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高中数学 1-5-1~3正弦函数的图像 正弦函数的性质活页训练 北师大版必修4


【创新设计】2013-2014 学年高中数学 1-5-1~3 正弦函数的图像 正 弦函数的性质活页训练 北师大版必修 4
双基达标 ?限时 20 分钟? 1.用五点法作函数 y=2sin 2x 的图像时,首先应描出的五点横坐标可以是( π 3π A.0, ,π , ,2π 2 2 C.0,π ,2π ,3π ,4π π π 3π B.0, , , ,π 4 2 4 π

π π 2π D.0, , , , 6 3 2 3 ).

π 3π π π 3π 解析 令 2x=0, ,π , ,2π ,解得 x=0, , , ,π . 2 2 4 2 4 答案 B 2.函数 y=sin x(x∈R)图像的一条对称轴是( A.x 轴 C.直线 y=x ). B.y 轴 π D.直线 x= 2

π 解析 画出 y=sin x 的图像,观察知 x= 是对称轴. 2 答案 D 1+m 3.使 sin x= 有意义的 m 的值为( 1-m A.m≥0 C.-1<m<1 1+m 解析 由题意,得-1≤ ≤1,解得 m≤0. 1-m 答案 B 4.在[0,2π ]上,满足 sin x≥ 2 的 x 的取值范围为________. 2 ). B.m≤0 D.m<-1 或 m>1

? π 3π ? 解析 可画出 y=sin x,x∈[0,2π ]的图像或单位圆,由图知所求范围为? , ?. 4 ? ?4 ?π 3π ? 答案 ? , ? 4 ? ?4
5π ? ?π 5.已知函数 y=2sin x? ≤x≤ ?的图像与直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,那么此 2 2 ? ? 封闭图形的面积为________. 解析 数形结合,如图所示.

1

? y=2sin x,x∈? ,
π

?2

5π ? π ?的图像与直线 y=2 围成的封闭平面图形面积相当于由 x= 2 ,x 2 ?

π? 5 ?5 = π ,y=0,y=2 围成的矩形面积,即 S=? π - ?×2=4π . 2? 2 ?2 答案 4π 3 1 6.若函数 y=a-bsin x 的最大值是 ,最小值是- ,求函数 y=-4asin bx 的最大值与最 2 2 小值及周期. 解 ∵-1≤sin x≤1,当 b>0 时,-b≤bsin x≤b. ∴a-b≤a-bsin x≤a+b, 3 ? ?a+b=2, ∴? 1 ? ?a-b=-2, 1 ? ?a= , 解得? 2 ? ?b=1,

∴所求函数为 y=-2sin x. 当 b<0 时,b≤bsin x≤-b, ∴a+b≤a-bsin x≤a-b. 3 ? ?a-b=2, ∴? 1 a+b=- , ? ? 2 1 ? ?a= , 解得? 2 ? ?b=-1,

∴所求函数为 y=-2sin(-x)=2sin x. ∴y=±2sin x 的最大值是 2,最小值是-2,周期是 2π . 综合提高 ?限时 25 分钟? 2π ? ?π 7.函数 y=sin x? ≤x≤ ?的值域是( 3 ? ?6 A.[-1,1] 3? ?1 C.? , ? ?2 2 ? ).

?1 ? B.? ,1? ?2 ?
D.?

? 3 ? ,1? ?2 ?

2 ? ?π 解析 画出函数 y=sin x? ≤x≤ π ?的图像,利用图像直接观察. 3 ? ?6 答案 B
2

? π? 8.已知函数 f(x)=sin?x- ?(x∈R),下面结论错误的是( 2? ?
A.函数 f(x)的最小正周期为 2π

).

? π? B.函数 f(x)在区间?0, ?上是增函数 2? ?
C.函数 f(x)的图像关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数

? π? 解析 ∵y=sin?x- ?=-cos x, 2? ?
∴T=2π ,故 A 正确;

y=cos x 在?0, ?上是减函数,y=-cos x 在?0, ?上是增函数,故 B 正确; 2 2

? ?

π?

?

? ?

π?

?

由图像知,y=-cos x 关于直线 x=0 对称,故 C 正确;

y=-cos x 是偶函数,故 D 错误.
答案 D 9.函数 y=|sin x|的单调增区间是____________. π? ? 解析 由 y=|sin x|图像易得函数单调递增区间为?kπ ,kπ + ?,k∈Z. 2? ? π? ? 答案 ?kπ ,kπ + ?,k∈Z 2? ?

? π? 10.若 f(x)=2sin ω x(0<ω <1)在区间?0, ?上的最大值是 2,则 ω =________. 3? ? ? π ? 即 0≤x≤π ,且 0<ω <1,∴0≤ω x≤ω π <π .∵f(x) =2sinω π = 解析 ∵x∈?0, ?, max 3? 3 3 3 3 ?
2,∴sin 答案 3 4 |sin x|, ωπ 2 ωπ π 3 = , = ,即 ω = . 3 2 3 4 4

11.已知函数 f(x)= (1)求其定义域和值域; (2)判断奇偶性;

(3)判断周期性,若是周期函数,求最小正周期; (4)写出单调区间. 解 (1)由题意得 sin x≠0,∴x≠kπ ,k∈Z, ∴定义域是{x|x≠kπ ,k∈Z}. 1 ∵0<|sin x|≤1,∴log |sin x|≥0, 2
3

∴函数的值域是{y|y≥0}. (2)∵f(-x) = |sin(-x)| = |sin x|=f(x).

∴函数 f(x)是偶函数. (3)∵|sin x|在定义域{x|x≠kπ ,k∈Z}内是周期函数,且最小正周期是 π .(也可画出图 像,然后求周期) ∴函数 f(x)== |sin x|是周期函数,最小正周期为 π .

π ? ? (4)单调增区间是?kπ - ,kπ ?(k∈Z); 2 ? ? π? ? 单调减区间是?kπ ,kπ + ?(k∈Z). 2? ? 12.(创新拓展)判断函数 f(x)=ln(sin x+ 1+sin x)的奇偶性. 解 ∵sin x+ 1+sin x≥sin x+1≥0, 若两处等号同时取到, 则 sin x=0 且 sin x=-1 矛盾, ∴对 x∈R 都有 sin x+ 1+sin x>0. ∵f(-x)=ln(-sin x+ 1+sin x) =ln( 1+sin x-sin x) =ln( 1+sin x+sin x)
2 2 -1 2 2 2 2 2

=-ln(sin x+ 1+sin x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数.

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