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3.12 用二分法求方程的近似解

复习旧知
复习提问:什么叫函数的零点?零点的 等价性什么?零点存在性定理是什么?
零点概念:对于函数y=f(x),我们把使 f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

方程f(x)有实数根?函数y=f(x)的图象与 x轴有交点?函数y=f(x)有零点 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0,那么, 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在 c∈(a,b),使得f(c )=0,这个c也就是方程 f(x)=0的根.

智力游戏
8只球中有一只假球,假球比真球略轻. 现有一座无砝码的天平,如何用较少的 次数称出这只假球?

分组讨论

从某水库闸房到防洪指挥部的某一处 电话线路发生了故障。这是一条 10km长的线路,如何迅速查出故障 所在?

如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B, 1.首先从中点C查 2.用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定 故障在BC段 3.再到BC段中点D 4.这次发现BD段正常,可见故障在CD段 5.再到CD中点E来看 6.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半

A

C

E

D

B

二、方法探究
(1)不解方程,如何求方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 的一个
正的近似解.(精确度为0.1)

解:设f ( x) ? x 2 ? 2 x ?1
10 8 6 4 y=x^2-2x-1 2 0 -3 -2 -1 -2 -4 0 1 2

?

3

4

5

例1.不解方程,求方程X2-2X-1=0的一个正近似解
分析:设

f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1

先画出函数图象的简图,

y

y=x2-2x-1

如何进一步有效缩小根所在的区间?
第一步:得到初始区间(2,3) 第二步:取2与3的平均数2.5 第三步:再取2与2.5的平均数2.25 如此继续取下去:

x
-1 0 1 2 3

2.25 2
2.5

2

2.5

3

二、方法探究 +
2 2 + 2.5 + 3 3 f(2)<0,f(3)>0

?2<x1<3

f(2)<0,f(2.5)>0 ? 2<x1<2.5 f(2.25)<0,f(2.5)>0 ?2.25<x1<2.5 f(2.375)<0,f(2.5)>0? 2.375<x1<2.5
f(2.375)<0,f(2.4375)>0 ?2.375<x1<2.4375

2
2 2

2.25 2.5 - +
2.375 2.5 - + 2.375 2.4375

3
3 3

∵2.4375-2.375〈0.1 ∴此方程的近似解为x=2.4375 若要求精确确到0.01,则何时停止操作?

研讨新知
我们已经知道,函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3) 内有零点;进一步的问题是,如何找到这个 零点呢?
如果能够将零点的范围尽量缩小, 那么在一定精确度的要求下,我们 我要说 可以得到零点的近似值. 我要问
我来说

请看下面的表格:
区间 端点的符号 中点的值
中点函数值 的符号

(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75)

f(2)<0, f(3)>0

2.5

f(2.5)<0 f(2.75)>0 f(2.625)>0

f(2.5)<0, f(3)>0 2.75 f(2.5)<0, f(2.75)>0 2.625

f(2.5)<0, (2.5,2.625) f(2.625)>0 f(2.5)<0, (2.5,2.5625) f( 2.5625)>0

2.5625 f(2.5625)>0

2.53125 f(2.53125)<0

表续

(2.53125, 2.5625)

f(2.53125)<0, f( 2.5625)>0

2.546875

f(2.546875) >0

(2.53125, 2.546875)

f(2.53125)<0, 2.5390625 f(2.5390625 )>0 f(2.546875)>0

(2.53125, f(2.53125)<0, 2.5351562 f(2.5351562 5)>0 2.5390625) f(2.5390625)> 5 0

例 根据下表计算函数f (x) ? lnx ? 2x ? 6 在区 间(2,3)内精确到0.01的零点近似值?
区间(a,b)
f(m)的近似 精确度|a中点值m 值 b|

(2,3) 2.5 -0.084 1 (2.5,3) 2.75 0.512 0.5 (2.5,2.75) 2.625 0.215 0.25 (2.5,2.625) 2.562 5 0.066 0.125 (2.5,2.562 5) 2.531 25 -0.009 0.0625 (2.531 25,2.562 2.546 875 0.029 0.03125 5) 解:观察上表知:0.007813<0.01, (2.531 25,2.546 给这种方法取个名字? 2.539 062 5 0.01 0.015625 875) 所以x=2.53515625≈2.54为函数 (2.531 25,2.539 f(x)=lnx+2x-6零点的近似值。 0.001 2.535 156 25 0.007813

二、方法探究
(1)能否简述上述求方程近似解的过程? 将方程的有根区间对分,然后再选择比原区间 缩小一半的有根区间,如此继续下去,直到满足 精度要求的根为止。 (2)二分法(bisection method): 像上面这种求方程近似解的方法称为二分法, 它是求一元方程近似解的常用方法。运用二分法的 前提是要先判断某根所在的区间。

对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a).f(b)<0的函数y=f(x),通过不断的 把函数f(x)的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点,进 而得到零点近似值的方法叫做二分法 (bisection )

用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:

1、 确定区间[a,b],验证f(a).f(b)<0,给定精确度ε ; 2、求区间(a,b)的中点x1, 3、计算f(x1)
若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;
若f(a).f(x1)<0,则此时零点x0∈(a, x1) 若f(x1).f(b)<0,则此时零点x0∈( x1,,b)

4、判断是否达到精确度ε ,即若|a-b|< 则得到零点近似值a(或b),否则重复2~4

ε

例2 借助计算器或计算机用二分法求方 程2x+3x=7的近似解(精确度0.1) 解:原方程即2x+3x=7,令f(x)= 2x+3x-7, 用计算器作出函数f(x)= 2x+3x-7的对应值表 和图象如下:
x f(x) 0 1 2 3 4 5 -6 -2 3 10 21 40 6 75 7 142 8 273

函数未命名.gsp图象

因为f(1)· f(2)<0所以 f(x)= 2x+3x-7在 (1,2)内有零点x0,取(1,2)的中点 x1=1.5, f(1.5)= 0.33,因为f(1)· f(1.5)<0 所以x0 ∈(1,1.5) 取(1,1.5)的中点x2=1.25 ,f(1.25)= -0.87, 因为f(1.25)· f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5)

同理可得, x0∈(1.375,1.5),x0∈ (1.375,1.4375),由于 |1.375-1.4375|=0.0625〈 0.1 所以,原方程的近似解可取为1.4375

思考:对下列图象中的函数,能否用二 分法求函数零点的近似值?为什么?
y
不行,因为不满足 f(a)*f(b)<0

y

o x

o

x

用二分法求解方程的近似解:
1、确定区间[a,b],验证f(a)*f(b)<0,给定精确度ε 2、求区间(a,b)的中点x1 3、计算f(x1); (1) 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点 (2) 若f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a,x1)) (3) 若f(x1)>0,则令a= x1(此时零点x0∈(x1,b)) 4、判断是否达到精确度ε,即若|a-b|< ε,则得到零点 的近似值a(或b);否则得复2~4

四、归纳总结
用二分法求方程f(x)=0(或g(x)=h(x))近似解基本步骤: 1、寻找解所在区间

(1)图象法
先画出y=f(x)图象,观察图象与x轴交点横坐标 所处的范围;或画出y=g(x)和y=h(x)的图象,观察 两图象的交点横坐标所处的范围。 (2)函数性态法 把方程均转换为f(x)=0 的形式,再利用函数 y=f(x)的有关性质(如单调性),来判断解所在 的区间。

课堂小结
算法:如果一种计算方法对某一类问题(不是个别
问题)都有效,计算可以一步一步地进行,每一 步都能得到惟一的结果,我们常把这类问题的求 解过程叫做解决这类问题的一种算法。

算法特点:算法是刻板的、机械的,有时要进行大
量的重复计算,但它的优点是一种通法,只要按 部就班地去做,总会算出结果。更大的优点是它 可以让计算机来实现。

作业
P92习题3.1A组:

3,4,5题


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