当前位置:首页 >> 数学 >>

海南省琼州学院附中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


2015-2016 学年海南省琼州学院附中高二(上)期中数学试卷(文科)

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是最符合题目要求的,请将正确答案的序号填在答题卡内) 1.椭圆 4x +y =1 的长轴等于( A.1 B.2 C.4 D.
2 2



2.抛物线 y =2x 的准线方程是( A. B. C. D.

2



3.双曲线 A.y=± x

=1 的渐近线方程为( B.y=± x C.x=±

) x

y D.y=±

4.已知 F1,F2 是椭圆 长为( A.8 ) B.12 C.16

+

=1 的两焦点,过点 F2 的直线交椭圆于 A,B 两点.则△AF1B 的周

D.20

5.函数 f(x)=ax +4,且 f'(4)=2,则 a 为( A.4 B. C.﹣ D.﹣

2



6.函数 y=x +x 的递增区间是( A. (0,+∞) B. (﹣∞,1)

3

) C. (﹣∞,+∞) D. (1,+∞)

7.方程

的图象是双曲线,则 k 取值范围是(



A.k<1 B.k>2 C.k<1 或 k>2 D.1<k<2

8. 椭圆以双曲线

的焦点为顶点, 以双曲线顶点为焦点, 则椭圆的标准方程为 (



A.

B.

C.

D.

9. (理)函数 y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f′(x)的图象大致是(



A.

B.

C.

D.

10.动圆 C 经过定点 F(2,0)且与直线 x+2=0 相切,则动圆的圆心 C 的轨迹方程是( A.x=2 B.y=2 C.y =8x D.x =8y
2 2



11.椭圆

的两焦点为 F1、F2,P 为椭圆上的动点,若△PF1F2 最大面积

为 A.

,则其离心率为( B. C.

) D.

12. 已知定点 A (3, 4) , 点 P 为抛物线 y =4x 上一动点, 点 P 到直线 x=﹣1 的距离为 d, 则|PA|+d 的最小值为( A. B.2 ) C. D.

2

二、填空题(本大题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13.双曲线 y ﹣4x =64 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 1,则 P 到它的另一个焦点的距离 等于为 .
2 2

14.已知抛物线 y =8x 的焦点 F,该抛物线的一点 A 到 y 轴距离为 3,则|AF|=

2



15.已知椭圆 C:

与直线 x+y﹣1=0 相交于 A,B 两点,则|AB|=



16.设 f(x)在上的图象是一条连续不间断的曲线,且在(a,b)内可导,则下列结论中正 确的是 . ②f(x)的最值点一定是极值点 ④f(x)在此区间上可能没有最值点.

①f(x)的极值点一定是最值点 ③f(x)在此区间上可能没有极值点

三、解答题(本大题共 6 道小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知椭圆方程为 x +4y =16,求出其顶点、焦点坐标及离心率.
2 2

18.求适合下列条件的标准方程: (1)已知椭圆经过点 P(﹣5,0) ,Q(0,3) ,求它的标准方程; (2)已知双曲线的离心率 ,经过点 M(﹣5,3) ,求它的标准方程.

19.已知函数 f(x)=x +bx+c. (1)当 b=c=0 时,曲线 f(x)的一条切线的斜率是 2,求切点坐标及切线方程; (2)若 f(x)在 x=﹣1 处有极值 2,求 b,c 的值.

2

20.已知抛物线 C:y =2px(p>0)过点 A(1,﹣2) . (1)求抛物线 C 的标准方程;

2

(2)已知直线 y=kx﹣1,当直线与抛物线有公共点时,求 k 的取值范围.

21.某分公司经销某种品牌的产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 3 元的管理费,预计当每件产品的售价为 x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12﹣x) 万件. (1)求分公司一年的利润 y(万元)与每件产品的售价的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 y 最大,并求出 y 的最大值.
2

22.P 为椭圆

=1 上任意一点,F1,F2 为左、右焦点,如图所示.

(1)若 PF1 的中点为 M,求证:MO=5﹣ |PF1|; (2)若∠F1PF2=60°,求|PF1|?|PF2|的值以及△PF1F2 的面积; (3)椭圆上是否存在点 P,使 由. ? =0,若存在,求出 P 点的坐标,若不存在,试说明理

2015-2016 学年海南省琼州学院附中高二(上)期中数学试卷(文科) 参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是最符合题目要求的,请将正确答案的序号填在答题卡内) 1.椭圆 4x +y =1 的长轴等于( A.1 B.2 C.4 D.
2 2



【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;规律型;方程思想;定义法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】直接利用椭圆的方程化为标准方程,推出结果即可. 【解答】 解: 椭圆 4x +y =1 化为:
2 2

, 可知椭圆的焦点坐标在 y 轴, a=1, 椭圆 4x +y =1

2

2

的长轴等于 2. 故选:B. 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,基本知识的考查.

2.抛物线 y =2x 的准线方程是( A. B. C. D.

2



【考点】抛物线的标准方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用抛物线 y =2px 的准线方程为
2 2

即可得出. .

【解答】解:由抛物线 y =2x,可得准线方程 x=﹣ ,即 故选:C. 【点评】本题考查了抛物线的直线方程,属于基础题.

3.双曲线

=1 的渐近线方程为(



A.y=± x

B.y=± x

C.x=±

y D.y=±

x

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】先定其焦点在位,由双曲线的标准方程可知 x 轴上,且 a=4,b=3,再由双曲线的几 何性质,其渐近线方程为 y= ,

【解答】解:∵双曲线

的焦点在 x 轴上,a=4,b=3

∴双曲线 故选 A

的渐近线方程为 y=± x

【点评】本题考察了双曲线的标准方程和几何性质,注意先确定焦点所在坐标轴,才能确定 渐近线方程的形式.

4.已知 F1,F2 是椭圆 长为( A.8 ) B.12 C.16

+

=1 的两焦点,过点 F2 的直线交椭圆于 A,B 两点.则△AF1B 的周

D.20

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】数形结合;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用椭圆的标准方程及其定义即可得出. 【解答】解:由椭圆 + =1,可得 a=4.

△AF1B 的周长=|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16, ∴△AF1B 的周长为 16. 故选:C. 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

5.函数 f(x)=ax +4,且 f'(4)=2,则 a 为(

2



A.4

B.

C.﹣

D.﹣

【考点】导数的运算. 【专题】计算题. 【分析】先求函数 f(x)=ax +4 的导函数 f′(x) ,再列方程 f'(4)=2,最后解方程即可得 a 的值 【解答】解:∵f(x)=ax +4 ∴f′(x)=2ax ∵f'(4)=2 ∴2a×4=2 ∴a= 故选 B 【点评】本题考察了导函数的计算,解题时要熟记导数计算公式,准确运算
2 2

6.函数 y=x +x 的递增区间是( A. (0,+∞) B. (﹣∞,1)

3

) C. (﹣∞,+∞) D. (1,+∞)

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【专题】计算题. 【分析】先求导函数 y′,在函数的定义域内解不等式 fˊ(x)>0 的区间就是单调增区间. 【解答】解:y′=3x +1>0 ∴函数 y=x +x 的递增区间是(﹣∞,+∞) , 故选 C 【点评】本小题主要考查函数的导数,单调性等基础知识,属于基础题.
3 2

7.方程

的图象是双曲线,则 k 取值范围是(



A.k<1 B.k>2 C.k<1 或 k>2 D.1<k<2 【考点】双曲线的标准方程. 【专题】计算题.

【分析】根据题意,轨迹双曲线的标准方程可得(2﹣k) (k﹣1)<0,求出范围即可得到答 案. 【解答】解:由题意可得:方程 所以(2﹣k) (k﹣1)<0, 解得:k<1 或 k>2, 故选 C. 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握双曲线的标准方程,并且结合解不等式的方法解决 问题即可. 的图象是双曲线,

8. 椭圆以双曲线

的焦点为顶点, 以双曲线顶点为焦点, 则椭圆的标准方程为 (



A.

B.

C.

D.

【考点】椭圆的标准方程;双曲线的简单性质. 【专题】计算题;规律型;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】求出双曲线的焦点与顶点坐标,即可得到椭圆的焦点与顶点,然后求出椭圆的方程. 【解答】解:双曲线 中的长半轴 a=5. 双曲线 的顶点为(4,0) , (﹣4,0)是椭圆的焦点,则椭圆的半焦距 c=4,则 b=3. 的焦点(5,0) , (﹣5,0)是椭圆的顶点,则所求椭圆方程

椭圆的标准方程为 故选:A.



【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.

9. (理)函数 y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f′(x)的图象大致是(



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的单调性与导数的关系;函数的图象. 【专题】计算题. 【分析】先根据函数 y=f(x)的图象可知函数在区间(﹣∞,0) , (0,+∞)上都是单调减函 数,可知导函数 y=f'(x)在区间(﹣∞,0) , (0,+∞)上的值小于 0,然后得出它的导函 数的性质即可直接判断. 【解答】解:由 f(x)的图象及 f′(x)的意义知,在 x>0 时,f′(x)为单调递增函数 且 f′(x)<0;在 x<0 时, f′(x)为单调递减函数且 f′(x)<0.故选 D 【点评】本题考查学生灵活运用导数知识与观察问题的能力.考查导函数与原函数之间的关 系,应主要导函数看正负,原函数看增减.

10.动圆 C 经过定点 F(2,0)且与直线 x+2=0 相切,则动圆的圆心 C 的轨迹方程是( A.x=2 B.y=2 C.y =8x D.x =8y 【考点】轨迹方程. 【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆.
2 2



【分析】由题意圆心为 C 的动圆 C 过点 F(2,0)且与直线 x+2=0 相切,利用抛物线的定义, 可得圆心 C 的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线,从而得到所求轨迹方程. 【解答】解:由题意圆心为 C 的动圆 C 过点 F(2,0)且与直线 x+2=0 相切, 所以圆心 C 的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线, ∴圆心 C 的轨迹方程为 y =8x. 故选:C. 【点评】本题是中档题,考查动点的轨迹方程的求法,考查计算能力,正确运用抛物线的定 义是关键.
2

11.椭圆

的两焦点为 F1、F2,P 为椭圆上的动点,若△PF1F2 最大面积

为 A.

,则其离心率为( B. C.

) D.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】方程思想;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由于△PF1F2 最大面积为 【解答】解:∵△PF1F2 最大面积为 ∴bc=
2

?b=bc,可得 bc= ?b=bc,

,化简即可得出.


2 2 4

∴4(a ﹣c )c =a , 化为:4e ﹣4e +1=0, 解得 e= 故选:B. 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题. .
4 2

12. 已知定点 A (3, 4) , 点 P 为抛物线 y =4x 上一动点, 点 P 到直线 x=﹣1 的距离为 d, 则|PA|+d 的最小值为( A. B.2 ) C. D.

2

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】先根据抛物线方程求出准线方程与焦点坐标,根据点 A 在抛物线外可得到|PA|+d 的 最小值为|AF|,再由两点间的距离公式可得答案. 【解答】解:∵抛物线 y =4x 的准线方程为 x=﹣1,焦点 F 坐标(1,0) 因为点 A(3,4)在抛物线外,根据抛物线的定义可得 |PA|+d 的最小值为|AF|=
2

故答案为:2

【点评】本题主要考查抛物线的基本性质,等基础知识,考查数形结合思想,属于基础题.

二、填空题(本大题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13.双曲线 y ﹣4x =64 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 1,则 P 到它的另一个焦点的距离 等于为 17 . 【考点】双曲线的定义. 【专题】计算题. 【分析】首先将双曲线方程化成标准方程,从而得出参数 a、b 的值,然后根据双曲线的定义 得出|PF1﹣PF2|=2a,根据题中的已知数据,可以求出点 P 到另一个焦点的距离. 【解答】解:将双曲线 4x ﹣y +64=0 化成标准形式: ∴a =64,b =16 P 到它的一个焦点的距离等于 1,设 PF1=1 ∵|PF1﹣PF2|=2a=16 ∴PF2=PF1±16=17 或﹣15(舍去) 故答案为:17 【点评】本题考查了双曲线的定义与标准方程,属于基础题.利用圆锥曲线的第一定义解题, 是近几年考查的常用方式,请同学们注意这个特点.
2 2 2 2 2 2

14.已知抛物线 y =8x 的焦点 F,该抛物线的一点 A 到 y 轴距离为 3,则|AF|= 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;规律型;方程思想;圆锥曲线的定义、性质与方程.

2

5 .

【分析】由于抛物线 y =8x 的准线方程为 x=﹣2,该抛物线的一点 A 到 y 轴距离为 3,则点 A 到准线的距离为 3+2=5,再由抛物线的定义可得|AF|的值. 【解答】解:由于抛物线 y =8x 的焦点 F(2,0) ,其准线方程为 x=﹣2,该抛物线的一点 A 到 y 轴距离为 3,则点 A 到准线的距离为 3+2=5, 再由抛物线的定义可得|AF|=5, 故答案为:5. 【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,属于中档题.
2

2

15.已知椭圆 C:

与直线 x+y﹣1=0 相交于 A,B 两点,则|AB|=



【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【专题】计算题;规律型;方程思想;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】直接利用直线与椭圆方程联立方程组,求出 A,B 的坐标,利用两点间距离公式求出 距离即可. 【解答】解:因为椭圆 C: 与直线 x+y﹣1=0 相交于 A,B 两点,

所以

,消去 y 可得 3x ﹣2x﹣1=0,

2

解得



,A、B 的坐标为(1,0) , (

, ) ,

所以|AB|=

=



故答案为:



【点评】本题考查直线与椭圆的交点坐标的求法,两点间距离公式的应用,也可以利用弦长 公式求解.

16.设 f(x)在上的图象是一条连续不间断的曲线,且在(a,b)内可导,则下列结论中正 确的是 ③ .

①f(x)的极值点一定是最值点 ③f(x)在此区间上可能没有极值点

②f(x)的最值点一定是极值点 ④f(x)在此区间上可能没有最值点.

【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】计算题;规律型;方程思想;导数的综合应用. 【分析】利用函数的导数的几何意义,函数的最值与极值的关系判断选项即可. 【解答】解:f(x)在上的图象是一条连续不间断的曲线,且在(a,b)内可导, 可知函数在闭区间上一定有最值,但是最值不一定是极值,也不一定存在极值, 例如 y=x ,y′=3x ≥0,函数是单调增函数,在上有最值,没有极值. 故①②④不正确;③正确; 故答案为:③. 【点评】本题考查函数的最值以及函数的极值的关系,函数的导数的综合应用,是基本知识 的考查.
3 2

三、解答题(本大题共 6 道小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知椭圆方程为 x +4y =16,求出其顶点、焦点坐标及离心率. 【考点】椭圆的标准方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】把椭圆方程转化为标准方程,求出 a,b,c,由此能求出椭圆的顶点、焦点坐标及离 心率. 【解答】解:∵椭圆方程为 x +4y =16, ∴椭圆的标准方程为: , ∴顶点坐标为(±4,0) , (0,±2) , 焦点坐标为 离心率为 . ,
2 2 2 2

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,是基础题,解题时要注意把椭圆方程转化为标准 方程.

18.求适合下列条件的标准方程: (1)已知椭圆经过点 P(﹣5,0) ,Q(0,3) ,求它的标准方程; (2)已知双曲线的离心率 ,经过点 M(﹣5,3) ,求它的标准方程.

【考点】双曲线的标准方程;椭圆的标准方程. 【专题】计算题;规律型;方程思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)利用椭圆经过的特殊点,求出 a,b,即可得到椭圆的标准方程. (2)利用双曲线离心率以及经过的点列出方程组求解即可. 【解答】解: (1)已知椭圆经过点 P(﹣5,0) ,Q(0,3) , 可得 a=5,b=3,它的标准方程: (2)解:∵离心率 ;

,可得 a=b,经过点 M(﹣5,3) ,







解得:a =b =16, (第二个方程组无解) , ∴双曲线 C 的标准方程为: .

2

2

【点评】本题考查双曲线的标准方程的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意双曲线的 简单性质的灵活运用.

19.已知函数 f(x)=x +bx+c. (1)当 b=c=0 时,曲线 f(x)的一条切线的斜率是 2,求切点坐标及切线方程; (2)若 f(x)在 x=﹣1 处有极值 2,求 b,c 的值. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】计算题;规律型;函数思想;导数的综合应用. 【分析】 (1)当 b=c=0 时,求出函数的导数,利用导数的几何意义即可得出. (2)由函数 f(x)=x +bx+c 在 x=1 处取得极值 2,可得 f(1)=2,f′(1)=0,可求得 b, c 的值; 【解答】解: (1)当 b=c=0 时,函数 f(x)=x ,设切点为 P(x0,y0) ,∵y′=2x,切线的斜 率为 2.
2 2

2

∴2x0=2,∴x0=1,y0=1 =1. ∴切点为 P(1,1) .切线方程为:y﹣1=2(x﹣1) ,即 2x﹣y﹣1=0. (2)f(x)=x +bx+c,f′(x)=2x+b, 由已知得: ,解得: .
2

2

【点评】考查函数在某点取得极值的条件和利用导数研究函数的切线方程,体现了解方程的 思想方法,熟练掌握导数的几何意义是解题的关键.

20.已知抛物线 C:y =2px(p>0)过点 A(1,﹣2) . (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)已知直线 y=kx﹣1,当直线与抛物线有公共点时,求 k 的取值范围. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;抛物线的标准方程. 【专题】计算题;规律型;函数思想;方程思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)利用抛物线经过的点,求出 p,即可得到抛物线方程. (2)联立直线方程和抛物线方程,直接由判别式大于 0 得答案; 【解答】解: (1)抛物线 C: (p>0)过点 A(1,﹣2) . 可得 4=2p,所以 p=2. 抛物线 C 的标准方程:y =4x. (2)联立
2 2 2

2

,得 k x ﹣(2k+4)x+1=0.

2 2

由△= ﹣4k =16k+16>0,解得:k>﹣1; k 的取值范围: (﹣1,+∞) . 【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系,抛物线方程的求法,是中档题.

21.某分公司经销某种品牌的产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 3 元的管理费,预计当每件产品的售价为 x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12﹣x) 万件. (1)求分公司一年的利润 y(万元)与每件产品的售价的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 y 最大,并求出 y 的最大值. 【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】函数思想;数学模型法;函数的性质及应用.
2

【分析】 (1)求出每件产品的利润,乘以价格得到利润 y(万元)与每件产品的售价 x 的函数 关系式; (2)求出利润函数的导函数,可得函数在上的单调性,即可得到利润函数的最值. 【解答】解: (1)分公司一年的利润 y(万元)与售价 x 的函数关系式为 L=(x﹣3﹣3) (12﹣x) =(x﹣6) (144+x ﹣24x) =x ﹣30x +288x﹣864,x∈; (2)函数的导数为 y′=3x ﹣60x+288 =3(x ﹣20x+96)=3(x﹣12) (x﹣8) , 当 x∈时,y′<0,L 单调递减, 于是当每件产品的售价 x=9 时, 该分公司一年的利润最大,且最大利润 ymax=27 万元. 【点评】本题考查函数、导数及其应用等知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能 力,是中档题.
2 2 3 2 2 2

22.P 为椭圆

=1 上任意一点,F1,F2 为左、右焦点,如图所示.

(1)若 PF1 的中点为 M,求证:MO=5﹣ |PF1|; (2)若∠F1PF2=60°,求|PF1|?|PF2|的值以及△PF1F2 的面积; (3)椭圆上是否存在点 P,使 由. ? =0,若存在,求出 P 点的坐标,若不存在,试说明理

【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质. 【专题】计算题;数形结合;分析法;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】 (1)在△F1PF2 中,MO 为中位线,根据三角形的中位线定理再结合椭圆的定义即可得 出答案; (2)先利用椭圆的定义得到:|PF1|+|PF2|=10,再在△PF1F2 中利用余弦定理得出 cos 60°= 可得解; (3)先设点 P(x0,y0) ,根据椭圆的性质,易知 F1(﹣3,0) ,F2(3,0) ,写出向量的坐标 再结合向量垂直的条件得出关于 P 点坐标的方程组,由此方程组无解,故这样的点 P 不存在. 【解答】证明: (1)在△F1PF2 中,MO 为中位线, ∴|MO|= = ,两者结合即可求得|PF1|?|PF2|,由三角形面积公式即

=a﹣

=5﹣ |PF1|.…. (3 分)

(2)解:∵|PF1|+|PF2|=10, ∴|PF1| +|PF2| =100﹣2|PF1|?|PF2|, 在△PF1F2 中,cos 60°= ∴|PF1|?|PF2|=100﹣2|PF1|?|PF2|﹣36, ∴|PF1|?|PF2|= ∴ .…(8 分) .…(9 分) ,
2 2

= ×|PF1|×|PF2|×sin60°=

(3)解:设点 P(x0,y0) ,则 易知 F1(﹣3,0) ,F2(3,0) ,故 ∵ ∴x ? =0, =0,②

.① =(﹣3﹣x0,﹣y0) , =(3﹣x0,﹣y0) ,

﹣9+y

由①②组成方程组,此方程组无解,故这样的点 P 不存在. …(12 分)

【点评】本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、解三角形等基础知识,考查运 算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基本知识的考查.


相关文章:
更多相关标签: