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高中数学《2.3 幂函数》课件 新人教A版必修1


目 标 要 求 1.掌握幂函数的有关概 念. 2.结合函数 y=x,y= x2,y=x3,y=x-1,y= 1 x 的图象,了解幂函数 2 图象的变化情况. 热 点 提 示 学习本节内容时,(1)应类比 指数函数, 对数函数来学习; (2)关键是作出五个常用幂 函数的图象,由此概括出它 们的共性;(3)重点是熟练掌 握五个常用幂函数的图象与 性质;(4)要辨析指数函数与 幂函数. 经调查,一种商品的价格和需求的关系如下表: 价格/元 0.65 135. 需求量/t 139.6 4 0.6 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 131. 128.2 125.1 122.2 119.5 6 根据此表,我们可得到价格x与需求量y之间近似地满 足 关 系 y = 114.8746·x - 0.3815192 , 这 个 关 系 与 函 数 y = x - 0.3815192 是相关联的,后一个函数就是我们将要学习的幂函 数. 你能根据y=x -0.3815192 的形式给幂函数下个定义吗? 幂函数有哪些性质? 1.幂函数的定义:形如 其中 α 为常数, x 为自变量. y=xα 的函数称为幂函数, 3.幂函数的性质 1.下列函数中,不是幂函数的是 A.y=2x B.y=x-1 C.y= x D.y=x3 ( ) 2.下列函数中,定义域是 R 的是 - A.y=x 2 - C.y=x2 D.y=x 1 ( ) ( ) A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-2)∪(0,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 类型一 幂函数的有关概念 【例1】 当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)x- 5m-3为减函数,求实数m的值. 思路分析:由题目可获取以下主要信息: ①所给函数是幂函数;②含有参数m. 解答本题可利用幂函数的性质对m进行求解. 解:∵函数 y=(m2-m-1)x-5m-3 为幂函数, ∴m2-m-1=1, 解得 m=2 或 m=-1. 又∵函数在(0,+∞)上为减函数, 3 ∴-5m-3<0,即 m>- , 5 故 m=-1 舍去,∴m=2. 温馨提示:本题易忽视m2-m-1=1而得到m>- 的错误结论. 思路分析:在同一坐标系中作出函数的图象. 温馨提示:利用数形结合的思想方法求解,也可用特 1 殊值法如取 a= ,x=2 判断. 2 x 0 1 2 3 4 ? ? ? ? y 0 1 1.59 2.08 2.52 再根据这个函数的图象关于y轴对称,作出它的图象, 如下图所示. 由它的图象可以看出,这个函数在区间(-∞,0]上是 减函数,在区间[0,+∞)上是增函数. 温馨提示:利用幂函数y=xα在第一象限的图象特征, 可作出幂函数的图象,图象的形象性、直观性使幂函数的 性质(特别是单调性)一目了然,利用幂函数的性质使有些问 题顺利地得到解决(如本例的大小比较问题).因此,我们必 须准确把握幂函数在第一象限的图象特征,熟练掌握作图 方法,并灵活地利用图象解题. 右图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象, 则 A.-1<n<0<m<1 B.n<-1,0<m<1 C.-1<n<0,m>1 D.n<-1,m>1 ( ) 解:此类题有一简捷解决办法,在(0,1)内取同一x值x0, 作直线x=x0,与各图象有交点,则“点低指数大”.如下 图,0<m<1,n<-1. 答

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