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09年高考数学数列公开课


宝 应 中 学:徐 敏

王开俊

要点扫描

1、理解等差数列和等比数列的概念 和性质 2、掌握等差数列与等比数列的通项 公式以及前n 公式以及前n项和公式

等差数列的概念:从第二项起,每一项与 前一项的差等于同一个常数d

等比数列的概念:从第二项起,每一项与 前一项的比等于同一个常数q

等差数列 {an}的首项为

公差为d, a1 ,公差为 ,则

an = a1 + (n 1 d )
n(n +1) sn = na1 + d 2 n(a1 + an ) sn = 2

等比数列 {an}的首项为

公比为q, a1 ,公比为 ,则有

an = a1q

n1
n

a1 anq a1(1 q ) = (q ≠1) sn = 1 q 1 q na (q =1) 1

例题讲解

例: 知 列 an} 前 项 为 n , 1 已 数 { 的 n 和 s 1 2 an ∈ N ,且 n = (an + 2) s 8
*

(1)求 : 列 an} 等 数 证 数 { 为 差 列 1 ( ) n = an 30, 2 b 2 求 列 bn} 前 项 的 小 数 { 的 n 和 最 值

例: 知 列 an} 前 项 为 n , 1 已 数 { 的 n 和 s 1 2 an ∈ N ,且 n = (an + 2) s 8
*

(1)求 : 列 an} 等 数 证 数 { 为 差 列
1)如何证明数列为等差数列——利用定义 )如何证明数列为等差数列 利用定义 2)条件转化得到什么 能使得问题得以解决? ) 能使得问题得以解决?

3 )条件是sn与an之间的关系,如何转化?

1 已 数 { 的 n 和 s 例: 知 列 an} 前 项 为 n , 1 2 an ∈ N , 且 n = (an + 2) s 8
*

(1)求 : 列 an} 等 数 证 数 { 为 差 列
分析

n≥2 an = sn sn1 an an1 = 4与 无 的 数 n 关 常

数 {an} 等 数 列 为 差 列

1 ( ) n = an 30, 2 b 2 求 列 bn} 前 项 的 小 数 { 的 n 和 最 值
1 最 的 解 法 ) 值 求 方
2 )从等差数列 an}判断数列 bn}是否为等差(比)数 ? { { 列
3)数 {bn} 通 列 的 项

4)利 等 数 的 n项 求 公 用 差 列 前 的 和 式

1 ( ) n = an 30, 2 b 2 求 列 bn} 前 项 的 小 数 { 的 n 和 最 值
分析

等差数 {an} 列 an = 4n 2 bn = 2n 31bn bn1 = 常数 等差数列 bn} { 利用等 差数列前n项的和 公式 sn = n 30n = (n 15) 225
2 2

利 n∈ N 用
2

* 2

sn = n 30n = (n 15) 225

例 :已知等差数列 an} 2 { 的首项a1 =1,公差d > 0, 且第二项,第五项,第十四项分别是等比数 列 bn} { 的第二项,第三项,第四项

(1)数 {an}和 bn} 通 公 列 { 的 项 式
2 设 列 ( ) 数 {cn}满 对 意 n∈ N 足 任 的
*

cn c1 c2 c3 均 有 + + +...... + = an+1成 立 b b2 b3 bn 1 求 2 + c4 + c6 + c8...... + c2008 值 c 的

例 :已知等差数列 an} 2 { 的首项a1 =1,公差d > 0, 且第二项,第五项,第十四项分别是等比数 { 的第二项,第三项,第四项 列 bn}

(1)数 {an}和 bn} 通 公 列 { 的 项 式
分析 基本量的求解

由已知数列 an}与 bn} { { 的若干项的相互关 系可以建立方程的思想方法,从而求出 有关参数确定an与bn

( ) 数 {cn}满 对 意 n∈ N 2 设 列 足 任 的

*

c1 c2 c3 cn 均 有 + + +...... + = an+1成 立 b b2 b3 bn 1 求 2 + c4 + c6 + c8...... + c2008的 c 值
cn 1、条件给了什么? 数 { } 前 项 和 n = an+1 条件给了什么? 列 的 n 的 T bn

列 中 部 项 和 2、所求的是什么? 数 {cn} 的 分 的 所求的是什么? 究 列 3、条件和所求之间的转换 研 数 {cn}

分析

cn c1 c2 c3 由 + + +...... + = an+1可 知 以 道 b b2 b3 bn 1

cn 数 { } 前 项 和 n = an+1 列 的 n 的 T bn cn 则 : n Tn1 = an+1 an又 为 n Tn1 = 有 T 因 T bn 推 cn = 出

{

3 23n1

n =1 n≥2

数 {cn} 偶 项 成 比 列 列 中 数 构 等 数

若 为 c1 + c3 + c5 + c7...... + c2009呢 改 求 ?

总结:本题在求和时,只求了一个数 总结:本题在求和时, 列中的若干项的和, 列中的若干项的和,此类问题要分析 这些项构成的数列, 这些项构成的数列,从整体上观察这 些项所具有的共同特征

例 : 数列 an} 3 { 中, n是其前 项的和, s n 当t > 0 3tsn (2t + 3)sn1 = 3t 时,
(1)求 : 列 an} 等 数 证 数 { 为 比 列
(2)设数列 an} { 的公比为f (t), 作数列 bn}, { 使得b1 =1, bn = f ( 3b11 ) n 求数列 bn} { 的前n项的和Bn
n > 1, n ∈ N *

n >1, n∈ N*

例 : 数列 an} 3 { 中,sn是其前n项的和, 当t > 0 3tsn (2t + 3)sn1 = 3t 时,
(1)求 : 列 an} 等 数 证 数 { 为 比 列
1、如何证明数列为等比数列? 、如何证明数列为等比数列? 条件如何运用? 条件如何运用?
n > 1, n ∈ N *

2、条件运用时n的范围 、条件运用时 的范围

(2)设数列 an} { 的公比为f (t), 作数列 bn}, { 使得b1 =1, bn = f (
1 3bn1

)

n >1, n∈N

*

n > 1, n ∈ N *

求数列 bn} { 的前n项的和Bn
分析

1){bn}是否为等差(比)数列 ?

2)能 构 等 ( ) 列 否 造 差 比 数 ?

备用题

1、等差数列{an}中, 已知 3(a3 + a5 ) + 2(a7 + a10 + a13) = 24 则 s13

=

(考 等 数 的 质 运 ) 察 差 列 性 的 用

2、若{an}是等比数列,已知a4 a7=-512, a2+a9=254,且公比为整数,则数列的a12
=

(考察等差和等比数列的性质的综合运用)

3、等比数列 {an}的前 项的和 sn 、 的前n项的和

已知s1,2s2 ,3s3成等差数列,则 an} { 的公比为
(考察等差数列的定义的理解以及等比数列 前n项和公式对q是否为1的讨论运用) 1的讨论运用

4、已知数列 an}对于任意的p、q ∈ N ,有 {
*

1 ap + aq = ap+q , 若a1 = ,则a36 = 9

5、在等差数列 an} { 中,a10 < 0, a11 >| a10 |, 则 an} { 的前n项的和sn中,最大的负数为
(恰当的选择公式。考察等差数列的 前n项和与等差数列的性质的综合运用)

1 例 : 知 列 an} , 1 = ,点 n,2an+1 an) 4 已 数 { 中 a ( 2 * 在 线y = x上 其 n∈N 直 , 中

{ (1)令bn = an1 an 3, 求证数列 bn}是等比数列;
(2)求 列 an} 通 公 数 { 的 项 式
(3)设Sn、Tn分别为数列 an}和 bn} { { 的前n项的和是 Sn + λTn 否存在实存λ, 使得数列 { } 为等差数列, n 若存在,求出λ,若不存在,说明理由

1 例 : 知 列 an} , 1 = ,点 n,2an+1 an) 4 已 数 { 中 a ( 2 * 在 线y = x上 其 n∈N 直 , 中

{ (1)令bn = an+1 an 3, 求证数列 bn}是等比数列;
如何证明?由条件得到什么即可? 如何证明?由条件得到什么即可?

1 例 : 知 列 an} , 1 = ,点 n,2an+1 an) 4 已 数 { 中 a ( 2 在 线 = x上 其 n∈ N* 直 y , 中

{ (1)令bn = an+1 an 3, 求证数列 bn}是等比数列;
(2)求 列 an} 通 公 数 { 的 项 式

等 数 ; 分 利 {bn}是 比 列 析 用 an+1 an 3 = b q 1 an
n1

(3)设Sn、Tn分别为数列 an}和 bn} { { 的前n项的和 是 Sn + λTn 否存在 实存λ, 使得数列 { } 为等差数列 , n 若存在, 求出λ,若不存在, 说明理由

λ 假设存在满足条件的 ,使得数列
为等差数列,列举前三 项得出λ 然后检验一般性


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