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10-椭圆及其标准方程(1)


2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程(1) 教材分析
本节内容是数学选修 2-1 第二章 圆锥曲线与方程 的第二节,是在学习曲线与方程之后的一节, 椭圆是圆锥曲线中重要的一种,本节内容的学习是后继学习其它圆锥曲线的基础,坐标法是解析 几何中的重要数学方法,椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例。本节课内容 的学习能很好地在课堂教学中展现新课程的理念,本

课题的重点是椭圆的定义及椭圆标准方程, 用待定系数法和定义法求曲线方程.难点是椭圆标准方程的建立和推导, 通过椭圆定义的归纳和 标准方程的推导,培养学生探索数学的兴趣,培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际 问题的能力. 通过师生、生生的合作学习,增强学生团队协作能力的培养,增强主动与他人合作 交流的意识,在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方 法.

课时分配
本节内容用 2 课时的时间完成,主要讲解椭圆的定义及椭圆标准方程,用待定系数法和定义法求 曲线方程.

教学目标
重点: 椭圆的定义及椭圆标准方程,用待定系数法和定义法求曲线方程. 难点:椭圆标准方程的建立和推导. 知识点:椭圆定义及标准方程. 能力点:如何探寻椭圆定义及标准方程的证明思路,数形结合数学思想的运用. 教育点:通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导,培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问 题的能力,培养学生探索数学的兴趣,激发学生的学习热情. 自主探究点:如何推导椭圆的标准方程. 考试点:椭圆定义及标准方程,利用其解决有关的椭圆问题 易错易混点:在用椭圆标准方程时, 学生一般在“焦点的位置”上容易出错. 拓展点:如何利用坐标法探讨其他圆锥曲线的方程.

教具准备 课堂模式

多媒体课件和三角板 学案导学

一、 引入新课
问题:2012 年 6 月 16 日下午 18 时, “神州九号”载人飞船顺利升空,实现多人多天飞行,标志着我国 航天事业又上了一个新台阶,请问: “神州九号”飞船的运行轨道是什么?多媒体展示“神州六号”运行
1

轨道图片.

复习旧知识:圆的定义是什么?圆的标准方程是什么形式? 提出新问题:椭圆是怎么画出来的?椭圆的定义是什么?它的标准方程又是什么形式? 引出课题:椭圆及其标准方程 曲线可以看做适合某种条件的点的集合或轨迹,那么椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢?要想知道椭圆是 满足什么条件的点的轨迹,首先要知道椭圆的几何特征 学生实验:按照课本上介绍的方法,学生用一块纸板, ;两个图钉,一根无弹性的细绳试画椭圆,让学生 自己动手画,同桌相互切磋,探讨研究.(提醒学生:作图过程中注意观察椭圆的几何特征,即椭圆上的点 要满足怎样的几何条件) 提问:点 M 运动时, F1 , F2 移动了吗?点 M 按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆? 1. 在作图时,视笔尖为动点,两个图钉为定点,动点到两定点距离之和符合什么条件?其轨迹如何? 2.改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗? 3.当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗? 学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程,得出这样三个结论:

| MF1 | + | MF2 |> | F1F2 | 椭圆 | MF1 | + | MF2 |= | F1F2 | 线段 | MF1 | + | MF2 |< | F1F2 | 不存在
【设计意图】按学生的认识规律与心理特征,设置一系列递进的问题,让学生动手实践,在实验中引导学 生自己观察椭圆上的点满足的几何条件,从而认识椭圆概念,实验中发现椭圆的几何特征,可以挖掘出椭 圆定义的内涵,使得学生对椭圆的定义留下深刻印象. 【设计说明】让学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程,得出椭圆的定义

二、探究新知 (一)归纳定义
椭圆的定义:平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数(大于 | F1 F2 | )的点的轨迹叫做椭圆.这两 个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
2

归纳总结: 椭圆定义中要注意: “和” , “常数”及“常数”的范围 (常数大于 | F1 F2 | ) 思考:焦点为 F1 , F2 的椭圆上任一点 M ,有什么性质? 令椭圆上任一点 M ,则有 MF 1 ? MF2 ? 2a(2a ? 2c ? F 1 F2 )

M

F1

F2

[设计意图]给学生充分的动手实践的时间,揭示定义的发现过程, 通过学生实验发现椭圆的轨迹问题, 培养 学生归纳、概括、的能力(一般性探究) .避免直接将定义抛给学生.

(二)椭圆标准方程的推导
回顾:求曲线方程的一般步骤: (1)建系、设点、 (2)写出点的集合(3)列式、 (4)化简. (5)证明 提问:如何建系,使求出的方程最简? 由学生自主提出建立坐标系的不同方法,教师根据学生提出的“建系”方式,把学生分成若干组,分别按 不同的建系的方法推导方程,进行比较,从中选择比较简洁优美的形式确定为标准方程. 已知椭圆的焦距 | F1 F2 |? 2c, (c ? 0) ,椭圆上的动点 M 到两定点 F1 , F2 的距离之和为 2 a ,求椭圆的方

y

程. (1)建系:以 F1 , F2 所在直线为 x 轴,以线段 F1 F2 的垂直 平分线为 y 轴,建立直角坐标系。 设点:设 M ( x, y ) 是椭圆上任意一点,为了使 F1 , F2 的 坐标简单及化简过程不那么繁杂,设 | F 1F 2 |= 2c(c > 0) ,则 F 1 (- c,0), F2 (c,0) 设 M 与两定点 F1 , F2 的距离的和等于 2 a (2)写点的集合:由椭圆的定义,椭圆就是集合

y M

F1

O

F2

x
x

P ? ?M || MF1 | ? | MF2 |? 2a?
(3)列式: | MF 1 | + | MF 2 |= 2a
2 2 ∴ ( x + c) + y +

( x - c ) 2 + y 2 = 2 a,

(4)化简: (这里,教师为突破难点,进行设问:我们怎么化简带根式的式子?对于本式是直接平方好还 是整理后再平方好呢?)

( x + c ) 2 + y 2 = 2a -

( x - c) 2 + y 2

2 2 2 2 2 2 2 两边平方,得: ( x + c) + y = 4a - 4a ( x - c) + y + ( x - c ) + y

2 2 2 即 a - cx = a ( x - c ) + y

两边平方,得: a - 2a cx + c x = a ( x - c) + a y

4

2

2 2

2

2

2

2

3

整理,得: (a2 - c2 ) x2 + a2 y 2 = a2 (a2 - c2 )
2 2 2

两边同除以 a (a - c ) ,得
2

x2 y2 ? ?1 a2 a2 ? c2
2

y
① y

P

由椭圆的定义知, a ? c 所以 a ? c ? 0

F1
请同学观察右图,你能从中找出表示 a, c, a 2 ? c 2 的线段吗?

O

F2

x
x

PO ? 由图可知, PF 1 ? PF 2 ? a, OF 1 ? OF 2 ? c,

a2 ? c2 ,

令 b ? PO 即 a2 - c2 = b2 (b > 0) ,则方程可简化为: b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2

整理成:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2



(5)证明:从上述过程可以看到,椭圆上任意一点的坐标都满足方程②,以方程②的解 ( x, y ) 为坐标的点到

2 a ,即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上,由曲线与 椭圆的两个焦点 F 1 (?c,0), F2 (c,0) 的距离之和为
方程的关系知,方程②是椭圆的方程,我们把它叫做椭圆的标准方程

x2 y2 方程 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 叫做椭圆的标准方程, a b
焦点在 x 轴上,焦点是 F1 (?c,0), F2 (c,0), c 2 ? a 2 ? b 2 讨论:如果以 F1 , F2 所在直线为 y 轴,线段 F1 F2 的 垂直平分线为 x 轴,建立直角坐标系, 焦点是 F1 (0,?c), F2 (0, c) ,椭圆的方程又如何呢? 让按照另外方案推导椭圆标准方程的同学发言 讨论得出: O

y
y

F2

x
F1
x

M
M

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 为椭圆的另一标准方程, 而其他建系方案得出的椭圆方程没有标准方程形式简单. a2 b2
[设计意图] 通过学生自己思考、动手推导椭圆的方程加深学生对求轨迹方程的理解和掌握,强化学生化 简变形的能力.

三、理解新知
椭圆的标准方程:

x2 y2 (1) 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b

焦点在 x 轴上,焦点是 F 1 (?c,0), F 2 (c,0), c ? a ? b
2 2

2

4

y2 x2 (2) 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b

2 2 2 焦点在 y 轴上,焦点是 F 1 (0, ?c), F 2 (0, c), c ? a ? b

师:已知椭圆标准方程,如何判断焦点位置? 生:看 x , y 2 的分母大小,哪个分母大就在哪一条轴上. 归纳概括,方程特征 (1)椭圆标准方程形式:左边是两个分式的平方和,右边是 1 (2) a ? b ? 0 (3)椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定 (4)椭圆标准方程中三个参数 a, b, c 关系: a ? b ? c
2 2 2

2

, a 最大, b、c 大小不定

[设计意图] 通过将两个标准方程的总结加深学生对椭圆标准方程的理解掌握,特别是焦点位置,三个参数 的关系,为求标准方程打下基础.

四、运用新知
例 1.(1)求椭圆 x 2 ?

y2 ? 1 的焦点坐标 4

(2)椭圆

x 2 y2 ? ? 1 (m ? 0) 的焦距为 4, 求 m 的值 9 m

解: (1)由题意知焦点在 y 轴上, a2 ? 4, b2 ? 1 所以 c ? 3
2

故椭圆的焦点坐标为: (0, ? 3),(0, 3)

(2)当 m ? 9 时 当9 ? m ? 0 时

a2 ? m, b2 ? 9 a2 ? 9, b2 ? m
5

c2 ? 4 c2 ? 4

所以 m ? b ? c ? 13
2 2

所以

m ? a2 ? c2 ? 5

由上知: m 的值为 13 ,

[设计意图]明确椭圆的两种形式的标准方程,根据方程确定焦点位置,求焦点坐标及三个参数,注意分类 讨论的数学思想 例 2 已知椭圆的两个两焦点坐标分别是 (?2, 0), (2, 0) ,并且椭圆经过点 ( , ? ) ,求它的标准方程 解:因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为

5 2

3 2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
由椭圆定义知: 2a ? ( ? 2) ? (? ) ? ( ? 2) ? (? ) ? 2 10
2 2 2 2

5 2

3 2

5 2

3 2

所以: a ? 10

又因为 c ? 2,

所以 b ? a ? c ? 10 ? 4 ? 6
2 2 2

5

x2 y 2 因此,所求椭圆的标准方程为 ? ?1 10 6
[提问是否有其他方法] 学生作答: 解:因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
5 3 因为椭圆经过点 ( , ? ) 2 2
2 2

5 3 ( ) 2 (? ) 2 2 ? 1 又因为: b2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? 4 所以: 22 ? a b2
x2 y 2 因此,所求椭圆的标准方程为 ? ?1 10 6

所以解方程得: a ? 10, b ? 6

归纳总结: 求椭圆标准方程的步骤 (1) “定位”即确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上. (2) “定量”即确定 a 2 , b 2 的具体数值. 求椭圆标准方程的常用方法:待定系数法及定义法 [设计意图] 培养学生发散思维的能力及良好的解题习惯: 同一个题目有不同的解法,我们可以从中选择简 捷、自然的的解题思路.本题突出椭圆定义的应用和待定系数法的解题方法 变式: (1)已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 (0, ?4), (0, 4) ,椭圆上一点 P 到两焦点距离和等于10 ,求 它的标准方程 答案:

y 2 x2 ? ?1 25 9

(2)已知椭圆的焦距等于 8,椭圆上一点 P 到两焦点距离的和等于 10,求椭圆的标准方程

y 2 x2 ? ?1 答案: 25 9

x2 y 2 ? ?1 25 9

[设计意图] 通过变式强化求椭圆的标准方程的方法一定焦点位置二求 a , b 的值,当焦点位置不定时应有 两个标准方程. 课堂练习: 1.已知椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,则这个椭圆的焦距为( 23 32
(C) 3 5



(A) 6

(B) 3

(D) 6 5 )

2. F1 , F2 是定点,且 | F1 F2 |? 6 ,动点 M 满足 | MF1 | ? | MF2 |? 6 ,则点 M 的轨迹是( (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段

6

x2 y2 3.已知椭圆 ? ? 1 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P 到另一焦点的距离为( 25 16
(A)2 (B)3 (C)5 4. 写出适合下列条件的椭圆标准方程 (1) a ? 4, b ? 1 ,焦点在 x 轴上; (2) a ? 4, c ? 15 ,焦点在 y 轴上, ; (3) a ? c ? 10, a ? c ? 4 答案:1 A 4 (1) 2 D 3 (2) D (D)7



x2 ? y2 ? 1 16

y2 y 2 x2 ? x 2 ? 1 (3) ? ?1 16 16 36

y 2 x2 ? ?1 36 16

[设计意图] 利用练习加深学生对椭圆定义,标准方程形式,求法的理解,强化双基,训练学生的运算能 力.

五、课堂小结
教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学思想方法?学生作答: 1.知识:椭圆的定义及标准方程.标准方程中 a, b, c 的关系 焦点所在的轴与标准方程形式之间的关系 2.思想:曲线与方程的轨迹思想,方程的思想、分类讨论的思想、待定系数法. 在归纳总结的基础上,填下表

标准方程

x2 y2 ? 1 (a ? b ? 0) ? a2 b2
y

y2 x2 ? 1 (a ? b ? 0) ? b2 a2
y

图形

F1

O

y M M

F2 F2

y

x
x

M
M

O

x
F1
x

a, b, c 关系
焦点坐标 焦点位置

b2 ? a2 ? c2

b2 ? a2 ? c2

(?c,0)
在 x 轴上

(0,?c)
在 y 轴上

教师总结: 椭圆定义是用实验的方法的引出, 椭圆标准方程的推导体现了曲线与方程的轨迹思想, 在学习 新知时,也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新” .在应用中加强对椭圆定义,标准方程,参数的理 解,及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性,加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用. [设计意图] 通过椭圆的教学,加强对学生学习方法的指导,做到“授人以渔” .让学生真正体会到学习的 本质、学习的乐趣.
7

六、布置作业
1.阅读教材 P38—40; 2. 书面作业 必做题:P49 习题 2.2 A 组 1,2. 选做题:1. 若方程

y2 x2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,求 k 的范围. 2 ? k k ?1

2. 已知 B , C 是两个定点, BC ? 6, 且?ABC 周长为 16 ,求顶点 A 的轨迹方程. 3. 课外思考 方程 Ax2 ? By 2 ? 1什么时候表示椭圆?什么时候表示焦点在 x 轴上的椭圆?什么时候表示 焦点在 y 轴上的椭圆? [设计意图]设计作业 1,2,是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置,是为 了让学生能够运用椭圆的定义及标准方程,解决简单的椭圆问题;课外思考的安排,是让学生理解椭圆标 准方程的一般形式,培养学生用整体的观点看问题.

七、教后反思
1.本教案的亮点是新课的引入及两个例题.在引入中利用“神九”激发兴趣,通过动手实验加深对定义的理 解。在例 1 的教学中,让学生回答方法、通过分类讨论,深刻掌握椭圆的方程,例 2 一题多解,让学生说 明思路的由来过程,一题多解开阔思路.变式既注重了与原问题的联系,又在不知不觉中提高了难度,提 高了学生的解题能力. 2.由于各校的情况不同,建议教师在使用本教案时灵活掌握,但必须做好定义的探究及公式的推导. 3.本节课的弱项是由于整堂课容量较大,在课堂上个别地方没有充分暴露学生的思维过程,并给予针对性 地诊断与分析.

八、板书设计
2.2.1 椭圆及其标准方程 一、引入 二、新课 1、椭圆的定义 例2 2、椭圆的标准方程 三、例题 例1

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