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第二节 离散型随机变量及其概率分布


随机变量及其分布
第二节 离散型随机变量 及其概率分布

一、离散型随机变量的概率分布
引例

从中任取3 个球,
取到的白球数X是一个随机变量 . (1) X 可能取的值是0,1,2 ; (2) 取每个值的概率为 且

? P ( X ? i) ? 1
i ?1

3

这样,我们就掌握了 X这个随机变量取值 的概率规律.

一、离散型随机变量的概率分布
1、离散型随机变量的定义
定义:设 X为随机变量,若他的全部可能取值只 有有限或无穷可数个,则称其为离散型随机变量。

研究离散型随机变量概率分布,即寻找随机 变量所有可能的取值以及取每个值所对应的概率。 分布函数可以研究离散型随机变量的概率分 布,除此之外,针对离散型特点,我们引入研究 离散型随机变量的重要工具——概率分布律(列)

一、离散型随机变量的概率分布
2、离散型随机变量的概率分布 定义:设 xk (k=1,2, …) 是离散型随机变量 X 所取 的一切可能值,称

为离散型随机变量 X 的分布律. 概率分布列

概率分布阵

一、离散型随机变量的概率分布
3、性质
用这两条性质 判断一个函数 是否是分布律

注意:只有离散型才有概率分布列。 思考:下列两个等式一样么?
P ( X ? x k ) ? pk P ( X ? x k ) ? p k , k ? 1, 2 , 3 ?

一、离散型随机变量的概率分布
例1 设随机变量X的分布律为

k =0,1,2, …,
试确定常数a . P(X =k)≥0, 解: 依据分布律的性质



a≥0 ,

e ??
?
k ?0

?

?

k

从中解得

k!

一、离散型随机变量的概率分布
例2 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9,求他两次独 立投篮投中次数X 的概率分布.

解: X可取值为0,1,2
P{X =0}=(0.1)(0.1)=0.01 P{X =2}=(0.9)(0.9)=0.81 P{X =1}= 2(0.9)(0.1) =0.18



一、离散型随机变量的概率分布
例3 设随机变量X的分布列为

求:常数a,P(X<1),P(-2<X≤0),P(X≥2). 由归一性 a + 3 a + 1 8 + a + 2 a ? 1, 得 解: P(-2<X≤0) = P(X=-1)+ P(X=0)=1/2
a ?1 8

P(X<1) =P(X=-2)+ P(X=-1)+ P(X=0)=5/8
P(X≥2) = P(X=2)=1/4

一、离散型随机变量的概率分布
小结:
离散型随机变量的概率分布列,明确的给出了X 取 x i ( 正 概 率 点 )的 概 率 , 是 研 究 概 率 分 布 的 重 要 工 具 。
? a ? b, P (a ? X ? b ) ?

a ? xi ? b

?

P ( X ? xi )

即:离散型随机变量落入任何区间内的概率, 等于该区间内所有正概率点对应概率之和。

一、离散型随机变量的概率分布
练习1 某射手连续向一目标射击,直到命中为止,已 知他每发命中的概率是p,求射击发数X的分布律. 解: X 可能取的值是1,2,… , 为计算 P{X =k }, k = 1,2, …, 设 Ak = {第k发命中},k =1, 2, …, 于是 P{X=1}=P(A1)=p,

??
分布律为

二、离散型随机变量的分布函数
随机变量的分布函数同样可以描述随机变量落 入任意区间的概率,那么分布函数与离散型分布列 有什么关系呢?
对 于 分 布 列 : P (a ? X ? b ) ?
a ? xk ? b

?

pk

对 于 分 布 函 数 : F (x) ? P(X ? x) ?

xk ? x

?

pk

分布列 ? 分布函数
F ( x )的 值 会 随 着 x ( 区 间 上 限 )的 变 化 而 改 变 , 伴 随 区 间

( ? ? , x ]的 增 大 , 区 间 包 含 的 x k 逐 渐 增 多 , 概 率 也 会 变 化 。

二、离散型随机变量的分布函数
例4 设随机变量 X 的分布律为 X

求 X 的分布函数 F (x) .


当 当

F(x) = P(X ? x) x<0 时,{ X x } = , 故 F(x) =0 0 x < 1 时, F(x) = P{X x} = P(X=0) =
?? ?

1 xX x X 0

2

x

二、离散型随机变量的分布函数


1 x < 2 时, F(x) = P{X=0}+ P{X=1}= +

=



x 2 时, F(x) = P{X=0} + P{X=1} + P{X=2}= 1

二、离散型随机变量的分布函数
故 特点: 1.分段函数 2.右连续 3.X取值点为分界点 4.分段区间左闭右开

下面我们从图形上来看一下.

二、离散型随机变量的分布函数
F ( x )的分布函数图
1
1 2

12 13 1 3
O

1 6
O

O

0

1

2

x

特点: 阶梯曲线 在xk 处有跳跃

X

跳跃值为 P{ X=xk } = pk

二、离散型随机变量的分布函数
总结:设离散型随机变量 X 的分布律为 P{ X=xk } = pk , k =1,2,3,… 则其分布函数为 即F(x) 是 X 取 F(x) = P(X x) = 的诸值 xk 的概率之和.

? ?0 x ? x1 ? x1 ? x ? x 2 ? p1 ? p ? p2 x 2 ? x ? x 3 ? 1 ? F ( x ) ? ?? ? k ?? p x k ? x ? x k ?1 i ? i?1 ? ? ? ?1 xn ? x ?

二、离散型随机变量的分布函数
例5 一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X 的分布函数. 解
当 x ? 0时 , P { X ? x } 是不可能事件 , 于是 F ( x ) ? P { X ? x } ? 0 ; 当 0 ? x ? 2 时 , P { 0 ? X ? x } ? kx , k 是常数 .
2

由 P { 0 ? X ? 2 } ? 1, 得 4 k ? 1,

即 k ?

1 4

.

因而 P { 0 ? X ? x } ?

x

2

.

4

二、离散型随机变量的分布函数
于是 F ( x ) ? P { X ? x }
? P { X ? 0 }? P { 0 ? X ? x } ?
当 x ? 2时 ,

x

2

.

4

F ( x ) ? P { X ? x } ? 1.

故 X 的分布函数为
?0, ? 2 ?x F (x) ? ? , ? 4 ?1, ? x ? 0, 0 ? x ? 2, x ? 2.

其图形为一连续曲线

二、离散型随机变量的分布函数
练习2 设随机变量X的分布列为

求:F(x).

x ? ?2 ? 0, ? 1 8 , ? 2 ? x ? ?1 ? ?1 2 , ? 1 ? x ? 0 答案:F (x) ? ? 0? x ?1 ?5 8 , ?3 4 , 1? x ? 2 ? x ? 2 ? 1,

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
1、单点分布(或退化分布) 若随机变量X的全部可能取值为常数c,即“X=c” 是必然事件,其概率分布为 P(X=c)=1 则称X服从单点分布(或退化分布). 例如,从一批全是合格品的产品中,任取c件进 行合格性检查,若以X表示所取到的合格品数,则 “X=c”是必然事件,其概率分布为P(X=c)=1.

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
2、两点分布(或0-1分布、伯努利分布) 设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分 布律为
X pk

0 1? p

1 p

则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布.
X ? B (1, p )

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例如 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,若规定
? 1, X ? ? ?0,

取得不合格品,

X

0

1
10 200

取得合格品.

pk

190 200

则随机变量 X 服从两点分布. 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
3、独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 设在一次试验E中只考虑两个互逆的结果:A 或 掷骰子:“掷出4点”,“未掷出4点” 抽验产品:“是正品”,“是次品” 这样的试验E称为贝努利试验 .(两点分布) 将伯努利试验E独立地重复地进行n次 ,则称这 一串重复的独立试验为n重贝努利试验 . “重复”是指这 n 次试验中P(A)= p 保持不变.

“独立”是指各次试验的结果互不影响 .

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例如:某射手独立向目标连续射击4次,每次的命 中率均为0.8,求其恰好命中3次的概率。 分析:该实验为4重贝努利
设 A 表 示 命 中 目 标 , 则 P ( A ) ? 0.8

在 4次 射 击 中 , 恰 好 命 中 3次 共 有 C 4 种 情 况 , 即 : AAAA, AAAA, AAAA, AAAA 由独立性可知,发生每种情况的概率均为: [ P ( A )] P ( A ) = ( 0 .8 0 .2 ) 每种情况彼此不能同时发生,则由互斥性质得:
P ( 恰 好 命 中 3 次 ) ? C 4 0 .8 0 .2
3 3 1

3

3

3

1

三、几种常见离散型随机变量的概率分布

P (至 少 命 中 3次 ) ? P ( 恰 好 命 中 3次 ) ? P ( 恰 好 命 中 4 次 ) = C 4 0 .8 0 .2 ? C 4 0 .8 0 .2
3 3 1 4 4 0

由此可见,n重贝努利试验中,所研究的事件 在多次试验中“恰好发生k次”的概率,对于研究 试验序列各种复杂的结果有着重要的意义。

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
(2)二项分布 用X表示n重贝努利试验中事件A发生的次数,则
当 X ? k ( 0 ? k ? n ) 时 , 即 A 在 n 次试验中发生了 k 次.

共有

Cn 种,

k

且两两互不相容.
k 次的概率为
k n?k

因此 A 在 n 次试验中发生

C n p (1 ? p )
k

Cn p q
? k Cn p q
k k n?k

k

k

n?k

得 X 的分布律为

X pk

0 q
n 1

1 C n pq
n?1

? ?

n p
n

?

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
P{ X ? k } ? C n p
k k

?1 ? p ?

n? k

k ? 0,1,?, n

称这样的分布为二项分布,记为 X ~ B( n, p).

二项分布描述的是n重贝努利试验中事件 A 出现的 次数 X 的分布律 .
n重 贝 努 利 试 验 中 , P ( 至 少 发 生 l 次 )= ? C n p (1 ? p )
k k k?l l n n?k

P ( 至 多 发 生 l 次 )= ? C n p (1 ? p )
k k k?0

n?k

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例6 已知100个产品中有5个次品,现从中有放回 地取3次,每次任取1个,求在所取的3个中恰有2 个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次,因此这3 次试验的条 件完全相同且独立,它是贝努利试验. 依题意,每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数, 则 X ~ B(3, 0.05), 于是,所求概率为

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
注意: 若将本例中的“有放回”改为“无放回”, 那么 各次试验条件就不同了, 此试验就不是伯努利试验 . 此时, 只能用古典概型求解.

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例7 按规定 , 某种型号电子元件的使
1500 小时的为一级品 品率为 0 . 2 , 现在从中随机地抽查 用寿命超过 级

. 已知某一大批产品的一

20 只 . 问 20 只元件 ?

中恰有 k 只 ( k ? 0 ,1 , ? , 20 ) 一级品的概率是多少

分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很 大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很 小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.

把检查一只元件是否为一级品看成是一次试 验,检查20只元件相当于做20重贝努利试验.

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
解: 以

X 记 20 只元件中一级品的只数 ,

X ~ b ( 20 , 0 . 2 ), 因此所求概率为
k k 20 ? k

P { X ? k } ? C 2 0 (0 .2 ) (0 .8 )
P { X ? 0 } ? 0 . 012 P { X ? 1 } ? 0 . 058

, k ? 0 , 1, ? , 2 0 .
P { X ? 8 } ? 0 . 022 P { X ? 9 } ? 0 . 007
P { X ? 10 } ? 0 . 002

P { X ? 4 } ? 0 . 218 P { X ? 5 } ? 0 . 175 P { X ? 6 } ? 0 . 109

P { X ? 2 } ? 0 . 137
P { X ? 3 } ? 0 . 205

P { X ? 7 } ? 0 . 055

P { X ? k } ? 0 . 001 ,

当 k ? 11 时

三、几种常见离散型随机变量的概率分布

注意:P(X=4)最大。

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
一般地,若在k0处,概率P{X=k}达到最大(称k0为随 机变量X的最可能值),则k0应满足
? P{ X ? k 0 } ? P { X ? k ? 1} ? 1 ? 0 ? ? P{ X ? k 0 } ? 1 ? P { X ? k 0 ? 1} ?

解上述不等式得(n+1)p-1≤ k0 ≤ (n+1)p 。因为k0必须为整
数,所以
? ( n ? 1) p 和 ( n ? 1) p ? 1, k0 ? ? ? [( n ? 1) p ],

当(n+1)p为整数, 其它,

本例中,n=20,p=0.2, 所以,(n+1)p=4.2, 故k0=4。

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
二项分布与两点分布的关系 1、 二项分布
n ? 1

两点分布

2、 若 X ? B ( n , p ), X i ? B (1, p ), ( i ? 1, 2 , ? , n ),
则 X ?

?

n

Xi ? X1 ? X2 ?? ? Xn.

i?1

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练 习 3 设 X ? B ( 2 , p ), Y ? B ( 3 , p ), 且 P ( X ? 1) ? 求 P ( Y ? 1).
解 : P ( X ? 1) ? 1 ? P ( X ? 0 ) ? 1 ? C 2 p (1 ? p ) ?
0 0 2

5 9
5 9





得 p ?

1 3


0 0 3

P (Y ? 1) ? 1 ? P ( Y ? 0 ) ? 1 ? C 3 p (1 ? p ) ?

19 27

.

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习4 某人进行射击,设每次击中的概率为0.02, 独立射击400次,求至少击中两次的概率是多少?
解:这是一个独立重复试验概型,设击中的次数为 X,则它服从参数为n=400,p=0.02的二项分布,即 X~B(400,0.02),其概率分布为
P { X ? k } ? C 4 0 0 (0.02 ) (0.98 )
k k 400 ? k

( k ? 0, 1, 2, ? , 400 )

P { X ? 2} ?

?

400

C 4 0 0 ( 0 .0 2 ) ( 0 .9 8 )

k

k

400 ? k

k?2

? 1 ? [ P ( X ? 0 ) ? P ( X ? 1)]
? 1 ? [(0 .9 8 )
400

? 4 0 0 ? 0 .0 2 ? (0 .9 8

399

)]

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
4、泊松分布 泊松分布是1837年法国数学家泊松(Poisson) 作为二项分布的近似计算机引入的。近年来日益显 示其重要性,即它不仅是二项分面的泊松近似,它 本身就是一种重要的分布。 若随机变量X全部可能取值为一切非负整数,且
P{X ? k} ?

? e
k

??

,

k ? 0 , 1, 2 , ? ,

k!

其 中 ? ? 0, 则 称 X 服 从 泊 松 分 布 , 记 为 X ? P ( ? ).

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
泊松分布的背景及应用 二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他 们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射 性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数X 服从泊松分布. 在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
二项分布与泊松分布的关系 历史上,泊松分布是作为二项分布的近似,于 1837年由法国数学家泊松引入的 . , 则对固定的 k,有 Possion定理: 设

Poisson定理说明,若X ~ b( n, p), 当n很大p很小时,

二项分布

np ? ? ( n ? ?? )

泊松分布

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
在本节练习3中,如果射手命中率是0.01,连续 射击400次,击中至少两次的概率为
P ( X ? 2 ) ? 1 ? [(0.99 )
400

? 400(0.01)(0.99 )

399

]

由于n=400较大,p=0.01较小,因此可用泊松分布 近似计算,即
P(X ? k) ?

?

i

e

??

, ? ? np ? 4

k!

于是

P ( X ? 2 ) ? 1 ? P ( X ? 0 ) ? P ( X ? 1) ?1? 4
0

e

?4

?

4

1

e

?4

? 0 .9 0 8 4 2 1

1!

1!

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例8 某商店出售某种贵重商品,根据以往经验,每 月销售量 X 服从参数λ=3 的泊松分布,问在月初进货 时要库存多少件此商品,才能以99%的概率充分满足 顾客的需要? 解:设月初库存k件,则
P( X ? i) ? 3
i

e

?3

, i ? 0 , 1, 2 , ?

i!

P(X ? k) ?

?

k

3

i

e

?3

? 0 .9 9 ,

i?0

i!



i? k ?1

?

?

3

i

e

?3

? 0 .0 1,

i!

查表,得 k+1=9,即 k=8.

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习5 独立射击5000次, 命中率为0.001,
求 (1) 最可能命中次数及相应的概率;

(2) 命中次数不少于1 次的概率. (至少命中1次的概率)
解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] =5

三、几种常见离散型随机变量的概率分布

(2) 令X 表示命中次数, 则 X ~ B(5000, 0.001)

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
利用Poisson定理再求练习4
解 令X 表示命中次数, 则 令 此结果与用二项分布算得的结果0.9934仅相差万 分之一. 启示 小概率事件虽不易发生,但重复次数多了, 就成大概率事件. X ~ B( 5000, 0.001 )

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
5、超几何分布 X ? H ( N , M , n )
P( X ? k ) ? CN CN
1

k

n ?k
2

CN

n

, ( N ? N1 ? N 2 , k ? 0,1, 2,?, min{n, N1})

在抽样理论中 (1) 有放回抽取,抽取的次品数服从二项分布 (参数n为抽取数,p是次品率). (2) 无放回抽取,抽得的次品数服从超几何分布 (N为产品总数,M为次品总数,n是抽取数).

三、几种常见离散型随机变量的概率分布
6、几何分布 X ? G ( p )
P( X ? k ) ? q
k ?1

p, ( p ? q ? 1, k ? 1, 2,?)

注:在n重伯努利试验中
若 X ? n 次 试 验 中 事 件 A 发 生 的 次 数 , 则 X ? B ( n , p ). 若 X ? n 次 试 验 中 A 首 次 发 生 的 次 数 , 则 X ? G ( p ).

四、随堂练习

四、随堂练习

5.有加以两种味道和颜色都极为相似的名酒各4 杯,如果从中挑4杯即能将甲种酒全部挑出来算 试验成功一次。 (1)某人随机去试,求其试验成功一次的概率。 (2)某人声称他具有品酒能力,连续独立试验10次 成功3次,试推断此人是否具有品酒能力。

四、随堂练习

解:

四、随堂练习

解:

四、随堂练习

F(x) = P(X

x)

四、随堂练习


四、随堂练习

解:

四、随堂练习

四、随堂练习
{ X ? 2}

{ X ? 3} { X ? 3} { X ? 1}
解:

四、随堂练习

四、随堂练习
5.有加以两种味道和颜色都极为相似的名酒各4 杯,如果从中挑4杯即能将甲种酒全部挑出来算 试验成功一次。 (1)某人随机去试,求其试验成功一次的概率。 (2)某人声称他具有品酒能力,连续独立试验10次 成功3次,试推断此人是否具有品酒能力。
( 2 )如 C 4 假 设 此 人 没 有 品 酒 能 力 , 鉴 别 只 是 随 机 的 。 果 (1) ? 1 4 70 C8 10次 试 验 视 为 10重 贝 努 利 试 验 1 3 69 7 3 ?4 P ( X ? 3 ) ? C 10 ( ) ( ) ? 3 .1 6 ? 1 0 ( 小 概 率 事 件 ) 70 70
4

小概率事件的发生意味着鉴别成功绝非偶然。


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