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数乘向量、基本定理


数乘向量、基本定理
一、选择题
1. 设 e1,e2 是不共线向量,若向量 a ? 3e1 ? 5e2 与向量 b ? me1 ? 3e2 共线,则 m 的值等于

A. ? 9

5

B. ? 5

3

C. ? 3
5


D. ? 5
9

2. 设 ? 、 ? ? R ,下列关系中正确的是( A. 若 ? ? 0, 则 ? a ? 0 C.

B. 若 a ? 0 ,则 ? a ? 0 D. ?(? ? a) ? ?? ? ? a

?a ? ? a

3. 已知 O 是 ?ABC 所在平面内一点, 为 BC 边中点, 2OA ? OB ? OC ? 0 , ( ) D 且 则有 A. AO ? OD B. AO = 2 OD C. AO = 3 OD D. 2 AO = OD )

4. 在 ?ABC 中, AB = c , AC = b ,若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD =( A.

2 1 b+ c 3 3

B.

5 2 c? b 3 3

C.

2 1 b? c 3 3

D.

1 2 b+ c 3 3

5. 已知向量 a 、 b ,且 AB ? a ? 2b , BC ? ?5a ? 6b , CD ? 7a ? 2b ,则一定共线的 三点是( ) A. A、B、D

B. A、B、C

C. B、C、D

D.A、C、D

6. 设 D、E、F 分别是 ?ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且 DC ? 2BD ,CE ? 2EA,

AF ? 2FB ,则 AD ? BE ? CF 与 BC (
A. 反向平行 B.同向平行

) D.既不平行也不垂直

C. 互相垂直

7. e1 和 e2 表示平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为一组基底的是 A. e1 与 e1 + e2 C. e1 ? 2 e2 与 4 e2 ? 2 e1 B. e1 ? 2 e2 与 e2 ? 2 e1 D. e1 + e2 与 e1 - e2

8. 在 ?ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD ? 2DB , CD ? A.

2 3

B.

1 3

C. ?

1 3

1 CA ? ? CB ,则 ? = 3 2 D. ? 3

9. 已知 e1 ? 0 , ? ? R , a = e1 + ? e2 , b = 2 e1 ,若向量 a 与 b 共线,则下列关系中一 定成立的是( A. ? =0 ) B. e2 = 0 C. e1 ‖ e2 D. e1 ‖ e2 或 ? =0

?

?

?

?

10. 在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点 F,若 AC ? a , BD ? b ,则 AF = ( A. ) D.

1 ? 1 ? a+ b 4 2

B.

2 ? 1 ? a+ b 3 3

C.

1 ? 1 ? a+ b 2 4

1 ? 2 ? a+ b 3 3

11. 已知 O、 B 是平面上的三点, A、 直线 AB 上有一点 C, 满足 2 AC ? CB ? 0 , OC ? 则 A. 2OA ? OB B. ? OA ? 2OB C.

2 1 OA ? OB 3 3

D. ?

1 2 OA ? OB 3 3

12. 如图 2,OM∥AB,点 P 在由射线 OM、线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内(不含 边界)运动,且 OP ? xOA ? yOB ,则 x 的取值范围 是

1 ;当 x ? ? 时, 2

y 的取值范围是

.

三、解答题
求证: A, B, D 三点共线.

13. 设两个非零向量 e1 、 e2 不共线,如果 AB ? 2e1 ? 3e2 , BC ? 6e1 ? 23e2 CD ? 4e1 ? 8e2 ,

??? ?

??

?? ??? ? ?

??

?? ??? ? ?

??

?? ?

14. 设 e1 、 e2 是两个不共线的向量,已知 AB ? 2e1 ? ke2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 , 若 A, B, D 三点共线,求 k 的值. 15. ?OAB 中,点 D 是 BC 的中点,过点 D 的直线分别交直线 OA、OB 于不同的两点 P、C. 若 OA =m OP ,

??? ?

??

?? ??? ?? ? ?

?? ??? ? ?

?? ?? ?

OB =n OC ,求 m+n 的值

O C A P D B

16. 经过 ?OAB 重心 G 的直线与 OA, OB 分别交于点 P , Q , 设 OP ? mOA, OQ ? nOB , m, n ? R ,求

??? ?

??? ???? ?

??? ?

1 1 ? 的值。 n m

17. 已知︱ OA ︱=2,︱ OB ︱=1,︱ OC ︱=6,向量

C

OA 与 OB 的夹角为 135°, OA 与 OC 的夹角为 450 , B
若 OC =m OA +n OB ,求 m+n 的值 O A


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