对数与对数运算1

2.2.1对数与对数运算(1)

引入：

回顾指数
22 = 4 25 = 32 2x = 26

X=

引入：
问题：设 2005 年我国的国民生产总 值为 a亿元，如每年平均增长8%，那么 经过多少年国民生产总值是2005年的2倍？ 设：经过 x 年国民生产总值是 2005 年的 2 x 倍，则有 a 1 ? 8% ? 2a x 即 1.08 ? 2 x??

?

?

这是已知底数和幂的值，求指数的问题。 可以 ,下面我们来学习一 b 能否用一个式子 即指数式 a 和x N.求b的 a ? N 中，已知 种新的函数 !他就可以把 把表示出来吗 问题。（这里 a 表示出来 ? 0且a ?? 1）

定义：一般地，如果 a?a ? 0, a ? 1? 的 b次幂等于N, 就是 a b ? N ，那么数 b叫做 a 为底 N的对数，记作 log a N ? b，a叫做对数 的底数，N叫做真数。

a ?N
b

log a N ? b

指数式与对数式的对比
名称

式子
指数式: a b =N 对数式: Log a N=b

a
底数 底数

b
指数 对数

N
幂值 真数

?

几点说明： 1．在对数式中 N > 0 （负数与零没有对数） 2．对任意 a ? 0 且a ? 1 , 都有a 0 ? 1 ∴ log a 1 ? 0 同样易知：log a a ? 1 b 3．如果把 a ? N 中的 b写成log a N , 则有 a loga N ? N （对数恒等式）

介绍两种特殊的对数： 1．常用对数：以10作底 log 10 N 写成 lg N
2．自然对数：以 e作底 e为无理数， e = 2.71828……

log e N 写成

ln N

对数式与指数式的互换，并由此求某些特殊 的对数

4 ? 16
2

化为对数式

log 4 16 ? 2

10 ? 100
2

化为指数式

log 10 100 ? 2
1 log 4 2 ? 2

4 ?2
10 ? 0.01
?2

1 2

化为对数式 化为指数式

log 10 0.01 ? ?2

例题讲解 例题1：将下列指数式写成对数式：

(1)
( 2)

5 ? 625
4

log 5 625 ? 4
1 log 2 ? ?6 64

2

?6

1 ? 64
m

( 3)
( 4)

3 ? 27
a

log 3 27 ? a
log 1 5.73 ? m
3

?1? ? ? ? 3?

? 5.73

例题讲解 例题2：将下列对数式写成指数式：

(1) log 1 16 ? ?4
2

?1? ? ? ? 2?

?4

? 16
7

(2) log 2 128 ? 7

2 ? 128 10 ? 0.01
?2

( 3) lg 0.01 ? ?2

(4) ln 10 ? 2.303

e

2.303

? 10

例题讲解 例3 (1) log 9 27 解：设 x ? log 9 27 求对数 求对数
则

9 ? 27,
x

3
解：设 即 ∴

2x
5

?3
4

3

(2) log 3

625
54

3 ∴ x? 2

x ? log 3
x?3

625
4

则 ∴

x
3

5

4

? 625,

5

4 x 3

? 625 ? 5 ,

4 x?4 3

例题讲解 2．求x的值：
①

2 log 64 x ? ? 3
求真数
2 ? 3 2 ? 3

解：∵
∴

2 log 64 x ? ? 3

x ? 64
?

? (4 )

3

4

?2

1 ? 16

例题讲解

②

log x 8 ? 6
1 6

解： ∵ log 8 ? 6,又∵ x? 0 x

x ? 8 ? (2 ) ? 2 2 求底数 ③ ? ln ? x e 2 解： ∵ ? ln ? x e 2 2 ?x 求对数 ∴ ln e ? ? x, e ? e
∴ ∴

3

1 6

x ? ?2.

课堂练习
1.把下列对数写成指数形式
3

(1) 2 ? 8 (2) 2 ? 32 (3) 2
?1 5

log 2 8 ? 3 log 2 32 ? 5 1 log 2 ? ?1 2 1 1 log 27 ? ? 3 3

1 ? 2
? 1

(4) 27

1 3 ? 3

小结：
1°对数的定义 2°互换(对数与指数会互换) 3°求值(已知对数、底数、真 数 其中两个，会求第三个）

学习要求：

1.要求理解对数的概念， 2.能够进行对数式与指数式的互化 3.并由此求一些特殊的对数式的值。