? A ? ? (Ⅱ)由

∴ A ? 60?

a ? 2 得 a ? 2sin A ? 3 sin A
2 2 2

由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A

? 3?

2

? b 2 ? c 2 ? 2bc cos 60? ? 3 ? 4 ? 2bc ?
…………8 分

1 2

∴ bc ? 1 ∴ S?ABC ?

1 1 3 bc sin A ? ?1? sin 60? ? 2 2 4

…………10 分

18、 (Ⅰ)由 ? 0.006 ? 3 ? 0.01 ? x ? 0.054? ?10 ? 1 解得 x ? 0.018 …………4 分

(Ⅱ)成绩不低于 80 分的学生人数有 50 ? ? 0.018 ? 0.006? ?10 ? 12 人 ………5 分 成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数有 50 ? 0.006 ?10 ? 3 人 随机变量 ? 的可能取值为 0、1、2 ………6 分 ………7 分
1 1 C3 ? C9 9 ? 2 C12 22

P ?? ? 0 ? ?

C92 6 ? 2 C12 11

P ?? ? 1? ?

C32 1 P ?? ? 2 ? ? 2 ? C12 22

?

0

1

2

5

所以 ? 的分布列为

P

6 11

9 22

1 22

…………10 分 所以 ? 的数学期望 E? ? 0 ?

6 9 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 11 22 22 2

…………12 分

19、 (Ⅰ)证明:∵ PA ? 底面 ABCD , AE ? 底面 ABCD , ∴ AE ? PA …………1 分

∵四边形 ABCD 是菱形,且 ?ABC ? 60? , ∴ ?ABC 为等边三角形,又 E 是 BC 中点, 则 AE ? BC ,由 BC ∥ AD ,得 AE ? AD . …………3 分 又∵ PA ? AE ? A , ∴ AE ? 平面 PAD ,又 PD ? 平面 PAD ,∴ AE ? PD . …………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 AE , AD , AP 两两垂直,以 A 为坐标原点, 以 AE , AD , AP 所在直线为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系 ,如图.

A? 0,0,0? , E
∴ AE ?

?

3, 0, 0 , C

?

?

? 3 1 ? 3,1, 0 , F ? ? 2 , 2 ,1? ?, ? ?

?

??? ?

?

???? 3, 0, 0 , AC ?

?

?

??? ? ? 3 1 ? 3,1, 0 , AF ? ? ? 2 , 2 ,1? ? ? ?

?

……… …7 分

??? ? ?? ? AE ? n ? 0, ?? ? 1 设平面 EAF 的法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? ,则 ? ???? ?? ? ? AF ? n1 ? 0,

? 3x1 ? 0, ? 即? 3 . 1 x1 ? y1 ? z1 ? 0, ? ? 2 2
令 z1 ? 1,可得 n1 ? ? 0, ?2,1? …………9 分

??? ? ?? ? ? AE ? n ? 0, ?? ? ? 2 设平面 ACF 的法向量为 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则 ? ??? ? ?? ? ? ? AF ? n2 ? 0,

6

? 3 x2 ? y2 ? 0, ? 即? 3 1 x2 ? y2 ? z2 ? 0, ? ? 2 2 ?? ? 令 x2 ? 3 ,可得 n2 ? 3, ?3, 0

?

?

………………11 分

?? ?? ? n1 ? n2 6 15 ? 设二面角 E ? AF ? C 的平面角为 ? ,则 cos ? ? ?? ?? ? ? 5 5 ?2 3 n1 ? n2
又由图可知 ? 为锐角,所以二面角 E ? AF ? C 的余弦值为 20、解:当 n ? 2 时, an?1 ? Sn ? 2 得 an ? Sn?1 ? 2 两式相减得 an?1 ? an ? an ∴ an?1 ? 2an ∴ …………1 分 …………2 分

15 5

……12 分

an ?1 ?2 an a2 ?2 a1

…………3 分

当 n ? 1 , a1 ? 2 , a2 ? S1 ? 2 ? 4 ,

…………4 分

∴ ?an ? 以 a1 ? 2 为首项,公比为 2 的等比数列 ∴ an ? 2 ? 2n?1 ? 2n …………6 分

n (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? ? 2n ? 1? ? 2

∴ Tn ? 1? 2 ? 3? 2 ? 5 ? 2 ? ?? ? 2n ?1? ? 2
2 3

n

① ②

……… …7 分 …………8 分

2Tn ? 1? 22 ? 3? 23 ? 5 ? 23 ? ?? ? 2n ?1? ? 2n?1
①—②得

?Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? 2 ? 2 n ? ? 2n ? 1? ? 2 n ?1 ? 2 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? ? ? 2n ? 1? ? 2n ?1

…………9 分

? 2 ? 2?

4 ?1 ? 2n?1 ? 1? 2

? ? 2n ? 1? ? 2n?1

…………10 分 …………11 分 …………12 分
7

? ?6 ? 2n?1 ?3 ? 2n?
n ?1 ∴ Tn ? 6 ? ? 2n ? 3? ? 2

21、解:⑴将点 ? 0, 4 ? 代入 C 的方程得 又∵ e ?

16 ?1 b2

∴b ? 4

…………3 分

c 3 a 2 ? b2 9 ? 得 即 ? a 5 a2 25
∴a ? 5 …………5 分

1?

16 9 ? a 2 25

∴ C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 25 16
4 4 的直线方程为 y ? ? x ? 3 ? 5 5

…………6 分

⑵过点 ? 3,0 ? 且斜率为

…………7 分

设直线与 C 的交点为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 将直线方程 y ?
2

4 ? x ? 3? 代入 C 的方程 5
…………9 分 …………10 分

x2 ? x ? 3? 得 ? ? 1 即 x 2 ? 3x ? 8 ? 0 25 25
∴ x1 ? x2 ? 3 ∴ AB 的中点坐标 x ?

y?

y1 ? y2 4 12 ? ? x1 ? x2 ? 6 ? ? ? 2 5 5

x1 ? x2 3 ? 2 2

…………11 分

即所截线段的中点坐标 ? , ?
2 22、解: (Ⅰ) f ? ? x ? ? x ? a ? x ? a

?3 ?2

12 ? ? 5?

………… 12 分

?

?? x ? a ?
a

…………2 分 …………3 分 …………4 分

令 f ? ? x? ? 0 , x ?

a或x?? a

令 f ? ? x? ? 0 , ? a ? x ?

∴ f ? x ? 的单调增区间 ??, ? a 和

?

? ?

a , ?? ,单调成区间
…………5 分

?

??

a, a

?

(Ⅱ) a ??1, 4? , a ? ?1, 2? 由(Ⅰ)知 f ? x ? 在 ? 2,3? 上单调递增 ∴ f ? x ?max ? f ?3? ? 13 ? 3a ∵存在 x0 ?? 2,3? 使 f ? x0 ? ? e ? 2a ? m 成立
a

…………6 分

∴对 a ??1, 4? 不等式 13 ? 3a ? e ? 2a ? m 都成立
a

…………7 分
8

即 e ? a ? 13 ? m 恒成立,记 g ? a ? ? ea ? a ?13
a

∵ a ??1, 4?

g? ? a ? ? ea ?1 ? e ?1 ? 0
∴ g ? a ? 在 ?1, 4? 内递增 ∴ g ? a ? ? g ?1? ? e ? 12 即 g ? a ?min ? e ? 12 ∴ m ? e ? 12 即 min 取值范围 ? ??, e ? 12?

…………9 分

…………10 分

…………11 分 … ………12 分

9


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