当前位置:首页 >> 数学 >>

北京市第四中学高中数学选修2-1:椭圆基本性质知识讲解


椭圆的性质 【学习目标】 1.掌握椭圆的对称性、范围、定点、离心率等简单性质. 2.能用椭圆的简单性质求椭圆方程. 3.能用椭圆的简单性质分析解决有关问题. 【要点梳理】 要点一、椭圆的简单几何性质

x2 y2 我们根据椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 来研究椭圆的简单几何性质 a b

椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直

线 x=± a 和 y=± b 所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足 |x|≤a,|y|≤b. 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程

x2 y 2 ? ? 1, 把 x 换成―x, 或把 y 换成―y, 或把 x、 y 同时换成―x、 ―y, a 2 b2

x2 y 2 方程都不变,所以椭圆 2 ? 2 ? 1 是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对 a b
称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为 a 2 b2

A1(―a,0) ,A2(a,0) ,B1(0,―b) ,B2(0,b) 。 ③线段 A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,|A1A2|=2a,|B1B2|=2b。a 和 b 分别叫做 椭圆的长半轴长和短半轴长。 椭圆的离心率

-1-

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用 e 表示,记作 e ?

2c c ? 。 2a a

②因为 a>c>0,所以 e 的取值范围是 0<e<1。e 越接近 1,则 c 就越接近 a,从而

b ? a2 ? c2 越小,因此椭圆越扁;反之,e 越接近于 0,c 就越接近 0,从而 b 越接近于 a,
这时椭圆就越接近于圆。当且仅当 a=b 时,c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为 x2+y2=a2。 要点诠释:

x2 y2 椭圆 2 ? 2 ? 1 的图象中线段的几何特征(如下图) : a b

(1) PF 1 ? PF 2 ? 2a ,

2a 2 | PF1 | | PF2 | ; ? ? e , | PM1 | ? | PM 2 |? c | PM1 | | PM 2 |
a 2 ? b2 ;

A2 B ? A1B ? (2) BF 1 ? BF 2 ? a , OF 1 ? OF 2 ?c,

(3) A 1 ? a ? c; 1F 1 ? A 2F 2 ? a ?c , A 1F 2 ? A 2F 1 ? a ? c , a ? c ? PF 要点二、椭圆标准方程中的三个量 a、b、c 的几何意义 椭圆标准方程中,a、b、c 三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定 的,分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:a >b>0,a>c>0,且 a2=b2+c2。 可借助下图帮助记忆:

a、b、c 恰构成一个直角三角形的三条边,其中 a 是斜边,b、c 为两条直角边。 和 a、b、c 有关的椭圆问题常与与焦点三角形 ?PF 1 F2 有关,这样的问题考虑到用椭圆的 定义及余弦定理(或勾股定理) 、三角形面积公式 S ?PF1F2 ?

1 PF1 ? PF2 sin ?F1 PF 相结合的 2

方法进行计算与解题, 将有关线段 PF1 、 PF2 、 F1 F2 , 有关角 ?F1 PF2 ( ?F1PF2 ? ?F1BF2 )

-2-

结合起来,建立 PF 1 ? PF2 之间的关系. 1 ? PF 2 、 PF

要点三、椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) b2 a 2

图形

焦点 焦距 范围 性 质 对称性 顶点 轴

F1 (?c,0) , F2 (c,0)
| F1 F2 |? 2c (c ? a 2 ? b 2 )

F1 (0, ?c) , F2 (0, c)
| F1 F2 |? 2c (c ? a 2 ? b 2 )

| x |? a , | y |? b

| x |? b , | y |? a

关于 x 轴、y 轴和原点对称

(? a, 0) , (0, ?b)

(0, ? a) , (?b, 0)

长轴长= 2 a ,短轴长= 2b

离心 率

e?

c (0 ? e ? 1) a

x2 y 2 y 2 x2 要点诠释:椭圆 2 ? 2 ? 1 , 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的相同点为形状、大小都相同, a b a b
参数间的关系都有 a>b>0 和 e ? 们的焦点坐标也不相同; 椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看 x2、y2 的分母 的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。 要点四、直线与椭圆的位置关系

c (0 ? e ? 1) ,a2=b2+c2;不同点为两种椭圆的位置不同,它 a

-3-

平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分:椭圆上、椭圆内、椭圆外,因此,平面上的点与椭圆的位置关 系有三种,任给一点 M(x,y) , 若点 M(x,y)在椭圆上,则有

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ; a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ; a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) . a 2 b2

若点 M(x,y)在椭圆内,则有

若点 M(x,y)在椭圆外,则有 直线与椭圆的位置关系

将直线的方程 y ? kx ? b 与椭圆的方程

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 联立成方程组,消元转化为 a 2 b2

关于 x 或 y 的一元二次方程,其判别式为 Δ. ①Δ>0 ? 直线和椭圆相交 ? 直线和椭圆有两个交点(或两个公共点) ; ②Δ=0 ? 直线和椭圆相切 ? 直线和椭圆有一个切点(或一个公共点); ③Δ<0 ? 直线和椭圆相离 ? 直线和椭圆无公共点. 直线与椭圆的相交弦 设直线 y ? kx ? b 交椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 于点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ), 两点,则 a 2 b2

2 2 | PP 1 2 |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )

= ( x1 ? x2 )2 [1 ? (

y1 ? y2 2 2 ) ] = 1 ? k | x1 ? x2 | x1 ? x2
1 | y1 ? y2 | (k ? 0) k2

同理可得 | P 1P 2 |? 1 ?

这里 | x1 ? x2 |, | y1 ? y2 |, 的求法通常使用韦达定理,需作以下变形:

| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 | y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2
【典型例题】 类型一:椭圆的简单几何性质 例 1. 已知椭圆的对称轴为坐标轴,O 为坐标原点,F 是一个焦点,A 是一个顶点,若椭

-4-

2 ,求椭圆的方程。 3 2 【解析】 椭圆的长轴长为 6, cos ?OFA ? ,所以点 A 不是长轴的顶点,是短轴的顶 3 c 2 2 2 2 2 点,所以|OF|=c, | AF |? | OA | ? | OF | ? b ? c ? a ? 3 , ? , 3 3
圆的长轴长是 6,且 cos ?OFA ? 所以 c=2,b2=32-22=5,

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1或 ? ? 1。 故椭圆的方程为 9 5 5 9
【总结升华】 灵活运用椭圆的几何性质:①a2=b2+c2;②长轴长 2a,短轴长 2b,进行求 参数的值或求椭圆的方程. 举一反三: 【高清课堂:椭圆的性质 例 1】 【变式 1】求椭圆 16x2+25y2=400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 【变式 2】长轴长等于 20,离心率等于

3 ,求椭圆的标准方程。 5

x2 y 2 y 2 x2 ? ?1 ? ? 1或 【答案】 100 64 100 64
【变式 3】在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心

2 F 率为 2 . 过点 1 的直线 l 交 C 于 A, B 两点, 且 ?ABF2 的周长为 16, 那么 C 的方程为______

x2 y 2 ? ?1 【答案】 16 8 。
类型二:求椭圆的离心率或离心率的取值范围 例 2.(1)已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为 3∶ 2 的两段,求其离心率; (2)已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为 10 和 4,求其离心率。 【解析】 (1)由题意得 (a ? c) ∶ (a ? c) ? 3∶ 2 ,



1? e 3 , ? 1? e 2

解得 e ? 5 ? 2 6 。 (2)由题意得 ?

?a ? c ? 10 , ?a ? c ? 4

-5-

解得 ?

?a ? 7 c 3 ,故离心率 e ? ? 。 a 7 ?c ? 3

【总结升华】 椭圆的离心率是椭圆几何性质的一个重要参数,求椭圆离心率的关键是 由条件寻求 a、c 满足的关系式;

c b ?b? 2 椭圆的离心率 e ? ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? e ,所以构造 a、b、c 三者中任意两个的 a a a ? ?
关系,均可求出椭圆离心率,而 a、b、c 三者中任意两个的关系,可以通过几何图形直观观察, 可构造方程或不等式得到三者关系。 求椭圆的离心率通常有两种方法: (1)若给定椭圆的方程,则根据焦点位置确定 a2、b2,求出 a、c 的值,利用公式 e ?

2

c a

直接求解。 (2)若椭圆的方程未知,则根据条件建立 a、b、c、e 满足的关系式,化为关于 a、c 的 齐次方程,再将方程两边同除以 a 的最高次幂,得到 e 的方程,解方程求得 e。 举一反三: 【变式 1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是( )

A.

1 5

B.

3 4

C.

3 3

D.

1 2

【答案】D 【变式 2 】椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点到两焦点的距离分别为 d1、d2 ,焦距为 2c ,若 a 2 b2

d1、 2c、d2 成等差数列,则椭圆的离心率为_____
【答案】

1 2

例 3. 设 M 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点,F1、F2 为椭圆的焦点,若∠MF1F2=75°, a 2 b2

∠MF2F1=15°,求椭圆的离心率。 【解析】 在△MF1F2 中,由正弦定理得

| MF1 | | MF2 | 2c ? ? , sin ?F1MF2 sin ?MF2 F1 sin ?MF1F2
| MF1 | | MF2 | 2c ? ? sin 90? sin15? sin 75? 2c | MF1| ? | MF 2 | 2a ? ? ∴ , sin 90? sin15? ? sin 75? sin15? ? sin 75?


-6-

∴e ?

c 1 6 。 ? ? a sin15? ? sin 75? 3
本题利用了椭圆的定义、正弦定理、等比定理、三角变换等多种知识,

【总结升华】 求出离心率 e。 举一反三:

【变式 1】 以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点, 顺次连结这四个点和两个焦点, 恰好围成一个正六边形,则这个椭圆的离心率等于____。 【答案】 3 ? 1

【变式 2】已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左焦点为 F,右顶点 A,上顶点为 B,若 a 2 b2

BF⊥BA,则称其为“优美椭圆” ,那么“优美椭圆”的离心率为________。 【答案】

5 ?1 2

【解析】 根据题意, |AB2|=a2+b2, |BF|=a, |AF|=a+c, 所以在 Rt△ABF 中, 有(a+c)2=a2+b2+a2, 化简得 c2+ac―a2=0,等式两边同除以 a2,得 e2+e―1=0,解得 e ?

?1 ? 5 。 2

又∵0<e<1,∴ e ?

5 ?1 。 2

例 4.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,F1,F2 是两个焦点,若椭圆上存在一点 P,使 a 2 b2

?F1 PF2 ?

2? ,求其离心率 e 的取值范围。 3 2? 【解析】△F1PF2 中,已知 ?F1 PF2 ? ,|F1F2|=2c,|PF1|+|PF2|=2a, 3
由余弦定理:4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°① 又|PF1|+|PF2|=2a ②
2 2

联立① ②得 4c2=4a2-|PF1||PF2|,∴ | PF 1 || PF 2 |? 4a ? 4c

| PF1 || PF2 |? (

2a 2 ) ? a 2 ? 4a 2 ? 4c 2 ? a 2 ? 3a 2 ? 4c 2 ? 0 2

?

c 3 3 ? ? ? e ?1 a 2 2

【总结升华】求离心率或离心率的范围,通常构造关于 a , b , c 的齐次式,从而构造出 关于 e 的方程或不等式.
-7-

举一反三: 【变式】已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 以 a , b , c 为 系 数 的 关 于 x 的 方 程 a 2 b2

a x2 ? b x? c?0 无实根,求其离心率 e 的取值范围。
【答案】由已知, ? ? b ? 4ac ? 0 ,所以 (a2 ? c2 ) ? 4ac ? 0 ,
2

即 c ? 4ac ? a ? 0 ,
2 2

不等式两边同除 a 可得 e ? 4e ? 1 ? 0 ,
2 2

解不等式得 e ? ? 5 ? 2 或 e ? 5 ? 2 . 由椭圆的离心率 e ? (0,1) , 所以所求椭圆离心率 e ? ( 5 ? 2,1) . 类型三:直线与椭圆的位置关系 例 6. 已知椭圆

x2 ?1 1? ? y 2 ? 1 ,求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在的直线方程. 2 ? 2 2?

【解析】解法一:设所求直线的斜率为 k ,则直线方程为 y ? 程,并整理得

1 1? ? ? k ? x ? ? .代入椭圆方 2 2? ?

?1 ? 2k ?x ? ?2k
2 2

2

1 3 ? 2k x ? k 2 ? k ? ? 0 . 2 2

?

2k 2 ? 2k 由韦达定理得 x1 ? x2 ? . 1 ? 2k 2
∵ P 是弦中点,∴ x1 ? x2 ? 1.故得 k ? ? 所以所求直线方程为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . 解法二:设过 P? , ? 的直线与椭圆交于 A?x1,y1 ? 、 B?x2,y2 ? ,则由题意得

1 . 2

?1 1? ? 2 2?

-8-

? x12 2 ? ? y1 ? 1, ? 22 ? x2 2 ? ? y2 ? 1, ?2 ? x1 ? x2 ? 1, ? ? y1 ? y2 ? 1.
①-②得

① ② ③ ④


2 x12 ? x2 2 ? y12 ? y2 ?0. 2

将③、④代入⑤得

1 y1 ? y2 1 ? ? ,即直线的斜率为 ? . 2 x1 ? x2 2

所求直线方程为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . 【总结升华】 (1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨 迹;过定点的弦中点轨迹. (2)解法二是“点差法” ,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率. (3)有关弦及弦中点问题常用的方法是: “韦达定理应用”及“点差法” .有关二次曲线 问题也适用. 举一反三: 【变式 1】已知点 P(4,2)是直线 l 被椭圆 方程. 【答案】直线 l 的方程为 x+2y-8=0

x2 y 2 ? ? 1 所截得线段的中点,求直线 l 的 36 9

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,求实数 m 的取值范 【变式 2】若直线 y ? kx ? 1(k ? R) 与椭圆 5 m
围。 【答案】 m ? 1且m ? 5 时,直线 y ? kx ? 1(k ? R) 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点 5 m

-9-

版权所有:高考资源网(com)

- 10 -


相关文章:
12.已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x-a)2+(y-a+4)2=1.若圆M上存...
填空题5分 理科数学 圆的切线方程 12.已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x-a)2...北京市八一学校 北京市第四中学 北京大学附属中学 北京师范大学第二附属中学©...
更多相关标签: