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第一节 平面向量基本概念


第四章
第一节
一、向量的有关概念

平面向量

平面向量的基本概念及线性运算

1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或模). 2.零向量:长度为 0 的向量,其方向是任意的. 3.单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 4.平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定:0 与任一向量平行. 5.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 6.相反向量:长度相等且方向相反的向量. 二、向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律

(1)交换律:a+b=b+ 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c) 平行四边形法则 求 a 与 b 的相反向量 减法 -b 的和的运算叫做 a 与 b 的差 三角形法则 (1)|λa|=|λ||a|; 数乘 求实数 λ 与向量 a 的 积的运算 (2)当 λ>0 时,λa 的方向 与 a 的方向相同;当 λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向 相反;当 λ=0 时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb a-b=a+(-b)

向量加减法运算的两个关键点: 加法的三角形法则关键是“首尾相接,指向终点”,并可推广为多个向量相加的“多边形法则”; 减法的三角形法则关键是“起点重合,指向被减向量”. 三、平面向量共线定理 向量 b 与 a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数 λ,使得 b=λa. → → → 巧用系数判共线:OA=λOB+μOC(λ,μ∈R),若 A,B,C 三点共线,则 λ+μ=1;反之,也成立. → → → → 1.化简OP-QP+MS+QM的结果为(

)
1

→ A.OM

→ B.SM

→ C.PS )

→ D.OS B.平面内的单位向量有且仅有一个

2.下列给出的命题正确的是( A.零向量是唯一没有方向的向量 D.相等的向量必是共线向量

C.a 与 b 是共线向量,b 与 c 是平行向量,则 a 与 c 是方向相同的向量 → → → 3.设 a,b 为不共线向量,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则下列关系式中正确的是 ( ) → → A.AD=BC → → B.AD=2BC → → C.AD=-BC → → D.AD=-2BC )

4.已知 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+λb 与-(b-3a)共线,则 λ 的值为( 1 1 A.1 B.-1 C. D.- 3 3

a b 5.(2012· 四川)设 a、b 都是非零向量,下列四个条件中,使 = 成立的充分条件是( |a| |b| A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b 且|a|=|b|

)

→ → → 6. (2013· 四川)在平行四边形 ABCD 中, 对角线 AC 与 BD 交于点 O, AB+AD=λAO, 则 λ=_______.

考向一 [071] 平面向量的有关概念 给出下列四个命题: → → ①若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b;②若AB=DC,则四边形 ABCD 为平行四边形; ③若 a 与 b 同向,且|a|>|b|,则 a>b;④λ,μ 为实数,若 λa=μb,则 a 与 b 共线. 其中假命题的个数为( A.1 B.2 ) C.3 D.4

规律方法 1 1.?1?易忽视零向量这一特殊向量,误认为④是正确的;?2?充分利用反例进行否定是对 向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法. 2.准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键.?1?相等向量具有传递性, 非零向量平行也具有传 递性.?2?共线向量?平行向量?和相等向量均与向量的起点无关. 3.“向量”和“有向线段”是两个不同的概念,向量只有两个要素:大小、方向;而有向线段有三 个要素:起点、方向、长度. 对点训练 给出下列四个命题:①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;②若 a=b,b=c, 则 a=c;③若 a∥b,b∥c,则 a∥c;④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b.其中假命题的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 考向二 [072] 平面向量的线性运算 → → → 1→ → (1)在△ABC 中,若 D 是 AB 边上一点,且AD=2DB,CD= CA+λCB,则 λ=( 3 2 A. 3 1 B. 3 C.- 1 3 2 D.- 3 ) )

)

→ → → (2)若 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边中点,且 2OA+OB+OC=0,那么( → → A.AO=OD → → B.AO=2OD → → C.AO=3OD → → D.2AO=OD

2

规律方法 2

→ → → 1.解答本例?1?的关键是利用向量的加法与减法把CD 用CA 、CB 表示出来.解答本例

→ → → ?2?的关键是OB +OC =2OD . 2.进行向量的线性运算时,要尽可能转化到三角形或平行四边形中,选用从同一顶点出发的基本向 量或首尾相连的向量,运用向量加、减法运算及数乘运算来解. 对点训练 → → → → → (1)如图所示,向量OA=a,OB=b,OC=c,A、B、C 在一条直线上,若AC=-3CB,则( 1 3 3 1 A.c=- a+ b B.c= a- b C.c=-a+2b D.c=a+2b 2 2 2 2 → → → → → → (2)若|AB|=|AC|=|AB-AC|=2,则|AB+AC|=________. 考向三 [073] 共线向量定理的应用 设两个非零向量 e1 和 e2 不共线. → → → (1)如果AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,求证:A、C、D 三点共线. → → → (2)如果AB=e1+e2,BC=2e1-3e2,AF=3e1-ke2,且 A、C、F 三点共线,求 k 的值. )

规律方法 3 1.向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是存在唯一实数 λ, 使 b=λa.要注意通常只有非 零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法和方程思想的运用. 2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意当两向量共线且有公共点时,才能得出三点 共线. 对点训练 (1)已知向量 a,b 不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果 c∥d,那么( A.k=1 且 c 与 d 同向 B.k=1 且 c 与 d 反向 ) C.k=-1 且 c 与 d 同向 D.k=-1 且 c 与 d 反向 (2)(2014· 洛阳模拟)对于非零向量 a、b,“a+b=0”是“a∥b”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

易错易误之八 忽视零向量的特殊性致误 ———— [1 个示范例] ———— ) [1 个防错练] ———— (2014· 荆州模拟)下列命题正确的是( → → → B.在△ABC 中,AB+BC+CA=0 C.不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中两个等号不可能同时成立 D.向量 a、b 不共线,则向量 a+b 与向量 a-b 必不共线
3

A.向量 a、b 共线的充要条件是有且仅有一个实数 λ,使 b=λa

【防范措施】

(1)共线向量定理中,b=λa 要求 a≠0,否则 λ 值可能不存在.

(2)向量的加减及数乘运算的结果,仍然是一个向量,而不是一个数. (3)应熟练掌握向量不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|等号成立的条件. 下列说法不正确的有________. ①若 a∥b,则 a 与 b 的方向相同或相反;②若 λa=0,则 λ=0;③相反向量必不相等; ④若 a=e1+λe2,b=2e1,λ∈R,且 λ≠0,则 a∥b 的充要条件是 e2=0.

第四章
第一节

平面向量

平面向量的基本概念及线性运算

1. D 2. D 3. B 4. D 5. C 6. 2 D 对点训练 (1)A (2)A C (1)A (2)2 3

对点训练

→ → → → → 【尝试解答】 (1)AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,∴AC=AB+BC=4e1+e2, → → → → → 又CD=-8e1-2e2,所以CD=-2AC,∴AC与CD共线, → → 又∵AC与CD有公共点 C,∴A、C、D 三点共线. → → → → → (2)∵AB=e1+e2,BC=2e1-3e2,∴AC=AB+BC=3e1-2e2.

4

→ → → → ∵A、C、F 三点共线,∴AC∥AF,从而存在实数 λ,使得AC=λAF. ∴3e1-2e2=3λe1-λke2,又 e1,e2 是不共线的非零向量,
? ?3=3λ, ∴? 因此 k=2.所以实数 k 的值为 2. ?-2=-λk, ?

对点训练

(1)D

(2)A

(2014· 荆州模拟) D. 【防范措施】 ①②③④

第四章
第一节
一、向量的有关概念

平面向量

平面向量的基本概念及线性运算

1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或模). 2.零向量:长度为 0 的向量,其方向是任意的. 3.单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 4.平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定:0 与任一向量平行. 5.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 6.相反向量:长度相等且方向相反的向量. 二、向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律

(1)交换律:a+b=b+ 加法 求两个向量和的运算 a. 三角形法则 (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c)

5

平行四边形法则 求 a 与 b 的相反向量 减法 -b 的和的运算叫做 a 与 b 的差 三角形法则 (1)|λa|=|λ||a|; 数乘 求实数 λ 与向量 a 的 积的运算 (2)当 λ>0 时,λa 的方向 与 a 的方向相同;当 λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向 相反;当 λ=0 时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb a-b=a+(-b)

向量加减法运算的两个关键点: 加法的三角形法则关键是“首尾相接,指向终点”,并可推广为多个向量相加的“多边形法则”; 减法的三角形法则关键是“起点重合,指向被减向量”. 三、平面向量共线定理 向量 b 与 a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数 λ,使得 b=λa. 巧用系数判共线 → → → OA=λOB+μOC(λ,μ∈R),若 A,B,C 三点共线,则 λ+μ=1;反之,也成立. → → → → 1.化简OP-QP+MS+QM的结果为( → A.OM 【解析】 → B.SM → C.PS

) → D.OS

→ → → → → → → → → → → OP-QP+MS+QM=(OP+PQ)+(QM+MS)=OQ+QS=OS.【答案】 D ) B.平面内的单位向量有且仅有一个

2.下列给出的命题正确的是( A.零向量是唯一没有方向的向量 D.相等的向量必是共线向量 【解析】 确. 【答案】 D

C.a 与 b 是共线向量,b 与 c 是平行向量,则 a 与 c 是方向相同的向量 零向量方向任意,而不是没有方向,故 A 错;平面内单位向量有无数个,故 B 错;若

b=0,b 与 a、c 都平行,但 a、c 不一定共线,故 C 错;相等的向量方向相同,必是共线向量,故 D 正 → → → 3.设 a,b 为不共线向量,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则下列关系式中正确的是 ( ) → → A.AD=BC 【解析】 → → B.AD=2BC → → C.AD=-BC → → D.AD=-2BC

→ → → → → AD=AB+BC+CD=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2(-4a-b)=2BC. )

【答案】 B 4.已知 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+λb 与-(b-3a)共线,则 λ 的值为( 1 1 A.1 B.-1 C. D.- 3 3

6

【解析】

?3k=1, ? 由题意知 a+λb=-k(b-3a)=-kb+3ka,∴? 解得 ?λ=-k, ?

?k=3, ? 1 ?λ=-3.
)

1

【答案】 D a b 5.(2012· 四川高考)设 a、b 都是非零向量,下列四个条件中,使 = 成立的充分条件是( |a| |b| A.a=-b 【解析】 B.a∥b C.a=2b D.a∥b 且|a|=|b|

a b a 表示与 a 同向的单位向量, 表示与 b 同向的单位向量,只要 a 与 b 同向,就有 = |a| |b| |a|

b ,观察选择项易知 C 满足题意. 【答案】 C |b| → → → 6.(2013· 四川高考)在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB+AD=λAO,则 λ= _______. 【解析】 → → → 由向量加法的平行四边形法则,得AB+AD=AC.

→ → → → → 又 O 是 AC 的中点,∴AC=2AO,∴AC=2AO,∴AB+AD=2AO. → → → 又AB+AD=λAO,∴λ=2.【答案】 2

考向一 [071] 平面向量的有关概念 给出下列四个命题: → → ①若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b;②若AB=DC,则四边形 ABCD 为平行四边形; ③若 a 与 b 同向,且|a|>|b|,则 a>b;④λ,μ 为实数,若 λa=μb,则 a 与 b 共线. 其中假命题的个数为( A.1 B.2 ) C.3 D.4

【思路点拨】 以概念为判断依据,或通过举反例来说明其不正确. 【尝试解答】 ①不正确.|a|=|b|但 a、b 的方向不确定,故 a,b 不一定相等; → → ②不正确.因为AB=DC,A、B、C、D 可能在同一直线上,所以 ABCD 不一定是四边形. ③不正确.两向量不能比较大小. ④不正确.当 λ=μ=0 时,a 与 b 可以为任意向量,满足 λa=μb,但 a 与 b 不一定共线. 【答案】 D 规律方法 1 1.?1?易忽视零向量这一特殊向量,误认为④是正确的;?2?充分利用反例进行否定是对 向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法. 2.准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键.?1?相等向量具有传递性, 非零向量平行也具有传 递性.?2?共线向量?平行向量?和相等向量均与向量的起点无关. 3.“向量”和“有向线段”是两个不同的概念,向量只有两个要素:大小、方向;而有向线段有三 个要素:起点、方向、长度. 对点训练 给出下列四个命题: ①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;②若 a=b,b=c,则 a=c; ③若 a∥b,b∥c,则 a∥c;④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b.
7

其中假命题的个数为( A.1 【解析】 B.2

) C.3 D.4

①不正确.两个向量起点相同,终点相同,则两向量相等;但两个向量相等,不一定

有相同的起点和终点. ②正确.根据向量相等的定义知. ③不正确.若 b=0 时,b 与 a、c 都平行,但 a、c 不一定平行. ④不正确.a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a,b 同向. 【答案】 C 考向二 [072] 平面向量的线性运算 → → → 1→ → (1)在△ABC 中,若 D 是 AB 边上一点,且AD=2DB,CD= CA+λCB,则 λ=( 3 2 A. 3 1 B. 3 C.- 1 3 2 D.- 3 ) )

→ → → (2)若 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边中点,且 2OA+OB+OC=0,那么( → → A.AO=OD → → B.AO=2OD → → C.AO=3OD → → D.2AO=OD

→ → → 【思路点拨】 (1)D 是 AB 边上的三等分点,把CD用CA、CB表示; → → → (2)由 D 为 BC 边中点可得OB+OC=2OD,代入已知条件即可求解. 2 → → → → 2→ → 2 → → 1 → 2 → 【尝试解答】 (1)CD=CA+AD=CA+ AB=CA+ (CB-CA)= CA+ CB,所以 λ= ,故选 A. 3 3 3 3 3 → → → → → → → → → → (2)因为 D 为 BC 边中点, ∴OB+OC=2OD, 又 2OA+OB+OC=0, ∴2OA+2OD=0, 即AO=OD, 故选 A.【答案】 (1)A (2)A 规律方法 2 → → → 1.解答本例?1?的关键是利用向量的加法与减法把CD 用CA 、CB 表示出来.解答本例

→ → → ?2?的关键是OB +OC =2OD . 2.进行向量的线性运算时,要尽可能转化到三角形或平行四边形中,选用从同一顶点出发的基本向 量或首尾相连的向量,运用向量加、减法运算及数乘运算来解. 对点训练

图 4-1-1 → → → → → (1)如图 4-1-1 所示,向量OA=a,OB=b,OC=c,A、B、C 在一条直线上,若AC=-3CB,则 ( ) 1 3 A.c=- a+ b 2 2 3 1 B.c= a- b 2 2 C.c=-a+2b D.c=a+2b

→ → → → → → (2)若|AB|=|AC|=|AB-AC|=2,则|AB+AC|=________. → → → → → → → → → → → → → (1)∵OC=OA+AC=OA+3BC=OA+3(OC-OB)=3OC+OA-3OB, ∴2OC=-OA+ 1 3 → → 3OB,∴c=OC=- a+ b. 2 2 【解析】 → → → → → (2)∵|AB|=|AC|=|AB-AC|=|CB|=2,

8

→ → → → ∴△ABC 是边长为 2 的正三角形,|AB+AC|为三角形高的 2 倍,所以|AB+AC|=2 3. 【答案】 (1)A (2)2 3 考向三 [073] 共线向量定理的应用 设两个非零向量 e1 和 e2 不共线. → → → (1)如果AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,求证:A、C、D 三点共线. → → → (2)如果AB=e1+e2,BC=2e1-3e2,AF=3e1-ke2,且 A、C、F 三点共线,求 k 的值. → → 【思路点拨】 (1)A、C、D 三点共线?存在实数 λ 使AC=λCD. → → (2)A、C、F 三点共线?存在实数 λ,使AC=λAF. → → → → → 【尝试解答】 (1)AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,∴AC=AB+BC=4e1+e2, → → → → → 又CD=-8e1-2e2,所以CD=-2AC,∴AC与CD共线, → → 又∵AC与CD有公共点 C,∴A、C、D 三点共线. → → → → → (2)∵AB=e1+e2,BC=2e1-3e2,∴AC=AB+BC=3e1-2e2. → → → → ∵A、C、F 三点共线,∴AC∥AF,从而存在实数 λ,使得AC=λAF. ∴3e1-2e2=3λe1-λke2,又 e1,e2 是不共线的非零向量,
? ?3=3λ, ∴? 因此 k=2.所以实数 k 的值为 2. ?-2=-λk, ?

规律方法 3

1.向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是存在唯一实数 λ,使 b=λa.要注意通常只有

非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法和方程思想的运用. 2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意当两向量共线且有公共点时,才能得出三点 共线. 对点训练 (1)已知向量 a,b 不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果 c∥d,那么( A.k=1 且 c 与 d 同向 B.k=1 且 c 与 d 反向 ) C.k=-1 且 c 与 d 同向 D.k=-1 且 c 与 d 反向 (2)(2014· 洛阳模拟)对于非零向量 a、b,“a+b=0”是“a∥b”的( A.充分不必要条件 【解析】 (1)∵c∥d,∴c=λd, B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

? ?k=λ, 即 ka+b=λ(a-b)=λa-λb,∴? ∴k=λ=-1,故选 D. ?-λ=1, ?

(2)由 a+b=0 知道 a 与 b 互为相反向量,从而 a∥b,充分性成立.由 a∥b 知 a=λb,λ≠-1 时,a +b≠0,∴必要性不成立. 【答案】 (1)D (2)A

易错易误之八 忽视零向量的特殊性致误 ———— [1 个示范例] ———— ) [1 个防错练] ———— (2014· 荆州模拟)下列命题正确的是(

A.向量 a、b 共线的充要条件是有且仅有一个实数 λ,使 b=λa

9

→ → → B.在△ABC 中,AB+BC+CA=0 C.不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中两个等号不可能同时成立 D.向量 a、b 不共线,则向量 a+b 与向量 a-b 必不共线 【解析】 A 不正确,当 a=b=0 时,有无数个实数 λ 满足 b=λa. 此处在求解时,常因忽视“共线向量定理中的条件 a≠0”而致误. → → → B 不正确,在△ABC 中,AB+BC+CA=0. 此处在求解时,常因混淆向量与数量的关系致误,0 是向量,其模为 0,而 0 是数量,没有方向. C 不正确,当 b=0 时,不等式|a|≤|a|≤|a|显然成立. 此处在求解时,常受代数不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|的影响,而忽略了向量中 0 的作用导致错 误. D 正确.∵向量 a 与 b 不共线,∴a,b,a+b 与 a-b 均不为零向量. 若 a+b 与 a-b 平行,则存在实数 λ,使 a+b=λ(a-b), 即(λ-1)a=(1+λ)b,
?λ-1=0, ? ∴? λ 无解,故假设不成立, ?1+λ=0, ?

即 a+b 与 a-b 不平行,故选 D. 【防范措施】 (1)共线向量定理中,b=λa 要求 a≠0,否则 λ 值可能不存在. (2)向量的加减及数乘运算的结果,仍然是一个向量,而不是一个数. (3)应熟练掌握向量不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|等号成立的条件. 下列说法不正确的有________. ①若 a∥b,则 a 与 b 的方向相同或相反;②若 λa=0,则 λ=0;③相反向量必不相等; ④若 a=e1+λe2,b=2e1,λ∈R,且 λ≠0,则 a∥b 的充要条件是 e2=0. 【解析】 ①不正确,如 a=0.②不正确,λa=0,则 λ=0 或 a=0.③不正确,0=-0. ④不正确,当 e1∥e2 时该命题也成立. 【答案】 ①②③④

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