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2-3 离散型随机变量及其分布律


§2.3

连续型随机变量及其密 度函数

连续型随机变量X所有可能取值充满 一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能 象离散型随机变量那样, 以指定它取每个 值概率的方式, 给出其概率分布, 而是通 过给出所谓“概率密度函数”的方式.



连续型随机变量概念

1. 连续型r.v及其密度函数的定义 对于随机变量 X ,如果存在非负可积函数 f(x) , x? ( ??,?? ) ,使得对任意 a ? b , 有

P ( a ? X ? b) ? ? f ( x ) dx
a

b

则称 X为连续型r.v,称 f(x)为 X 的概率密度函 数,简称为概率密度或密度.

2. 概率密度函数的性质
1o 2o

f ( x) ? 0

?

?

??

f ( x )dx ? 1
f (x)

这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.

面积为1

o

x

例1 设随机变量X具有概率密度:
? Ke ?3 x f ( x) ? ? ?0
?

x?0 x?0

试求常数K,并求 P( X ? 0.1) 。 解 由于 ? f ( x)dx ? 1,
??

即有? Ke?3 x dx ? 1.
0

?

解得K=3。于是X的概率密度为:
?3e ?3 x f ( x) ? ? ?0 x?0 x?0

?

P ( X ? 0.1) ? ?

? f ( x)dx
?

0.1

3e ?3 x dx ? 0.7408 ?

0.1

3. 对 f(x)的进一步理解: f (x)

x o 要注意的是,密度函数 f (x)在某点处a 的值,并不反映X取值的概率. 但是,这个 值越大,则X取a附近的值的概率就越大. 也可以说,在某点密度曲线的高度反映了 概率集中在该点附近的程度.

若不计高阶无穷小,有:

P{x ? X ? x ? ?x} ? f ( x ) ?x
它表示随机变量 X 取值于 ( x , x ? ?x ] 的 概率近似等于 f ( x ) ?x .
f ( x ) ?x 在连续型r.v理论中所起的作用与

P ( X ? xk ) ? pk 在离散型r.v理论中所起的

作用相类似.

需要指出的是:
连续型r.v取任一指定值的概率为0.

即:

P ( X ? a ) ? 0,

a为任一指定值

这是因为

P ( X ? a ) ? lim P ( a ??x ? X ? a )
?x ? 0

? lim ?

a

?x ? 0 a ??x

f ( x ) dx

?0

由此得, 1) 对连续型 r.v X,有

P (a ? X ? b) ? P (a ? X ? b)

? P (a ? X ? b) ? P (a ? X ? b)

2) 由P(X=a)=0 可推知
由P(A)=0, 不能推出 A ? ? 因为 {X=a} 并非不可能事件 称A为几乎不可能事件,

由于连续型 r.v唯一被它的密度函数所确 定. 所以,若已知密度函数,连续型 r.v 的概率规律就得到了全面描述.
f (x)

o

x



几个常见连续型r.v的分布



均匀分布

f ( x)

若 r.vX的概率密度为:
? 1 ? , a? x?b f ( x) ? ? b ? a ? 0, 其它 ?

a

b

则称X服从区间( a, b)上的均匀分布,记作: X ~ U(a, b)

它的实际背景是: r.v X 取值在区间 (a, b) 上,并且取值在(a, b)中任意小区间 内的概率与这个小区间的长度成正比. 则 X服从(a,b)上的均匀分布. 如:乘客到达汽车站的时间等服从均匀 分布.

例2 某公共汽车站从上午7时起,每15分钟 来一班车,即 7:00、7:15、7:30等时刻有汽车 到达此站,如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车 时间少于5 分钟的概率. 解:以7:00为起点0,以分为单位
依题意, X ~ U ( 0, 30 )
?1 ? , 0 ? x ? 30 f ( x ) ? ? 30 ? 0, 其它 ?

从上午7时起,每15分钟来一班车,即 7:00, 7:15,7:30等时刻有汽车到达汽车站,

为使候车时间X少于 5 分钟,乘客必须在 7:10 到 7:15 之间,或在7:25 到 7:30 之间到 达车站.

所求概率为:
P {10 ? X ? 15} ? P {25 ? X ? 30}
30 1 1 1 ?? dx ? ? dx ? 10 30 25 30 3 15

?1 ? , 0 ? x ? 30 f ( x ) ? ? 30 ? 0, 其它 ?

即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.



指数分布

若 r.v X具有概率密度

?? e f ( x) ? ? ?0

?? x

x?0 x?0

? ?0

则称 X 服从参数为 ? 的指数分布.
某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿 命等都服从指数分布.

3 正态分布
正态分布是应用最 广泛的一种连续型分布. 德莫佛最早发现了二项概 率的一个近似公式,这一公式 被认为是正态分布的首次露面.
德莫佛

正态分布在十九世纪前叶由 高斯加以推广,所以通常称为高 斯分布.

在正常条件下各种产品的质量指标,如零件 的尺寸;纤维的强度和张力;某地区成年男 子的身高、体重;农作物的产量;测量误差; 射击目标的水平或垂直偏差;信号噪声等等, 都服从或近似服从正态分布.

(1)、正态分布的定义
若r.v X的概率密度为
? ( x ? ? )2 2? 2

f ( x) ?

1 2??

e

, ?? ? x ? ?

? 和 ? 2 都是常数, ? >0, 其中 2 则称X服从参数为 ? 和 ? 的正态分布.
记作 X ~ N ( ? , ? 2 )
1 e 可以证明 ??? ? 2?
? ( x ? ? )2 ? 2? 2

dx ? 1,

正态分布 N ( ? , ? ) 的图形特点
2

f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.

正态分布的密度曲线是一条关于 ? 对 称的钟形曲线.

正态分布 N ( ? , ? ) 的图形特点
2

特点是“两头小,中间大,左右对称”.

? 决定了图形的中心位置,? 决定了图形
中峰的陡峭程度.

(2)、标准正态分布

? ? 0, ? ? 1 的正态分布称为标准正态分布. 记作 表示: X ~ N (0,1) 其密度函数用 ?(x )
1 ? ( x) ? e 2?
? ( x)

x2 ? 2

, ??? x ??

标准正态分布的重要性在于,任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布.

定理 1
设 X ~ N ( ? , ? ) ,则 Y ?
2

X ??

?

~N(0,1)

根据定理1,只要编制标准正态分布表, 就可以解决一般正态分布的概率计算问题.

(3)、正态分布表
P{ X ? x}?
x 1 ??? e 2? σ ( t ? μ )2 ? 2σ 2

原函数不是 d t 初等函数

??

书末附有标准正态分布,表 中给出的是x>0时, Φ(x)的值.

1 ?( x) ? 2?
?x
x

?

x

??

e dt

t2 ? 2

有了它,可以解决一般正 态分布的概率计算.

当-x<0时

?(? x) ? 1 ? ?( x)
1 证明 ? (? x) ? ? e dx ?? 2 2? x2 x x2 x ? ? 1 ?2 1 ?2 1 ?2 e dx ?? e dx? ? e d x ?? ?? x ?? 2? 2? 2? ? 1 ? ?( x).
?x x2 ? 2

若 X~N(0,1),

P (a ? X ? b) ? ? (b) ? ? (a)
若 X ~ N ( ? , ? ), Y ?
2

X ??

?

~N(0,1)

P (a ? X ? b) ? P (

a??

?
b??

?Y ? ) ? ?(

b??

?
a??

) )

? ?(

?

?

例3 已知 X ~ N (0,1), 求 P(1.25 ? X ? 2).



P(1.25 ? X ? 2) ? ?(2) ? ?(1.25)

? 0.9772 ? 0.8944 ? 0.0828 .

例4 设 X ~ N (10,36) ,计算:
(1) P( X ? 5);



5 ? 1 ? ?( ) ? 1 ? ?(0.83) ? 1 ? 0.7967 ? 0.2033; 6

(2) P( X ? 1 ? 4). 5 ? 10 5 (1) P( X ? 5) ? ?( ) ? ?( ? ) 6 6

(2) P( X ? 1 ? 4) ? P(?3 ? X ? 5) 5 ? 10 ?3 ? 10 ? ?( ) ? ?( ) 6 6 5 13 13 5 ? ?( ? ) ? ?( ? ) ? ?( ) ? ?( ) 6 6 6 6
? 0.9850 ? 0.7967 ? 0.1883.

至此,我们已初步介绍了两类重要的随 机变量: 离散型r.v和连续型r.v
对它们分别用概率分布和密度函数描述 .
P(x)
f (x)

o

x

o

x

能不能对它们给出一种统一的描述方 法? 这就是下一节要介绍的分布函数.


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