当前位置:首页 >> 数学 >>

导数知识要点


导数知识要点
1.平均变化率及瞬时变化率: (1) 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率用 Δy ?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) 表示,则 ? Δx ?x x2 ? x1

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) Δy (2) 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是:Δ lim =Δ lim x→0 Δx x→0 ?x
2.导数的概念: (1) 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数就是函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率.记作 f′(x0)或 y′|x= x0,即 f′(x0)=Δ lim x→0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

(2) 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x0)是一个确定的数,当 x 变化时,f′(x)是 x 的一个函数,称 f′(x)为 f(x)的导函数(简称导数),即 f′(x)=Δ lim x→0 3.导数的几何意义: 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数就是在点(x0,f(x0))处切线的斜率 k,即 k=f(x0) ; 切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) 4.导数公式:(1) 常用函数的导数 ① (c) ? ? 0 ( c 为常数) ④ ( )? ? ? ② ( x) ? ? 1 ⑤ ( x )? ? ③ ( x2 ) ? ? 2 x

f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ?x

1 x

1 x2

1 2 x
③ (sin x) ? ? cos x
? ⑦ (ln x ) ?

(2)初等函数的导数公式: ① (c) ? ? 0 ( c 为常数) ⑤ (ex ) ? ? ex 5.导数的运算法则: (1) [f(x)±g(x)]′ =f′ (x)±g′ (x) (3) [ (2) [f(x)· g(x)]′ =f′ (x)· g(x)+f(x)· g′ (x) (g(x)≠0) ② ( x n ) ? ? nx n?1 ⑥ (a x ) ? ? a x ln a ④ (cos x) ? ? ? sin x
? ⑧ (log a x) ?

1 x

1 x ln a

f ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? f ( x) g ( x) ? ] ? g ( x) [ g ( x)]2

6.复合函数的导数: (1)对于两个函数 y=f(u)和 u=g(x),如果通过变量 u,y 可以表示表示成 x 的函数,那么称这两个函 数(函数 y=f(u)和 u=g(x))的复合函数为 y=f(g(x)). (2)复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u)、u=g(x)的导数间的关系为 y ? ? f ? (u) g ? ( x) 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积(注意最后把 u 代入进去). 7.函数的单调性与导数: 设函数 y=f(x)在某区间(a,b)内可导,若 x∈(a,b), f′ (x)>0,则 f(x)在区间(a,b)内为 增函数 , 反之,f′ (x)>0 的解集是函数的增区间;

若 x∈(a,b),f′ (x)<0,则 f(x)在区间(a,b)内为减函数 ,反之,f′ (x)<0 的解集是函数的减区 间;若 x∈(a,b),f′ (x)=0,则 f(x)在区间(a,b)内为 常数函数 . 8.函数的极值与导数:左增右减极大值,左减右增极小值 函数极值的求法:①求导,②令导数等于零解方程, ③判断根的左右两边的单调性④确定函数在此 根处是最大值还是最小值,⑤求出极值 9.函数的最值与导数:函数 y=f(x)在闭区间[a,b]内,由两个端点值和所有的极值中,通过比较得 出最大值和最小值 10.导数的综合应用:(1)优化问题(实际应用中的最值问题)——写出函数解析式、用导数求最 值、检验实际意义(2)导数与不等式 ①不等式的证明——可以通过构造函数等价转换为探究函数值的大小,然后应用导数讨论函数的单 调性,从而实现不等式的证明. ②含参数不等式的恒成立问题——通过分离变量,构造函数等价转换为函数最值问题,然后应用导 数求函数最值. (3)导数与方程 方程根的存在性问题等价转换为函数极值和单调性问题研究,然后应用导数及数形结合确定方程根 的存在性和个数.

导数知识要点
1.平均变化率及瞬时变化率: Δy (1) 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率用 Δx 表示,则 Δy (2) 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是:Δ lim = x→0 Δx 2.导数的概念: (1) 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数就是函数 y=f(x)在 x=x0 处的 记作 ,即 . ,当 x 变化时,f′(x)是 x 的一个 . ; . . . . . . ② ⑤ . . . . . ③ ⑥ . . ③ . . . .

(2) 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x0)是一个 函数,称 f′(x)为 f(x)的 3.导数的几何意义: 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数就是在 切线方程为 4.导数公式:(1) 常用函数的导数 ① ④ ,即

(2)初等函数的导数公式: ① ④ ⑦ 5.导数的运算法则: (1) (3) 6.复合函数的导数: (1)对于两个函数 y=f(u)和 u=g(x),如果通过变量 u,y 可以表示表示成 x 的函数,那么称这两个 函数(函数 y=f(u)和 u=g(x))的复合函数为 y=f(g(x)). (2)复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u)、u=g(x)的导数间的关系为 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积(注意最后把 u 代入进去). 7.函数的单调性与导数: 设函数 y=f(x)在某区间(a,b)内可导,若 x∈(a,b), f′ (x)>0,则 f(x)在区间(a,b)内为 . 若 x∈(a,b),f′ (x)<0,则 f(x) 在区间(a,b)内为 . . . . (2) . ② ⑤ ⑧

若 x∈(a,b),f′ (x)=0,则 f(x)在区间(a,b)内为 8.函数的极值与导数: .

.

函数极值的求法:①求导,②令导数等于零解方程, ③判断根的左右两边的单调性④确定函数 在此根处是最大值还是最小值,⑤求出极值 9.函数的最值与导数: 函数 y=f(x)在闭区间[a,b]内, 10.导数的综合应用: (1)优化问题(实际应用中的最值问题)—— (2)导数与不等式 ①不等式的证明——可以通过构造函数等价转换为探究函数值的大小,然后应用导数讨论函数 的单调性,从而实现不等式的证明. ②含参数不等式的恒成立问题——通过分离变量,构造函数等价转换为函数最值问题,然后应 用导数求函数最值. (3)导数与方程 方程根的存在性问题等价转换为函数极值和单调性问题研究,然后应用导数及数形结合确定方 程根的存在性和个数. . .


赞助商链接
相关文章:
高中数学导数及其应用知识点
高中数学导数及其应用知识点_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高中导数复习专用,很好的家教资料~~ 导数知识点归纳及其应用●知识点归纳一、相关概念 1.导数的概念...
导数知识点总结
导数知识点总结_高三数学_数学_高中教育_教育专区。导数 知识要点导数的概念 导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数 导数 导数的运算 导数的运算法则 函数的单调...
高中数学导数知识点归纳总结及例题
高中数学导数知识点归纳总结及例题_数学_高中教育_教育专区。导数 考试内容: 导数的背影.导数的概念.多项式函数的导数.利用导数研究函数的单调性和极值.函数的 最大...
高中数学导数知识点归纳总结
高中数学导数知识点归纳总结_数学_高中教育_教育专区。§ 14. 导数 知识要点导数的概念 导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数 导数 导数的运算 导数的运算法则...
《导数及其应用》知识点总结
导数及其应用》知识点总结_数学_高中教育_教育专区。《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率:函数 f (x) 在区间 [x1, x...
导数知识点超全
导数知识点考试内容: 导数的背影. 导数的概念. 多项式函数的导数. 利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值. 考试要求: (1)了解导数概念的某些实...
导数及其应用_知识点总结
导数及其应用_知识点总结_数学_高中教育_教育专区。导数及其应用 知识点总结 1、函数 f ? x ? 从 x1 到 x2 的平均变化率: 2、导数定义: f ? x ? 在点...
导数知识点和例题
导数知识点和例题_数学_高中教育_教育专区。1. 导数的概念(要求熟悉) 1.函数 f ( x) 在 x ? x0 处的导数:函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的...
高中数学导数知识点归纳总结
高中数学导数知识点归纳总结_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高中数学导数知识点归纳总结_数学_高中教育_教育专区。核 心出 品必 属...
高考数学总复习:导数知识点汇总
高考数学总复习:导数知识点汇总 - 导数 1.导数的几何意义: 函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数 f '( x0 ) , 就是曲线 y ? f ( x) 过点 ...
更多相关文章: