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直线与平面所成角练习题123


直线和平面所成的角
备课时间

一、教学重点、难点、疑点及解决方法 教学重点、难点、

教学重点:直线与平面成角的概念. 教学难点:有关直线与平面成角的练习.
二 、教学步骤

(一)直线与平面成角 1.定义: (1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和平 这条直线和平

面所成的角. 面所成的角.
(2)直线和平面垂直——直线与平面所成的角是直角. 所成的角是直角. 所成的角是直角 (3)直线和平面平行或直线在平面内——直线与平面所成的角是 0°度的 所成的角是

角.
2.按照定义,在求直线和平面所成的角时,应按下述三种情况依次进行考

虑:
(1) 直线和平面平行或直线在平面内时,直线和平面所成的角是 0°角;

(2)直线和平面垂直时,直线和平面所成的角是直角;

(3)直线和平面斜交时,直线和平面所在的角是指直线和它在平面内的射

影所成的锐角.
3.斜线和平面所成的角,是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切 斜线和平面所成的角,

角中最小的角. 角中最小的角.
(二)例题分析

1 如图 1,AB 和平面α所成的角是θ1;AC 在平面α内,BB′⊥平面α于 B′, AC 和 AB 的射影 AB′成角θ2,设∠BAC=θ.求证:cosθ1·cosθ2=cosθ .

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点评:此例题可以作公式,其证明是利用余弦的定义把它们转化成邻边与斜 边的比,为此要先作出直角三角形,为了作出直角三角形我们应用了三垂线定 理.当然也可用它的逆定理.讲这个公式的目的是为了用这为个公式,因为在解 许多有关题时都要用到这公式. 因为θ1 是斜线 AB 与平面α所成的角,所以只 有当图形中出现斜线与平面所成的角时,才有可能考虑用这公式.
2.如图 1-82,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AA1、A1D1 的中点, 求:(1)D1B1 与面 AC 所成角的余弦值;(2)EF 与面 A1C1 所成的角;(3)EF

与面 AC 所成的角. .3.如图 1-83,Rt△ABC 的斜边 AB 在平面 M 内,AC 和 BC 与 M 所成的角分 别是 30°、45°,CD 是斜边 AB 上的高,求 CD 与 M 所成的角.
(三)归纳小结

直线和平面相交,它们的相互位置与两条相交直线一样,仍需用角来表示,但过 交点在平面内可以作许多条直线, 与平面相交的直线同平面内每一条直线所成的 角是不相等的,为了定义的准确性,所以取这些角中有确定值的最小角,也就是 取该斜线与其在平面上射影所成的锐角作为直线和平面所成的角; 直线和平面的位置关系可以用直线和平面成角范围来刻划;反之,由直线和 平面所成角的大小也可以确定直线和平面的相互位置:

②直线和平面平行或直线在平面内,θ=0°.

③直线和平面成角的范围是 0°≤θ≤90°.

四、布置作业

五、课后反思

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