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东三省2016高三数学理科模拟试题及答案


2016 年高三第一次联合模拟考试 理科 第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求) 1.若集合 A ? [2,3] , B ? {x | x 2 ? 5 x ? 6} ,则 A ? B ? A. {2,3} B. ? C.2 2.若复数 z 满足 zi = 1 + i,则 z 的共轭复数是 A.-1 - i B.1 + i C.-1 + i 3.若 m = 6,n = 4,按照如图所示的程序框图运行后,输出 的结果是 1 A. B.100 100 C.10 D.1 4.已知向量 a,b 满足 a ? b ? (1, ?3) , a ? b ? (3, 7) , a ? b ? A.-12 C.12 B.-20 D.20 D. [2,3] D.1 - i

?2 x ? 2, x ? 0 5.若函数 f ( x) ? ? x ,则 f ( f (1)) 的值为 ?2 ? 4, x ? 0

B.10 C.-2 D.2 1 1 6.设 a, b ? R ,若 p : a ? b , q : ? ? 0 ,则 p 是 q 的 b a A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ? 7.若点 P(cos ? ,sin ? ) 在直线 y ? ?2 x 上,则 cos(2? ? ) 的值等于 2 4 4 3 3 A. ? B. C. ? D. 5 5 5 5 8.数学活动小组由 12 名同学组成,现将 12 名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且 每组只研究一个课题,并要求每组选出一名组长,则不同的分配方案的种数为 A. C.
3 3 3 C12 C9 C6 4 A4 3 A3

A.-10

3 3 3 4 C9 C6 3 B. C12

3 3 3 C12 C9 C6 3 4 4 A4

3 3 3 C93C6 4 D. C12

9.从某大学随机抽取的 5 名女大学生的身高 x(厘米)和体重 y(公斤)数据如下表 x 165 160 175 155 43 170 60 D.104.4 y 58 52 62 ? ? 0.92 x ? a ? ,则 a ?? 根据上表可得回归直线方程为 y

A.-96.8 B.96.8 C.-104.4 10.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 7 17 A. B. 3 2 17 ? 3 10 C.13 D. 2
-1-

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c, 0) , F2 (c, 0) ,M,N 两点在 a 2 b2 双曲线 C 上,且 MN∥F1F2, | F1 F2 |? 4 | MN | ,线段 F1N 交双曲线 C 于点 Q,且 | F1Q |?| QN | , 则双曲线 C 的离心率为 B.2 A. 3 C. 5 D. 6 12 .已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 的图象为一条连续不断的曲线, f (1 ? x) ? f (1 ? x) , 且当 0 < x < 1 时, f ( x) 的导函数 f ?( x) 满足: f ?( x) ? f ( x) , 则 f ( x) 在 [2015, 2016] 上 f (1) ? a ,
11.双曲线 C: 的最大值为 A.a B.0 C.-a D.2016

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题 ~ 第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答,第 22 题 ~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) ?x ? y ? 1 ? 0 ? 13.若实数 x,y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值是__________。 ?x ? 0 ? 14.已知三棱锥 P-ABC,若 PA,PB,PC 两两垂直,且 PA = 2,PB = PC = 1,则三棱锥 P-ABC 的内切球半径为__________。 15.已知圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 与抛物线 y 2 ? mx(m ? 0) 的准线交于 A、B 两点,且 | AB |? 2 3 ,则 m 的值为__________。 ??? ? ???? ??? ? ? 16.已知 ΔABC 满足 A ? , ( AB ? AC ) ? BC ? 0 ,点 M 在 ΔABC 外,且 MB = 2MC = 2,则 3 MA 的取值范围是__________。 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 3 1 已知数列 {an } 满足 a1 ? ,且 an ?1 ? 3an ? 1 , bn ? an ? 。 2 2 (1)求证:数列 {bn } 是等比数列; b ?1 (2)若不等式 n ? m 对 ?n ? N * 恒成立,求实数 m 的取值范围。 bn ?1 ? 1 18. (本小题满分 12 分) 在某批次的某种日光灯管中,随机地抽取 500 个样品,并对其寿命进行追踪调查,将结 果列成频率分布直方图如下。根据寿命将灯管分成优等品、正品和次品三个等级,其中寿命 大于或等于 500 天的灯管是优等品,寿命小于 300 天的灯管是次品,其余的灯管是正品。

(1)根据这 500 个数据的频率分布直方图,求出这批日光灯管的平均寿命;
-2-

(2)某人从这个批次的灯管中随机地购买了 4 个进行使用,若以上述频率作为概率,用 X 表示此人所购买的灯管中优等品的个数,求 X 的分布列和数学期望。 19. (本小题满分 12 分) 如图,菱形 ABCD 中,∠ABC = 60° ,AC 与 BD 相交于点 O, AE⊥平面 ABCD,CF∥AE,AB = AE = 2。 (1)求证:BD⊥平面 ACFE; (2) 当直线 FO 与平面 BED 所成角的大小为 45° 时, 求 CF 的 长度。

20. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 3 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且点 ( 2, ) 在 C 上。 2 a b 2 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l 经过点 P(1, 0) ,且与椭圆 C 有两个交点 A、B,是否存在直线 l0:x = x0(其中 d | PA | x0 > 2) ,使得 A、B 到 l0 的距离 dA、dB 满足 A ? 恒成立?若存在,求 x0 的值;若不存在, d B | PB | 请说明理由。 21. (本小题满分 12 分)
已知椭圆 C: 已知函数 f ( x) ? e x ? ax 2 ,曲线 y ? f ( x) 在 x = 1 处的切线方程为 y ? bx ? 1 。 (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f ( x) 在 [0,1] 上的最大值; (3)证明:当 x > 0 时, e x ? (1 ? e) x ? x ln x ? 1 ? 0

请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目 对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答 第一题评分。 22. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 1:几何证明选讲 如图,EF 是⊙O 的直径,AB∥EF,点 M 在 EF 上,AM、BM 分别交⊙O 于点 C、D。设⊙O 的半径是 r,OM = m。 (1)证明: AM 2 ? BM 2 ? 2(r 2 ? m 2 ) ; AM BM (2)若 r = 3m,求 的值。 ? CM DM

23. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 4:坐标系与参数方程

-3-

? x ? 2 cos ? 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程是 y = 8,圆 C 的参数方程是 ? (φ 为参 ? y ? 2 ? 2sin ? 数) 。以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。 (1)求直线 l 和圆 C 的极坐标方程;

(2)射线 OM:θ = α(其中 0 ? a ? ON: ? ? ? ?

?
2

)与圆 C 交于 O、P 两点,与直线 l 交于点 M,射线
| OP | | OQ | 的最大值。 ? | OM | | ON |

?
2

与圆 C 交于 O、Q 两点,与直线 l 交于点 N,求

24. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? m? | x ? 3 | ,不等式 f ( x) ? 2 的解集为 (2, 4) 。 (1)求实数 m 的值; (2)若关于 x 的不等式 | x ? a |? f ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围。

2016 年东北三省三校第一次高考模拟考试

理科数学参考答案
一、选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 A 5 C 6 B 7 B 8 B 9 A 10 C 11 D 12 C

(注:11 题∵e > 4,∴D 选项也不正确,此题无答案。建议:任意选项均可给分) 二、填空题 13.2 15.8 16.3 14. 6? 三、解答题 17.解: (1)证明:∵ an ?1 ?
1 3 1 ? 3an ? ? 3(an ? ) 2 2 2

……3 分

b1 ? a1 ?

b 1 ? 1 ? n ?1 ? 3 , bn 2

所以数列 ?bn ? 是以 1 为首项,以 3 为公比的等比数列;….6
-4-


n ?1 3n ?1 ? 1 bn ? 1 1 4 b ? 3 n (Ⅱ)解:由(1)知, ,由 ? m ,即 ? ? m得 n ? m ,…9 n 3 ?1 bn ?1 ? 1 3 3 ? 3 ? 1?

分 设 cn ?

1 4 ,所以数列 ?cn ? 为减数列, ? cn ?max ? c1 ? 1 , ? n 3 3 ? 3 ? 1?

?m ? 1

…….12 分 18 解: (Ⅰ)平均数为

50 ? 0.05 ? 150 ? 0.1 ? 250 ? 0.15 ? 350 ? 0.3 ? 450 ? 0.15 ? 550 ? 0.2 ? 650 ? 0.05 ? 370
………….4 分 (Ⅱ) X 的所有取值为 0,1, 2,3, 4 . ……….5 分

由 题 意 , 购 买 一 个 灯 管 , 且 这 个 灯 管 是 优 等 品 的 概 率 为 0.20 ? 0.05 ? 0.25 , 且

? 1? X ~ B ? 4, ? ? 4?
k ?1? P ( X ? k ) ? C4 ? ? ?4?
0

k

?3? ?? ? ?4?
1 4
4

4?k

(k ? 0,1, 2,3, 4)

81 , 256 1 1 108 27 P( X ? 1) ? C1 ? (1 ? )3 ? ? , 4? 4 4 256 64 1 2 1 2 54 27 P( X ? 2) ? C2 ? , 4 ? ( ) (1 ? ) ? 4 4 256 128 1 3 1 1 12 3 P( X ? 3) ? C3 ? , 4 ? ( ) (1 ? ) ? 4 4 256 64 1 4 1 0 1 P( X ? 4) ? C4 . 4 ? ( ) (1 ? ) ? 4 4 256 以随机变量 X 的分布列为:
所以 P ( X ? 0) ? C 4 ? (1 ? ) ?

X

0

1

2

3

4

P
所以 X 的数学期望 E ( X ) ? 4 ?

81 256

27 64

27 128

3 64

1 256

……………………….10 分

1 ? 1 .…….12 分 4 19.(Ⅰ)证明:?四边形 ABCD 是菱形, ? BD ? AC . Q AE ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD
-5-

? BD ? AE . Q AC ? AE ? A , ? BD ? 平面 ACFE .………….4 分
(Ⅱ)解:如图以 O 为原点, OA, OB 为 x, y 轴正向, z 轴过 O 且平行于 CF ,建立空间直角 坐标系.则

uuu r .…………6 分 B(0, 3, 0), D(0, ? 3, 0), E (1, 0, 2), F ( ?1, 0, a)( a ? 0) , OF ? (?1, 0, a)
设平面 EDB 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

r

r 则有 r uuu

? ?n ? OB ? 0 r ? r uuu ? ?n ? OE ? 0
o

,即

? 3y ? 0 ? ? ? ?x ? 2z ? 0

令 z ? 1, r n ? (?2, 0,1)

.…………8 分

uuu r r uuu r r 1 | OF ? n | |2?a| 2 r r ? ? 由题意 sin 45 ?| cos ? OF , n ?|? uuu 解得 a ? 3 或 ? . 2 2 3 | OF || n | a ?1 5
由 a ? 0 ,得 a ? 3 . …….12 分

20. 解:

? ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ?a ? 2. ? ? x2 3 ?c ? y2 ? 1. (Ⅰ)由题意得 ? ? 解得 ?b ? 1, 所以 C 的方程为 , 4 a 2 ? ? ?c ? 3. 1 ? ?2 2 ? 2 ? 2 ? 1. ?a b
…….4 分 (Ⅱ)存在 x0 .当 x0 ? 4 时符合题意. 当直线 l 斜率不存在时, x0 可以为任意值.

? y ? k ( x ? 1), ? 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,点 A , B 满足: ? x 2 2 ? ? y ? 1. ?4 2 2 2 2 2 2 2 所以 x A , xB 满足 x ? 4k ( x ? 1) ? 4 ,即 (4k ? 1) x ? 8k x ? 4k ? 4 ? 0 .

-6-

? ?? ? (8k 2 ) 2 ? 4(4k 2 ? 1)(4k 2 ? 4) ? 0, ? 8k 2 ? 所以 ? x A ? xB ? , 4k 2 ? 1 ? ? 4k 2 ? 4 x x ? . ? A B 4k 2 ? 1 ? 不妨设 x A ? 1 ? xB ,
因为 d A ? | PB | ? d B ? | PA |?

………8 分

1 ? k 2 [| x0 ? x A | ? | xB ? 1| ? | x0 ? xB | ? | x A ? 1|]

? 1 ? k 2 [2 x0 ? ( x0 ? 1)( x A ? xB ) ? 2 x A xB ] ? 0
从而 2 x0 ?

8( x0 ? 1)k 2 8(k 2 ? 1) ? ? 0 .整理得 2 x0 ? 8 ? 0 ,即 x0 ? 4 . 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

综上, x0 ? 4 时符合题意.…….12 分
21.解: (Ⅰ) f '( x) ? e ? 2ax ,由题设得, f '(1) ? e ? 2a ? b , f (1) ? e ? a ? b ? 1 ,
x

解得, a ? 1, b ? e ? 2 .

…….4 分
x 2 x

(Ⅱ)法 1:由(Ⅰ)知, f ( x) ? e ? x ,? f '( x) ? e ? 2 x ? x ? 1 ? 2 x ? 1 ? x ? 0, x ? ? 0,1? , 故 f ( x) 在 ? 0,1? 上单调递增,所以, f ( x) max ? f (1) ? e ? 1 . 法 2:由(Ⅰ)知, f ( x) ? e ? x ,? f '( x) ? e ? 2 x, f ''( x) ? e ? 2 ,
x 2 x x

? f '( x) 在 ? 0, ln 2 ? 上单调递减,在 ? ln 2, ?? ? 上单调递增,
所以, f '( x) ? f '(ln 2) ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 , 所以, f ( x) 在 ?0,1? 上单调递增,所以, f ( x)max ? f (1) ? e ? 1 . …….7 分

(Ⅲ)因为 f (0) ? 1 ,又由(Ⅱ)知, f ( x) 过点 (1, e ? 1) ,且 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方 程为 y ? (e ? 2) x ? 1 ,故可猜测:当 x ? 0, x ? 1 时, f ( x) 的图象恒在切线 y ? (e ? 2) x ? 1 的 上方. 下证:当 x ? 0 时, f ( x) ? (e ? 2) x ? 1 .
x x 设 g ( x) ? f ( x) ? (e ? 2) x ? 1, x ? 0 ,则 g '( x) ? e ? 2 x ? (e ? 2), g ''( x) ? e ? 2 ,

由(Ⅱ)知, g '( x) 在 ? 0, ln 2 ? 上单调递减,在 ? ln 2, ?? ? 上单调递增,

-7-

又 g '(0) ? 3 ? e ? 0, g '(1) ? 0, 0 ? ln 2 ? 1,? g '(ln 2) ? 0 , 所以,存在 x0 ? ? 0,1? ,使得 g '( x) ? 0 , 所以,当 x ? ? 0, x0 ? ? ?1, ?? ? 时, g '( x) ? 0 ;当 x ? ( x0 ,1) , g '( x) ? 0 , 故 g ( x) 在 ? 0, x0 ? 上单调递增,在 ? x0 ,1? 上单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增. 又 g (0) ? g (1) ? 0,? g ( x) ? e ? x ? (e ? 2) x ? 1 ? 0 ,当且仅当 x ? 1 时取等号.
x 2



e x ? (2 ? e) x ? 1 ? x, x ? 0 . x
x

由(Ⅱ)知, e ? x ? 1 ,故 x ? ln( x ? 1),? x ? 1 ? ln x ,当且仅当 x ? 1 时取等号.

e x ? (2 ? e) x ? 1 ? x ? ln x ? 1 . 所以, x e x ? (2 ? e) x ? 1 ? ln x ? 1 .所以, e x ? (2 ? e) x ? 1 ? x ln x ? x , x

即 即

e x ? (1 ? e) x ? x ln x ? 1 ? 0 成立,当 x ? 1 时等号成立. …….12 分

22. 解: (Ⅰ)作 AA ' ? EF 交 EF 于点 A ' ,作 BB ' ? EF 交 EF 于点 B ' . 因为 A ' M ? OA '? OM , B ' M ? OB '? OM , 所以 A ' M 2 ? B ' M 2 ? 2OA '2 ? 2OM 2 . 从而 AM ? BM ? AA ' ? A ' M ? BB ' ? B ' M ? 2( AA ' ? OA ' ? OM ) .
2 2 2 2 2 2
2 2 2

故 AM 2 ? BM 2 ? 2(r 2 ? m 2 )

……5 分

(Ⅱ)因为 EM ? r ? m , FM ? r ? m , 所以 AM ? CM ? BM ? DM ? EM ? FM ? r 2 ? m 2 .

AM BM AM 2 BM 2 AM 2 ? BM 2 ? ? ? ? 因为 CM DM AM ? CM BM ? DM EM ? FM 2 2 AM BM 2(r ? m ) ? ? 2 所以 . CM DM r ? m2 AM BM 5 ? ? . …………….10 分 又因为 r ? 3m ,所以 CM DM 2 23.解: (Ⅰ)直线 l 的极坐标方程分别是 ? sin ? ? 8 .

-8-

圆 C 的普通方程分别是 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 错误!未找到引用源。 , . …….5 所以圆 C 错误! 未找到引用源。 的极坐标方程分别是 ? ? 4 sin ? 错误! 未找到引用源。 分 ( Ⅱ )依 题意 得, 点 P, M 的极 坐 标分 别为 ?

? ? sin ? ? 8, ? ?? ? ? .
所以 | OP |? 4 sin ? , | OM |? 从而

? ? ? 4 sin ? , 错误!未找到引用源。和 ?? ? ? ,

8 , sin ?

| OP | 4sin ? sin 2 ? . ? ? 8 | OM | 2 sin ?

sin 2 (? ? ) | OQ | 2 . ? 同理, | ON | 2
sin 2 (? ? ) 2 | OP | | OQ | sin 2 ? 2 ? sin (2? ) , 所以 ? ? ? | OM | | ON | 2 2 16 | OP | | OQ | ? 1 故当 ? ? 时, 的值最大,该最大值是 . …10 分 ? | OM | | ON | 4 16
24.解 : (Ⅰ)由已知得 x ? 3 ? m ? 2 ,得 5 ? m ? x ? 1 ? m ,即 m ? 3 (Ⅱ) x ? a ? f ( x ) 得 x ? 3 ? x ? a ? 3 恒成立 …… 5 分

?

?

? x ? 3 ? x ? a ? x ? 3 ? ( x ? a ) ? a ? 3 (当且仅当 ( x ? 3)( x ? a ) ? 0 时取到等号)
? a ? 3 ? 3 解得 a ? 6 或 a ? 0
故 a 的取值范围为 a ? 0 或 a ? 6 …… 10 分

-9-


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