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高一数学必修4同步练习:3-1-1两角差的余弦公式


3-1-1 两角差的余弦公式 一、选择题 1.cos39° cos9° +sin39° sin9° 等于( 1 A.2 1 C.-2 [答案] B [解析] cos39° cos9° +sin39° sin9° 3 =cos(39° -9° )=cos30° =2. π? ? ?π ? 4 2.已知 α∈?0,2?,sinα=5,则 cos?4-α?等于(
? ? ? ?

) 3 B. 2 3 D.- 2

)

7 A.10 2 2 C.- 10 [答案] A π? ? [解析] ∵α∈?0,2?,∴cosα>0.
? ?

2 B. 10 2 D.- 5

∴cosα= 1-sin2α=

16 3 1-25=5.

?π ? π π ∴cos?4-α?=cos4cosα+sin4sinα ? ?

2 3 2 4 7 2 = 2 ×5+ 2 ×5= 10 . 3.cos75° +cos15° 的值是( 3 A. 2 ) 2 B. 2

6 C. 2 [答案] C

6 D. 3

[解析] 注意公式的逆用与变形应用, 原式=sin15° +cos15° = 2(cos15° cos45° +sin15° sin45° ) 3 6 = 2cos30° = 2× 2 = 2 . [点评] 也可运用 75° =45° -(-30° ),15° =45° -30° 展开. π π 4.cos12+ 3sin12的值为( A.- 2 1 C.2 [答案] B π π [解析] ∵cos12+ 3sin12
?1 π 3 π? =2? cos + sin ? 12 2 12? ?2

) B. 2 D. 3

π π π π? ? =2?cos3cos12+sin3sin12?
? ? ?π π ? π =2cos?3-12?=2cos4= 2. ? ?

[点评] 创造条件应用公式是三角恒等变换的重要技能技巧. 4 3 5. 已知 sinα+sinβ=5, cosα+cosβ=5, 则 cos(α-β)的值为( 9 A.25 1 C.2 16 B.25 1 D.-2 )

[答案] D
?4? ?3? [解析] 由已知,得(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=?5?2+?5?2=1, ? ? ? ?

所以 2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1, 即 2+2cos(α-β)=1. 1 所以 cos(α-β)=-2. 二、填空题
?π ? 3 2 5 1.若 sin(π+θ)=-5,θ 是第二象限角,sin?2+φ?=- 5 ,φ ? ?

是第三象限角,则 cos(θ-φ)的值为 [答案] 5 5

3 [解析] ∵sin(π+θ)=-5,且 θ 是第二象限角, 3 ∴sinθ=5,cosθ=-
? ? ?3? 4 1-?5?2=-5. ? ?

?π ? 2 5 又∵sin?2+φ?=- 5 ,且 φ 是第三象限角,

2 5 5 ∴cosφ=- 5 ,sinφ=- 5 . ∴cos(θ-φ)=cosθcosφ+sinθsinφ
? 4? ? 2 5? 3 ? 5 5? ?+ ×?- ?= . =?-5?×?- 5 ? 5 ? 5? 5 ? ? ?

π? ? 2.已知 cos?α-3?=cosα,则 tanα=________.
? ?

[答案]

3 3
? ?

π? ? π π [解析] cos?α-3?=cosαcos3+sinαsin3

1 3 =2cosα+ 2 sinα=cosα, 3 1 sinα 3 3 ∴ 2 sinα=2cosα,∴cosα= 3 ,即 tanα= 3 . 15.求值: (1)sin285° ; (2)sin460° sin(-160° )+cos560° cos(-280° ). (3) 2cos10° -sin20° cos20°

[ 分析 ] 求解.

解答本题可利用诱导公式转化为两角差的余弦的形式

[解析] (1)sin285° =sin(270° +15° ) =-cos15° =-cos(60° -45° ) =-(cos60° cos45° +sin60° sin45° ) =- 6+ 2 4 .

(2)原式=-sin100° sin160° +cos200° cos280° =-sin100° sin20° -cos20° cos80° =-(cos80° cos20° +sin80° sin20° ) 1 =-cos60° =-2. (3) = 2cos10° -sin20° 2cos?30° -20° ?-sin20° = cos20° cos20° 3cos20° +sin20° -sin20° = 3. cos20°

[点评] 解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是: ①把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值.②在转化

过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构形式,然 后逆用公式求值. 4 16 2.(1)若 α,β 为锐角,且 cosα=5,cos(α+β)= - 65,求 cosβ 的值.
?π ? 3 π 5π (2).已知 sin?6+α?=5,3<α< 6 ,求 cosα 的值. ? ?

π [解析] (1)∵0<α,β<2,∴0<α+β<π. 16 63 由 cos(α+β)=-65,得 sin(α+β)=65. 4 3 又∵cosα=5,∴sinα=5. ∴cosβ=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
? 16? 4 63 3 5 =?-65?×5+65×5=13. ? ?

π 5π π π [解析](2)∵3<α< 6 ,∴2<6+α<π.
?π ? ∴cos?6+α?=- ? ? ?? ? ?π ? 4 1-sin2?6+α?=-5. ? ? ? ?

??π ? π? ∴cosα=cos??6+α?-6? ?π ? ?π ? π π =cos?6+α?cos6+sin?6+α?sin6 ? ? ?

4 3 3 1 3-4 3 =-5× 2 +5×2= 10 .


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