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高二理科数学大题训练


高二理科数学大题训练
1.( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 △ ABC 中 , 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a、b、c, 已 知

a ? b ? 2, c ? 4 , sin A ? 2sin B .
(1)求△ABC 的面积; (2)求 tan( A ? B) . .

2.(本小题满分12分) 如图所示,某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损, 其中,频率分布直方图的分组区间分别为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90, 100),据此解答如下问题. (1)求全班人数及分数在[80,100]之间的频率; (2)现从分数在[80,100]之间的试卷中任取 3 份分析学生失分情况,设抽取的试卷分数 在[90,100]的份数为 X ,求 X 的分布列和数学望期.

3. (本小题满分 14 分) 已知如图 1 所示的四边形 ABCD 中,DA⊥AB,点 E 为 AD 中点,AD=EC=2AB= 2 BC=2,现将四边形沿 CE 翻折, 使得平面 CDE 与平面 ABCE 所成的二面角为 ? ( 0 ? ? ?

?
3

) ,

连结 DA,DB,BE 得到如图 2 所示的四棱锥 D-ABCE. (1)证明:平面 DAE⊥平面 ABCE; (2)记四棱锥 D-ABCE 的体积为 V ,当 V 取得最大值时,求 DB 与平面 ABCE 所成角 的正弦值.

1

4.(本小题满分 14 分) 已知点 F , 0), F2 (1,0), 1 (?1 与

F2 : ( x ?1)2 ? y2 ? 1 ,一动圆在 y 轴右侧与 y 轴相切,同时

F2 相外切,设动圆的圆心轨迹为曲线 T.

(1)求曲线 T 的方程; (2)设 C、D 是曲线 T 上位于 x 轴上方的两点,分别过 C、D 作曲线 T 的切线,两条 切线交于点 P,且分别与 x 轴交于点 B、A,AC 与 BD 交于点 E,作 EF⊥x 轴于点 F,试 探究 P、E、F 三点是否共线?

5.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ? kx ? b ,其中 k , b 为实数且 k ? 0 . | x?2|

(1)当 k ? 0 时,根据定义证明函数 y ? f ( x) 在 (??, ?2) 上单调递增; (2)若 k 为常数,函数 y ? f ( x) 有三个不同的零点,求 b 的取值范围.

6.(本小题满分 14 分)

x 3 +3 x 已知函数 f ( x) ? 2 ,数列 ?xn ? 满足 x1 ? 2 , xn?1 ? f ( xn ) (n ? N ? ) ,记 3x ? 1

yn ? log3 (

xn?1 ? 1 ). xn?1 ? 1

(1)求 y1 的值; (2)求数列 { yn } 的通项公式; (3)证明:对 ?n ? N , (1 ?
?

1 1 )(1 ? ) y1 y2

(1 ?

1 )?2. yn

2

高二理科数学训练 2
1.某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况, 随机在这两条流水线上各抽 取 40 件产品作为样本称出它们的重量 (单位: 克) , 重量值落在 (495,510] 的产品为合格品, 否则为不合格品.表 1 是甲流水线样本频数分布表,图1是乙流水线样本的频率分布直方 图.
频率/组距

产品重量(克)

频数 6 8 14 8 4

0.09 0.08

(49 0,49 5] (49 5,50 0] (50 0,50 5] (50 5,51 0] (51 0,51 5]

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

490 495 500 505 510

515

(重量/ 克)

表1: (甲流水线样本频数分布表)图 1: (乙流水线样本频率分布直方图) (1)根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图; (2)若以频率作为概率,试估计从乙流水线上任取 5 件产品,恰有 3 件产品为合格品 的概率; (3)由以上统计数据完成下面 2 ? 2 列联表,并回答有多大的把握认为“产品的包装质 量与两条自动包装流水线的选择有关” .
甲流水线 合格品 不合格品 合 计 乙流水线 合计

a?
c?

b?

d?

n?
0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

p( K ? k )

2

k

附:下面的临界值表供参考: (参考公式: K ?
2

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

3

2.已知如图 1 所示的四边形 ABCD 中,DA⊥AB, 点 E 为 AD 中点,AD=EC=2AB= 2 BC=2,现将四 边形沿 CE 翻折,使得平面 CDE⊥平面 ABCE,连结 DA,DB,BE 得到如图 2 所示的四棱锥 D-ABCE. (1)证明:平面 BDE⊥平面 BDC; (2)已知点 F 为侧棱 DC 上的点,若 DF ? 求二面角 F-BE-D 的余弦值.

1 DC , 5

3. 已知数列 {an } 的首项 a1 ? 4 ,前 n 项和为 Sn ,且 Sn?1 ? 3Sn ? 2n ? 4 ? 0(n ? N ? ) . (1)求数列 {an } 的通项公式; ( 2 ) 设 函 数 f ( x) ? an x ? an?1x2 ?

? a1xn , f '( x) 是 函 数 f ( x) 的 导 函 数 , 令

bn ? f '(1) ,试探究数列 {bn } 是否存在最小值项?若存在,求出该项,若不存在,说明理由.

4. 已知点 F , 0), F2 (1,0), 1 (?1 时与

一动圆在 y 轴右侧与 y 轴相切, 同 F2 : ( x ?1)2 ? y2 ? 1 ,

F2 相外切,设动圆的圆心轨迹为曲线 C,曲线 E 是以 F1、F2 为焦点的椭圆.
(1)求曲线 C 的方程; (2) 记曲线 C 与曲线 E 在第一象限内的交点为 P, 且 | PF1 |?

7 , 求曲线 E 的标准方程; 3

(3)定义:连结椭圆上任意两点所成的线段叫做椭圆的弦.过椭圆 E 的右焦点 F2 作两 条互相垂直的弦 AB、 GH, 设 AB、 GH 的中点分别为 M、 N, 试探究直线 MN 是否过定点? 若过定点,求出该定点的坐标,若不过定点,说明理由.

5. 已知函数 f ( x) ? a ln x ?

x2 ? (a ? 1) x, a ? R. 2

(1)当 a ? ?1 时,求函数 f (x)的最小值; (2)当 a ? 1 时,讨论函数 f (x)的零点个数.

4

高二理科数学答题训练 1 参考答案
16.解: (1)解法 1:由 sinA=2sinB,根据正弦定理得 a ? 2b , 又∵ a ? b ? 2, ∴ a ? 4 ,b ? 2 ,

由余弦定理得 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 16 ? 16 ? 4 7 ? ? ? 0, 2ac 2? 4? 4 8

sin B ? 1 ? cos 2 B ?

15 , 8

∴S△ABC=

1 1 15 ac sin B ? ? 4 ? 4 ? ? 15 . 2 2 8
∴ a ? 4 ,b ? 2 ,

解法 2:由 sinA=2sinB,根据正弦定理得 a ? 2b , 又∵ a ? b ? 2,

∵ a ? c ? 4 ,∴△ABC 为等腰三角形,作底边 AC 的高 BD,D 为垂足,则 D 也是 AC 的中点, ∴ BD ? ∴S△ABC= (2) ∵ cos A ?

b AB 2 ? AD2 ? c2 ? ( )2 ? 16 ?1 ? 15 , 2
1 1 AC ? BD ? ? 2 ? 15 ? 15 . 2 2
1 1 15 ? 0 ,∴ sin A ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? , ? 4 16 4

∴ sin B ?

? 1 15 sin A ? ,∵ b ? c ,∴ B ? C ,∴ 0 ? B ? , 2 2 8
2

∴ cos B ? 1 ? sin B ? 1 ?

15 7 ? , 64 8

15 15 sin A sin B 15 ∴ tan A ? , ? 4 ? 15 , tan B ? ? 8 ? 1 7 cos A cos B 7 4 8
tan A ? tan B ? ∴ tan( A ? B) ? 1 ? tan A tan B

15 3 15 7 ? . 11 15 1 ? 15 ? 7 15 ?

17.解: (1)由茎叶图知分数在 [50,60) 的人数为 4, [60,70) 人数为 8, [70,80) 人数为 10,
5

4 ? 32 , 0.00125 ?10 ∴分数在[80,100]的人数为: 32 ? 4 ? 8 ? 10 ? 10 , 10 5 ? ; ∴频率为 32 16
故总人数为 (2)∵分数在 [80,90) 的人数为 6,分数在 [90,100] 的人数为 4, ∴X 的可能取值为:0,1,2,3 ∵ P( X ? 0) ?
3 2 1 C6 C6 C6 1 1 , ? P ( X ? 1) ? ? , 3 3 C10 6 C10 2

P( X ? 2) ?

4 1 3 C6 C6 3 C4 1 , ? P ( X ? 3) ? ? , 3 3 C10 10 C10 30

∴ X 的分布列为:

X

0

1

2

3

P( X )

1 6

1 2

3 10

1 30

数学期望 EX ? 0 ?

1 1 3 1 6 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 6 2 10 30 5

18.解: (1)证明:在图 1 中连结 BE,∵AB=AE=1,DA⊥AB, ∴△EAB 为等腰直角三角形, ∴BE= 2 ,又 BC= 2 ,CE=2,∴△BCE 是等腰直角三角形, ∴BC⊥BE,∠AEC=∠AEB+∠BEC=90°, ∴CE⊥AD, 在图2中,∵CE⊥DE,CE⊥AE,DE∩AE=E, ∴EC⊥平面ADE,又EC ? 平面ABCD, ∴平面DAE⊥平面ABCE. (2)由(1)知∠DEA 为平面 CDE 与平面 ABCE 所成的二面角的平面角,即∠DEA= ? ,在平面ADE内过点D作 DO⊥AE于O,∵平面DAE⊥平面ABCE,且平面DAE∩平面ABCE=AE, ∴DO⊥平面ABCE,连结BO,在∠OBD为DB与平面ABCE所成的角, 在Rt△DOE中,DO=sin ? , ∴V ?

S梯形ABCE ?

? 1 3 1 ? ] ? sin ?? s? i n,∵ 0 ? ? ? ,且 s i nx 在 ( 0 , 上单调递增, 3 3 2 2 3

1 3 ( AB ? CE ) AE ? , 2 2

∴当 ? ?

?

3

时, V 取得最大值,这时△ADE为等边三角形,

∴O为AE的中点,∴DO=

3 , 2

由(1)易知AB⊥AD,∴DB= 2 ,
6

∴ sin ?OBD ?

OD 3 6 . ? ? DB 2 2 4

19.解: (1)设动圆圆心为 G( x, y ) ( x ? 0) , ∵

G 在 y 轴右侧与 y 轴相切,同时与 F2 相外切,

2 2 ∴ | GF2 | ? x ? 1 ,从而 ( x ? 1) ? y ? x ? 1 ,

整理得曲线 T 的方程为: y 2 ? 4x( x ? 0) . (2)设 P( x0 , y0 ), C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) , 由 y 2 ? 4x( x ? 0) 得当 y ? 0 时, y ? 2 x , ∴ y'?

1 , x

∴切线 CB 的方程为: y ? y1 ?

2 1 ( x ? x1 ) ,即 y ? ( x ? x1 ) ,----------① y1 x1 2 1 ( x ? x2 ) ,即 y ? ( x ? x2 ) ,---------② y2 x2

切线 DA 的方程为: y ? y2 ?

∴B 点的坐标为 (? x1 , 0) ,A 点的坐标为 (? x2 ,0) , ∴直线 AC 的方程为: y ?

y1 ( x ? x2 ) ,----------------③ x1 ? x2

直线 BD 的方程为: y ?

y2 ( x ? x1 ) ,------------------④ x1 ? x2

∵点 P 为切线 BC、AD 的交点,∴点 P 的坐标满足方程①、②, 即 y0 ?

2 2 1 1 ( x0 ? x1 ) , y0 ? ( x0 ? x2 ) ? ( x0 ? x1 ) ? ( x0 ? x2 ) ,-----⑤ y1 y2 y1 y2 x1 y2 ? x2 y1 ,由⑤得 x1 y2 ? x2 y1 ? x0 ( y1 ? y2 ) , y1 ? y2

又③④联立消去 y 得 x ?

∴ x ? x0 ,即点 E 的横坐标为 x0 ,与点 P、F 的横坐标相同, ∴P、E、F 三点共线. 20.解: (1)证明:当 x ? (??, ?2) 时, f ( x) ? ?

1 ? kx ? b x?2

7

设 x1 ? x2 ? ?2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (?

1 1 ? kx1 ? b) ? (? ? kx2 ? b) x1 ? 2 x2 ? 2 1 1 ? ) x1 ? 2 x2 ? 2

? k ( x1 ? x2 ) ? (

? k ( x1 ? x2 ) ?

x2 ? x1 1 ? ( x1 ? x2 )[k ? ] ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ( x1 ? 2)( x2 ? 2) 1 ? 0 ,又 k ? 0 , ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

∵ x1 ? x2 ? ?2 ∴ x1 ? x2 ? 0 ,

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ∴当 k ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (??, ?2) 上单调递增. (2)函数 y ? f ( x) 有三个不同的零点,即方程 根. 方程( ? )等价于: ?
2

1 ? kx ? b ? 0 ( ? )有三个不同的实 | x?2|

? x ? ?2, ?kx ? (2k ? b) x ? (2b ? 1) ? 0.
2
2

或?

? x ? ?2,
2 ?kx ? (2k ? b) x ? (2b ? 1) ? 0.

记 g ( x) ? kx ? (2k ? b) x ? (2b ? 1) , p( x) ? kx ? (2k ? b) x ? (2b ?1) , ①当 k ? 0 时,函数 y ? g ( x), y ? p( x) 的图象均是开口向上的抛物线, 由 p(?2) ? ?1 ? 0 知 y ? p( x) 在 (??, ?2) 有唯一零点, 故为满足函数 y ? f ( x) 有三个零点,函数 y ? g ( x) 在 (?2, ??) 应有两个不同零点.

? ? p (?2) ? 0, ? 2 函数 y ? g ( x) 在 (?2, ??) 有两个不同零点须满足: ?(2k ? b) ? 4k (2b ? 1) ? 0, ? 2k ? b ?? ? ?2. ? 2k
?(b ? 2k ) 2 ? 4k , ? ? ?b ? 2k , ? b ? 2k ? 2 k . ?k ? 0 ?
②当 k ? 0 时,函数 y ? g ( x), y ? p( x) 的图象均是开口向下的抛物线,
8

由 g (?2) ? 1 ? 0 知 y ? g ( x) 在 (?2, ??) 有唯一零点,故为满足函数 y ? f ( x) 有三个零点, 函数 y ? p( x) 在 (??, ?2) 应有两个不同零点.

? ? p (?2) ? 0, ? 2 函数 y ? p( x) 在 (??, ?2) 有两个不同零点须满足: ?(2k ? b) ? 4k (2b ? 1) ? 0, ? 2k ? b ?? ? ?2. ? 2k
?(b ? 2k ) 2 ? ?4k , ? ? ?b ? 2k , ? b ? 2k ? 2 ? k , ?k ? 0. ?
综合①②可得函数 y ? f ( x) 有三个不同的零点, b ? 2k ? 2 | k | .

x13 ? 3x1 14 21.解: (1)由 x1 ? 2 , xn?1 ? f ( xn ) 得 x2 ? f ( x1 ) ? ? , 3x12 ? 1 13
? y1 ? log3 (
(2)∵

x2 ? 1 1 ) ? log3 ? ?3 . x2 ? 1 27
3 ? xn +3xn ?1 ? 2 3 2 ? xn xn ? 1 3 3xn ? 1 ? ? 3xn ? 3xn ? 1 ? ) , ? log3 ? 3 ? ? log3 ( 3 2 ? xn +3xn xn ? 1 xn ? 3xn ? 3xn ? 1 ? ? ?1 2 3xn ?1 ? ?

? ? xn?1 ? 1 yn ? log3 ( ) = log3 ? ? xn?1 ? 1 ? ?
? 3log3 (

xn ? 1 ) ? 3 yn?1 (n ? 2, n ? N ? ) xn ? 1



yn ? 3 (n ? 2, n ? N ? ) ,所以数列 { yn } 是首项 y1 ? ?3 ,公比为 3 的等比数列, yn ?1

∴ yn ? ?3? 3n?1 ? ?3n . (3)证明:由(2)知 yn ? ?3 ,
n

则 (1 ?

1 1 )(1 ? ) y1 y2
1 3 1 ) 32

(1 ?
(1 ?

1 1 1 ) ? (1 ? )(1 ? 2 ) yn 3 3

(1 ?

1 ), 3n

令 (1 ? )(1 ?

1 ) ? f ( n) 3n

9

1 2 1 ? 2? ? 2? , 3 3 3 n?2 当 时 1 1 1 1 1 3 1 1 5 1 f (2) ? (1 ? )(1 ? 2 ) ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 , 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 ? 由此猜想: f ( n) ? 2 ? n . ( n ? N ) 3
当 n ? 1 时, f (1) ? 1 ? 下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时,猜想成立上面已证;



1 ,则当 n ? k ? 1 时, 3k 1 1 1 1 2 1 f (k ? 1) ? f (k )(1 ? k ?1 ) ? (2 ? k )(1 ? k ?1 ) ? 2 ? k ? k ?1 ? 2 k ?1 3 3 3 3 3 3 1 2 1 ? 2 ? k ? k ?1 ? 2 ? k ?1 , 3 3 3 1 这就是说当 n ? k ? 1 时, f (n) ? 2 ? n 成立, 3 1 ? 综①②得对 ?n ? N , f (n) ? 2 ? n 成立. 3 1 ∵2? n ? 2 3
②假设当 n ? k (k ? 1, k ? N ? ) 时,猜想成立,即 f ( k ) ? 2 ? ∴ ?n ? N , (1 ?
?

1 1 )(1 ? ) y1 y2

(1 ?

1 ) ? 2 成立. yn

高二理科数学大题训练 2 参考答案
1. 解:(1)甲流水线样本的频率分布直方图如下: (2)由图1知,
产品重量(克)
频率/组距

频数 6 8 14 8 4
10

0.09 0.08

(49 0,49 5] (49 5,50 0] (50 0,50 5] (50 5,51 0] (51 0,51 5]

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

490 495 500 505 510

515

(重量/ 克)

乙样本中合格品数为 (0.06 ? 0.09 ? 0.03) ? 5 ? 40 ? 36 , 故合格品的频率为 的概率 P ? 0.9 , 设 ? 为从乙流水线上任取 5 件产品中的合格品数,则 ?
3 ∴ P(? ? 3) ? C5 (0.9)3 (0.1)2 ? 0.0729 .

36 ? 0.9 ,据此可估计从乙流水线上任取一件产品该产品为合格品 40
(5, 0.9)

即从乙流水线上任取 5 件产品,恰有3件产品为合格品的概率为 0.0729 . (3) 2 ? 2 列联表如下:
甲流水线 合格品 不合格品 合 计 乙流水线 合计 66 14

a ? 30 c ? 10
40

b ? 36

d ?4
40

n ? 80

∵K ?
2

n(ad ? bc)2 80 ? (120 ? 360) 2 ? 3.117 ? 2.706 = 66 ?14 ? 40 ? 40 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

∴有 90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关. 2. 解: (1)证明:在图 1 中连结 BE,∵AB=AE=1,DA⊥AB, ∴△EAB 为等腰直角三角形,∴BE= 2 , 又 BC= 2 ,CE=2,∴△BCE 是等腰直角三角形, ∴BC⊥BE,∠AEC=∠AEB+∠BEC=90°, ∴CE⊥AD, 在图 2 中,∵平面 CDE⊥平面 ABCE,平面 CDE∩平面 ABCE=CE, ∴DE⊥平面 ABCE,∵BC ? 平面 ABCE,∴DE⊥BC, 又 DE∩BE=E,∴BC⊥平面 BDE,又 BC ? 平面 BCD, ∴平面 BDE⊥平面 BDC. (2)由(1)知,图 2 中 AE,EC,DE 两两互相垂直,故以点 E 为 坐标原点,AE 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如右图示, 则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),D(0,0,1), ∴ DC ? ( 0 , 2 又 ?, , 1) EB ? ( 1, 1, , 0 ) D F? ∴ EF ? (0,

1 2 4 DC 得 F (0, , ) , 5 5 5

2 4 , ) ,设平面 BEF 的一个法向量为 m ? (a, b, c) , 5 5
11

?a ? b ? 0, ? ?m ? EB ? 0, ? 由? 令 c ? 1 得 b ? ?2, a ? 2 ,即 m ? (2, ?2,1) , ? ?2 4 b ? c ? 0. m ? EF ? 0. ? ? ? 5 ?5
由(1)知 BC ? (?1,1,0) 为平面 BDE 的一个法向量,设所求的二面角的大小为 ? , 则 cos ? ?|

?2 ? 2 2 2 m ? BC |? . | ?| 3 4 ? 4 ?1? 1?1 | m | ? | BC |

即二面角F-BE-D的余弦值为

2 2 . 3

3. 解: (1)由 Sn?1 ? 3Sn ? 2n ? 4 ? 0(n ? N ? ) 得当 n ? 2 时,

Sn ? 3Sn?1 ? 2(n ?1) ? 4 ? 0 ,两式相减得 an?1 ? 3an ? 2 ? 0 ? an?1 ? 1 ? 3(an ? 1) a ?1 ∴ n ?1 ? 3 ,即数列 {an ? 1} 是以 a1 ? 1 为首项,公比为 3 的等比数列 an ? 1
∴ an ? 1 ? (a1 ? 1)3n?1 , an ? 5 ? 3n?1 ?1 ( n ? N ) (2)由 f '( x) ? an ? 2an?1x ?
?

? na1xn?1 ,得
? n(5 ? 30 ?1)

? na1 ? (5 ? 3n?1 ?1) ? 2(5 ? 3n?2 ?1) ? n(n ? 1) ? 5[3n ?1 ? 2 ? 3n ? 2 ? ? n ? 30 ] ? , 2 n ?1 n?2 0 令 S ? 3 ? 2?3 ? ? n?3 , f '(1) ? an ? 2an?1 ?
则 3S ? 3 ? 2 ? 3
n n ?1

?

? n ? 3 ,作差得 2S ? 3n ? 3n ?1 ?

?3? n ?

3(3n ? 1) ?n, 2

3n ?1 ? 3 n ? , 4 2 5 ? 3n ?1 ? 15 n(n ? 6) ? 故 f '(1) ? , 4 2 5 ? 3n ?1 ? 15 n(n ? 6) ? 即 bn ? . 4 2 5 ? 3n? 2 ? 15 (n ? 1)(n ? 7) 15 ? 3n 7 ? ?n? 则 bn ?1 ? ,从而 bn ?1 ? bn ? 4 2 2 2 n 15 ? 3 7 ? ? n ? ? 0 ,即 15 ? 3n ? 2n ? 7 以下证明对 ?n ? N 有 2 2 ①当 n ? 1 时,该不等式显然成立, k ? ②假设当 n ? k (k ? 1, k ? N ) 时,不等式成立,即 15 ? 3 ? 2k ? 7 , k ?1 则 15 ? 3 ? 3(2k ? 7) ? 2(k ? 1) ? 7 ,即当 n ? k ? 1 时,该不等式成立. S?
即对 ?n ? N 有 列,
?

15 ? 3n 7 ? n ? ? 0 ,∴对 ?n ? N ? 有 bn?1 ? bn ,即数列 {bn } 是递增数 2 2

12

∴数列 {bn } 存在最小值项,该项为数列的首项 b1 ? 4 . 4. 解: (1)设动圆圆心为 D( x, y) ( x ? 0) , ∵

D 在 y 轴右侧与 y 轴相切,同时与 F2 相外切,

2 2 ∴ | DF2 | ? x ? 1,从而 ( x ? 1) ? y ? x ? 1 ,

整理得曲线 C 的方程为: y 2 ? 4x( x ? 0) . (2)由曲线 E 为椭圆知, c ? 1 ,设 P( xP , yP ) ,依题意得:

2 ? xP ? , 49 ? 2 2 ? 3 ? ?( xP ? 1) ? yP ? , 9 解得 ? ? ?y ? 2 6 . ? y2 ? 4x . ? P P P ? 3 ?
于是 | PF2 |? ( ? 1)2 ? (

2 3

2 6 2 5 ) ? , 3 3
7 5 ? ? 4 ,∴ a ? 2 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 , 3 3

由椭圆的定义得 2a ?| PF1 | ? | PF2 |?

∴曲线 E 的标准方程为 (3)由题意知 F2 (1 , 0) ,

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

①当 AB、GH 的斜率存在时,设 AB 的斜率为 k ,则 GH 的斜率为 ?

1 , k

x2 y 2 ? ? 1 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 , 则 lAB : y ? k ( x ?1) 代入椭圆方程 4 3
故 xM ?

?3k x A ? xB 4k 2 ? , yM ? k ( xM ? 1) ? , 2 3 ? 4k 2 2 3 ? 4k

于是 M (

4k 2 ?3k , ), 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
1 4 3k , 2 ). ,即得点 N 的坐标为 ( 2 k 3k ? 4 3k ? 4

∵AB⊥GH,∴将点 M 坐标中的 k 换成 ?

当 k ? ?1 时, kMN

3k ?3k ? 2 2 7k , ? 3k ? 4 3 ? 42k ? 4 4k 4(1 ? k 2 ) ? 3k 2 ? 4 3 ? 4k 2
13

此时 lMN : y ?

3k 7k 4 ? (x ? 2 ), 2 2 3k ? 4 4(1 ? k ) 3k ? 4 7k 4 (x ? ) , 2 4(1 ? k ) 7
4 7

整理得: y ?

可知直线 MN 过定点 ( ,0) . 当 k ? ?1 时,易得直线 MN 的方程为 x ?

4 4 ,也过点 ( ,0) 7 7 4 7

②当弦 AB 或 GH 的斜率不存在时,易知直线 MN 为 x 轴,也过点 ( , 0) , 综上得直线 MN 过定点 ( ,0) . 5. 解: (1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ? ln x ?

4 7

x2 1 x2 ?1 ,x ? 0, ,则 f '( x) ? ? ? x ? 2 x x

当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上单调递增,

0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0,1) 上单调递减,
∴当 x ? 1 时,函数 f ( x ) 有最小值, f ( x) min ? f (1) ? (2)∵ f '( x) ?

1 . 2

a x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? 1)( x ? a ) ? ,x ?0 ? x ? (a ? 1) ? x x x

①若 a ? 0 时, 当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递减, 当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上单调递增, ∴ f ( x) min ? f (1) ? 当a ? ?

1 1 ? a ?1 ? ? ? a , 2 2

1 时, f ( x)min ? 0 ,函数 f ( x ) 零点个数为0; 2 1 当 a ? ? 时,函数 f ( x ) 零点个数为1. 2 1 当 ? ? a ? 0 时, f ( x)min ? 0 ,且 2

e2 e2 e2 f (e) ? a ? ? (a ? 1)e ? ? e ? a(1 ? e) ? ? e ? 0 , 2 2 2
? 又对于任意的 k (k ? N ) , f (e ) ? ?ka ? (a ? 1)e
?k ?k

?

e?2 k ,取自然数 k ,使 2

14

?ka ? (a ? 1)e? k ? 0 ,即使 ke k ?
2. 当 a ? 0 时, f ( x) ?

a ?1 ,则 f (e? k ) ? 0 ,∴此时函数 f ( x ) 零点个数为 ?a

x2 ? x, ∵ x ? 0 ,∴此时函数 f ( x) 零点个数为1. 2

②若 0 ? a ? 1 ,则当 0 ? x ? a 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (0, a ) 上单调递增, 当 a ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (a,1) 上单调递减, 当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上单调递增, ∴函数当 x ? a 时,函数 f ( x ) 有极大值,当 x ? 1 时,函数有极小值,

f ( x)极大 =f (a) ? a ln a ?

1 a2 ? a ? 0 , f ( x)极小 =f (1) ? ? a ? 1 ? 0 ; 2 2

f (e 2 ) ? 2 a ?

e4 e2 ? (a ? 1)e2 ? 2a ? (e2 ? 2a ? 2) ? 0 , 2 2

∴此时函数 f ( x ) 零点个数为1. ③若 a ? 1 ,则对 ?x ? (0, ??) 都有 f '( x) ? 调递增, 又 f (e ) ? 2 ?
2

( x ? 1) 2 ? 0 ,即函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单 x

e4 e2 ? 2e2 ? 2 ? (e2 ? 4) ? 0 , 2 2

e?1 e?1 ?1 ?1 f (e ) ? ?1 ? ? 2e ? ?1 ? (e ? 4) ? 0 , 2 2
?1

∴此时函数 f ( x ) 零点个数为1. 综上所述:当 a ? ?

1 时,函数 f ( x ) 零点个数为0; 2 1 当 a ? ? 时,函数 f ( x ) 零点个数为1; 2 1 当 ? ? a ? 0 时,函数 f ( x ) 零点个数为2; 2
当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x ) 零点个数为1.

15


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