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【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 4-4两角和与差的三角函数 新人教A版


4-4 两角和与差的三角函数
基础巩固强化 4 1.(2011?银川三模)已知 sinθ = ,且 sinθ -cosθ >1,则 sin2θ =( 5 A.- 4 C.- 5 [答案] A 3 [解析] 由题意可知 cosθ =- , 5 24 所以 sin2θ =2sinθ cosθ =- ,故选择 A. 25 2 3 2. (文)(2011?北京东城区期末)在△ABC 中, =120°, A+tanB= C tan , tanAtanB 则 3 的值为( A. 1 4 ) 1 B. 3 1 C. 2 5 D. 3 24 25 12 B.- 25 D. 24 25 )

[答案] B [解析] ∵C=120°,∴A+B=60°, tanA+tanB ∴tan(A+B)= = 3, 1-tanAtanB 2 3 1 ∵tanA+tanB= ,∴tanAtanB= . 3 3 3 (理)已知 sinα = ,α 为第二象限角,且 tan(α +β )=1,则 tanβ 的值是( 5 A.-7 3 C.- 4 [答案] B 3 4 [解析] 由 sinα = ,α 为第二象限角,得 cosα =- , 5 5 3 则 tanα =- . 4 tan? α +β ? -tanα ∴tanβ =tan[(α +β )-α ]= 1+tan? α +β ? tanα B.7 D. 3 4 )

1



3 1+ 4

? 3? 1+?- ? ? 4?

=7.

π 3 3 3.(文)已知 0<α < <β <π ,cosα = ,sin(α +β )=- ,则 cosβ 的值为( 2 5 5 A.-1 24 C.- 25 [答案] C π π π 3π [解析] ∵0<α < , <β <π ,∴ <α +β < , 2 2 2 2 4 4 ∴sinα = ,cos(α +β )=- , 5 5 7 B.-1 或- 25 24 D.± 25

)

? 4? 3 ∴cosβ =cos[(α +β )-α ]=cos(α +β )cosα +sin(α +β )sinα =?- ? ? + ? 5? 5 ?-3??4=-24,故选 C. ? 5? 5 25 ? ?
3 π (理)已知 sinβ = ( <β <π ),且 sin(α +β )=cosα ,则 tan(α +β )=( 5 2 A.1 [答案] C 3 π 4 [解析] ∵sinβ = , <β <π ,∴cosβ =- , 5 2 5 ∴sin(α +β )=cosα =cos[(α +β )-β ] =cos(α +β )cosβ +sin(α +β )sinβ 4 3 =- cos(α +β )+ sin(α +β ), 5 5 2 4 ∴ sin(α +β )=- cos(α +β ),∴tan(α +β )=-2. 5 5 4.已知实数 a,b 均不为零, A. 3 C.- 3 [答案] B
2

)

B.2

C.-2

8 D. 25

asin2+bcos2 π b =tanβ ,且 β -2= ,则 =( acos2-bsin2 6 a
B. 3 3 3 3

)

D.-

[解析]

3 tan2+ 3 π asin2+bcos2 atan2+b tanβ =tan(2+ )= = = ,所以 a=1,b 6 acos2-bsin2 a-btan2 3 1- tan2 3



3 b 3 ,故 = . 3 a 3 5.函数 f(x)=(3sinx-4cosx)?cosx 的最大值为( A.5 [答案] C [解析] f(x)=(3sinx-4cosx)cosx 3 2 =3sinxcosx-4cos x= sin2x-2cos2x-2 2 5 4 = sin(2x-θ )-2,其中 tanθ = , 2 3 5 1 所以 f(x)的最大值是 -2= .故选 C. 2 2 π π 6.(文)(2011?合肥质检)将函数 y=sin(2x+ )的图象上各点向右平移 个单位,再 3 6 9 B. 2 1 C. 2 5 D. 2 )

把每一点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标保持不变,所得函数图象的一条对称轴是 ( ) π A.x= 8 π C.x= 3 [答案] A π B.x= 6 π D.x= 2

[ 解 析 ]

y = sin(2x +

π ) 3

y = sin2x

y=sin4x,其对称轴方程为 4x=kπ + ,k
∈Z,

π 2

3

∴x=



π π + ,令 k=0 得 x= . 4 8 8

π (理)(2013?陕西师大附中上学期一模)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(其中 A>0, |< ) |φ 2 的图象如图所示,为了得到函数 g(x)=sin2x 的图象,则只需将 f(x)的图象( )

π A.向右平移 个长度单位 6 π B.向右平移 个长度单位 12 π C.向左平移 个长度单位 6 π D.向左平移 个长度单位 12 [答案] A

T 7π π π [解析] 由图可知 A=1, = - = ,∴T=π , 4 12 3 4
∴ 2π =π ,∴ω =2, ω

∴f(x)=sin(2x+φ ), 7π 7π 将( ,-1)代入得 sin( +φ )=-1, 12 6 ∴ 7π 3π π +φ = +2kπ ,k∈Z,∴φ =2kπ + ,k∈Z. 6 2 3

π π π ∵|φ |< ,∴φ = ,∴f(x)=sin(2x+ ), 2 3 3 π π π 将 f(x)的图象向右平移 个单位可得,sin[2(x- )+ ]=sin2x,故选 A. 6 6 3 π 7. 函数 f(x)=asinx-bcosx 的图象的一条对称轴是直线 x= , 则直线 ax-by+c=0 4 的倾斜角的大小为________.

4

[答案]

3π (或 135°) 4

[解析] f(x)的图象的对称轴过其最高点或最低点, π a-b 2 2 2 2 ∴f( )=± a +b ,∴ =± a +b ,解得 a+b=0.∴直线 ax-by+c=0 的斜率 4 2

a k= =-1, b
3π ∴直线 ax-by+c=0 的倾斜角为 135°(或 ). 4 8.下列命题:①存在 α 、β ∈R,使 tan(α +β )=tanα +tanβ ;②存在 φ ∈R,使

f(x)=cos(3x+φ )为奇函数; ③对任意 α , ∈(0, ), tanα ?tanβ <1, α +β < ; β 若 则
④△ABC 中,sinA>sinB 的充要条件是 A>B.其中真命题的序号是________. [答案] ①②③④ π [解析] ①α =0,β = 时,原式成立; 3 π ②φ = 时,f(x)为奇函数; 2

π 2

π 2

? π? ③∵tanα ?tanβ <1,α ,β ∈?0, ?, 2? ?
∴ sinα ?sinβ <1,∴sinα ?sinβ <cosα ?cosβ , cosα ?cosβ

π ∴cos(α +β )>0,∵α +β ∈(0,π ),∴α +β < ; 2 ④在△ABC 中, >B?a>b?2RsinA>2RsinB?sinA>sinB(其中 R 为△ABC 外接圆的半径). A π π 9.(文)函数 y=cos( -2x)+sin( -2x)的最小正周期为________. 3 2 [答案] π π π [解析] y=cos cos2x+sin sin2x+cos2x 3 3 3 3 3 1 = cos2x+ sin2x= 3( cos2x+ sin2x) 2 2 2 2 π = 3sin(2x+ ),∴T=π . 3 (理)函数 y=cos(x+20°)+sin(x-10°)的最大值为________. [答案] 1 [解析] y=cosxcos20°-sinxsin20°+sinxcos10°-cosxsin10° =(cos10°-sin20°)?sinx+(cos20°-sin10°)cosx
5

= a +b sin(x+φ ). 这里 a=cos10°-sin20°,b=cos20°-sin10°, cos20°-sin10° tanφ = cos10°-sin20° ∵a +b =(cos10°-sin20°) +(cos20°-sin10°)
2 2 2 2

2

2

=2-2sin20°cos10°-2cos20°sin10°=2-2sin30°=1. ∴最大值为 a +b =1. 10.(文)设函数 f(x)= 3cos ω x+sinω xcosω x+a(其中 ω >0,a∈R),且 f(x)的最 小正周期是 2π . (1)求 ω 的值; π 5π (2)如果 f(x)在区间[- , ]上的最小值为 3,求 a 的值. 3 6 [解析] (1)f(x)= 3 1 3 cos2ω x+ sin2ω x+ +a 2 2 2
2 2 2

π? 3 ? =sin?2ω x+ ?+ +a, 3? 2 ? 2π 1 依题意得 =2π ? ω = . 2ω 2 3 ? π? (2)由(1)知,f(x)=sin?x+ ?+ +a. 3? 2 ? π 5π π 7π 1 ? π? 又当 x∈[- , ]时,x+ ∈[0, ],故- ≤sin?x+ ?≤1,从而 f(x)在区间 3? 3 6 3 6 2 ? π 5π 1 3 3+1 [- , ]上的最小值为- + +a= 3,故 a= . 3 6 2 2 2 πx π πx (理)(2011?日照模拟)设函数 f(x)=cos( - )-cos . 4 3 4 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)设 g(x)=f(-2-x);当 x∈[0,2]时,求函数 y=g(x)的最大值. [解析] (1)f(x)=cos π π π π πx 3 π 1 π xcos +sin xsin -cos = sin x - cos x = 4 3 4 3 4 2 4 2 4

π π sin( x- ). 4 6 故 f(x)的最小正周期为 T= 2π =8. π 4 π π π π π (-2-x)- ]=sin[- - x- ]= 4 6 2 4 6

(2)由题设条件得 g(x)=f(-2-x)=sin[

6

π π -cos( x+ ). 4 6 π π π 2π π π π 2π 当 0≤x≤2 时, ≤ x+ ≤ ,设 t= x+ ,则 y=-cost,在[ , ]上是 6 4 6 3 4 6 6 3 2π 1 增函数,因此 y=g(x)在区间[0,2]上的最大值为 g(x)max=-cos = . 3 2 能力拓展提升 π π 11.(文)(2012?河南六市联考)已知函数 y=f(x)= 3sin( +x)+cos( +x),则函 6 6 数 f(x)应满足( )

5π π π A.函数 y=f(x)在[- , ]上递增,且有一个对称中心( ,0) 6 6 6 3π π π B.函数 y=f(x)在[- , ]上递增,且有一个对称中心(- ,0) 4 6 3 5π π π C.函数 y=f(x)在[- , ]上递减,且有一个对称中心(- ,0) 6 6 3 3π π π D.函数 y=f(x)在[- , ]上递减,且有一个对称中心( ,0) 4 6 6 [答案] B [解析] B.

f(x)= 3sin( +x)+cos( +x)=2sin( +x+ )=2sin(x+ ),故选

π 6

π 6

π 6

π 6

π 3

? π? (理)已知 a=(sinα ,1-4cos2α ),b=(1,3sinα -2),α ∈?0, ?,若 a∥b,则 2? ?
π? ? tan?α - ?=( 4? ? A. )

1 1 2 2 B.- C. D.- 7 7 7 7

[答案] B [解析] ∵a∥b,∴1-4cos2α =sinα (3sinα -2), ∴5sin α +2sinα -3=0, 3 3 ? π? ∴sinα = 或 sinα =-1,∵α ∈?0, ?,∴sinα = , 2? 5 5 ? π ? tanα -1 3 1 ? ∴tanα = ,∴tan?α - ?= =- . 4 ? 1+tanα 4 7 ?
2 π 12. (文)设动直线 x=a 与函数 f(x)=2sin ( +x)和 g(x)= 3cos2x 的图象分别交于 4 2

M,N 两点,则|MN|的最大值为(

)

7

A. 2

B. 3

C.2 D.3

[答案] D [解析] 易知|MN|=|f(a)-g(a)|
2 π =|2sin ( +a)- 3cos2a| 4

π =|1-cos( +2a)- 3cos2a| 2 π =|1+2sin(2a- )|≤3,即最大值是 3. 3 (理)(2012?东北三校联考)设 α 、β 都是锐角,且 cosα = cosβ =( A. C. 2 5 25 2 5 2 5 或 25 5 ) B. D. 2 5 5 5 5 或 5 25 5 3 ,sin(α +β )= ,则 5 5

[答案] A [解析] 依题意得 sinα = 1-cos α =
2

2 5 2 , cos(α +β )=± 1-sin ? α +β ? = 5

4 4 5 4 ± .又 α 、β 均为锐角,因此 0<α <α +β <π ,cosα >cos(α +β ),因为 > >- ,所 5 5 5 5 4 以 cos(α +β )=- . 5 4 5 3 cosβ =cos[(α +β )-α ]=cos(α +β )cosα +sin(α +β )?sinα =- ? + 5 5 5 2 5 2 5 ? = ,选 A. 5 25 3 12 π π 13.已知 sin(2α -β )= ,sinβ =- ,且 α ∈( ,π ),β ∈(- ,0),则 sinα 5 13 2 2 =________. [答案] 3 130 130

π [解析] ∵ <α <π ,∴π <2α <2π . 2 π π 5π 又- <β <0,∴0<-β < ,π <2α -β < , 2 2 2 3 而 sin(2α -β )= >0, 5
8

5π 4 ∴2π <2α -β < ,cos(2α -β )= . 2 5 π 12 5 又- <β <0 且 sinβ =- ,∴cosβ = , 2 13 13 ∴cos2α =cos[(2α -β )+β ] =cos(2α -β )cosβ -sin(2α -β )sinβ 4 5 3 12 56 = ? - ?(- )= . 5 13 5 13 65 9 2 2 又 cos2α =1-2sin α ,∴sin α = . 130 π 3 130 又 α ∈( ,π ),∴sinα = . 2 130 2cos10°-sin20° 14.求值: =________. cos20° [答案] 3

2cos? 30°-20°? -sin20° [解析] 原式= cos20° = = 2cos30°cos20°+2sin30°sin20°-sin20° cos20° 3cos20°+sin20°-sin20° = 3. cos20° 5 10 ,sinB= ,求 A+B 的 5 10

15.(文)(2011?珠海模拟)已知 A、B 均为钝角且 sinA= 值. [解析] ∵A、B 均为钝角且 sinA= ∴cosA=- 1-sin A=- 3
2

5 10 ,sinB= , 5 10

2

2 5 =- , 5 5

cosB=- 1-sin B=-

2

3 10 =- , 10 10

∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB 2 5 3 10 5 10 2 =- ?(- )- ? = , 5 10 5 10 2 π π 又∵ <A<π , <B<π , 2 2 7π ∴π <A+B<2π ,∴A+B= . 4

9

(理)(2011?成都二诊)已知函数 f(x)=2sinxcos(x+ (1)求函数 f(x)的最小正周期;

π )-cos2x+m. 6

π π (2)当 x∈[- , ]时,函数 f(x)的最小值为-3,求实数 m 的值. 4 4 π [解析] (1)∵f(x)=2sinxcos(x+ )-cos2x+m 6 =2sinx( 3 1 cosx- sinx)-cos2x+m 2 2
2

= 3sinxcosx-sin x-cos2x+m = = 3 1-cos2x sin2x- -cos2x+m 2 2 3 1 1 sin2x- cos2x- +m 2 2 2

π 1 =sin(2x- )- +m. 6 2 2π ∴f(x)的最小正周期 T= =π . 2 π π π π (2)∵- ≤x≤ ,∴- ≤2x≤ , 4 4 2 2 2π π π π 3 ∴- ≤2x- ≤ ,∴-1≤sin(2x- )≤ , 3 6 3 6 2 1 ∴ f(x)的最小值为-1- +m. 2 1 3 由已知,有-1- +m=-3.∴m=- . 2 2 3 5 π π 3 16.(文)(2011?晋中一模)已知 sinα +cosα = ,α ∈(0, ),sin(β - )= , 5 4 4 5 π π β ∈( , ). 4 2 (1)求 sin2α 和 tan2α 的值; (2)求 cos(α +2β )的值. 9 2 [解析] (1)由题意得(sinα +cosα ) = , 5 9 4 即 1+sin2α = ,∴sin2α = . 5 5 π 3 2 又 2α ∈(0, ),∴cos2α = 1-sin 2α = , 2 5

10

sin2α 4 ∴tan2α = = . cos2α 3 π π π π (2)∵β ∈( , ),β - ∈(0, ), 4 2 4 4 π 4 ∴cos(β - )= , 4 5 π π π 24 于是 sin2(β - )=2sin(β - )cos(β - )= . 4 4 4 25 π 24 又 sin2(β - )=-cos2β ,∴cos2β =- . 4 25 π 7 又 2β ∈( ,π ),∴sin2β = . 2 25 1+cos2α 4 2 又 cos α = = , 2 5 2 5 5 π ∴cosα = ,sinα = (α ∈(0, )). 5 5 4 ∴cos(α +2β )=cosα cos2β -sinα sin2β = 2 5 24 5 7 11 5 ?(- )- ? =- . 5 25 5 25 25

π π α 1 5 (理)已知 0<α < , <β <π ,且 tan = ,sin(α +β )= . 2 2 2 2 13 (1)求 cosα 和 cosβ 的值; α -β (2)求 tan 的值. 2 α 2tan 2 α 1 4 [解析] (1)∵tan = ,∴tanα = = , 2 2 3 2α 1-tan 2 4 ∴sinα = cosα , 3 9 2 2 2 代入 sin α +cos α =1 中消去 sinα 得,cos α = , 25 π 3 4 π 3π 5 π ∵0<α < , ∴cosα = , ∴sinα = , ∵ <α +β < , sin(α +β )= >0, ∴ <α 2 5 5 2 2 13 2 +β <π , 12 2 ∴cos(α +β )=- 1-sin ? α +β ? =- , 13 ∴cosβ =cos[(α +β )-α ] =cos(α +β )cosα +sin(α +β )sinα
11

12 3 5 4 16 =- ? + ? =- . 13 5 13 5 65 3 16 ∴cosα 和 cosβ 的值依次为 和- . 5 65 16 π (2)由(1)知 cosβ =- ,又已知 <β <π , 65 2 β 2tan 2 63 63 63 ∴sinβ = ,∴tanβ =- .∴ =- , 65 16 16 2β 1-tan 2 ∵ π β β 9 <β <π ,∴tan >0,∴tan = , 2 2 2 7

α β 1 9 tan -tan - 2 2 2 7 α -β 11 ∴tan = = =- . 2 α β 1 9 23 1+tan ?tan 1+ ? 2 2 2 7

1.方程 - =1 所表示的曲线为( cos2012° sin2012° A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 y 轴上的椭圆 C.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线 [答案] D

x2

y2

)

[解析] cos2012°=cos(5?360°+212°)=cos212°=-cos32°=-sin58°<0, 而 sin2012°=sin(5?360°+212°)=sin212°=-sin32°<0,所以该曲线为焦点在 y 轴上的双曲线. cosα -sinα 2.已知 α 、β 均为锐角,且 tanβ = ,则 tan(α +β )的值为( cosα +sinα A.-1 B.1 C. 3 [答案] B cosα -sinα 1-tanα ?π [解析] tanβ = = =tan? -α cosα +sinα 1+tanα ?4 ∵ D.不存在 )

?, ? ?

π ? π π? ? π π? -α ,β ∈?- , ?且 y=tanx 在?- , ?上是单调增函数, 4 ? 2 2? ? 2 2?

π π π ∴β = -α ,∴α +β = ,∴tan(α +β )=tan =1. 4 4 4 3.已知 sinα = 5 10 ,sin(α -β )=- ,α 、β 均为锐角,则 β 等于( 5 10 )
12

A.

5π 12

π B. 3

π C. 4

π D. 6

[答案] C π π [解析] ∵α 、β 均为锐角,∴- <α -β < , 2 2 ∴cos(α -β )= 1-sin ? α -β ? = 5 ,∴cosα = 5 1-?
2

3 10 , 10

∴sinα =

? 5?2 2 5 ?= 5 . ?5?

∴sinβ =sin[α -(α -β )] =sinα cos(α -β )-cosα sin(α -β )= π π ∵0<β < ,∴β = ,故选 C. 2 4 4.(2012?重庆文)设函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(其中 A>0,ω >0,-π <φ ≤π ) π π 在 x= 处取得最大值 2,其图象与 x 轴的相邻两个交点的距离为 . 6 2 (1)求 f(x)的解析式; 6cos x-sin x-1 (2)求函数 g(x)= 的值域. π f? x+ ? 6 π [分析] (1)由周期为 π 求出 ω ,代入点( ,2),由 φ 范围求出 φ ,A. 6 (2)分子化同名,即 sin x 用 1-cos x 代换,分母用诱导公式和二倍角公式. [解析] (1)由题设条件知 f(x)的周期 T=π , 即 2π =π ,解得 ω =2, ω
2 2 4 2

2 . 2

π 因为 f(x)在 x= 处取得最大值 2,所以 A=2, 6 π π π 从而 sin(2? +φ )=1,所以 2? +φ = +2kπ ,k∈Z, 6 6 2 又由-π <φ ≤π ,得 φ = π , 6

π 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+ ). 6 6cos x-sin x-1 6cos x+cos x-2 (2)g(x)= = π 2cos2x 2sin? 2x+ ? 2
4 2 4 2

13



?

2cos x-1? ? 3cos x+2? 2 2? 2cos x-1?

2

2

3 1 2 2 = cos x+1(cos x≠ ). 2 2

1 2 2 因 cos x∈[0,1],且 cos ≠ . 2 7 7 5 故 g(x)的值域为[1, )∪( , ]. 4 4 2 [点评] 本题考查了三角函数的周期、最值、同角基本关系式、二倍角公式等.在解三 角恒等变换(化简)题时的方法有:异名化同名,异角化同角,降幂化同次等.

14


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