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数学奥林匹克高中训练题(203)


中 等 数 学 

数学舆滁  蓖 
中图分 类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A  

删拣 ( 2 0 3 )  

文章编号 : 1 0 0 5—6 4 1 6 ( 2 0 1 6 ) 0 5— 0 0 4 0— 0 7  

第 一 试 

/>
5 . 任 取   、   ∈ ( o ,   ) , 均 有  
4 c o s  + 2 c o s   O r " e 0 s 卢+ 4 c o s   卢一  
3 c o s   一3 c o s   一k <O.  



填空题 ( 每小题 8 分, 共6 4分 )  

1 . 平 面上 m个 点无 三点共 线 , 其 凸包 为  凡边形 , 适 当连 线 可得 一个 由三 角形 组 成 的  网格 区域 , 记 其 中互 不 重叠 的三 角形个 数 为 
m, n ) . 则  2   0 1 6, 3 0 )=  

则 k 的最小值为 
6 . 不等式 
6+3  5+5   4+3  3—2   2—1<0  

的解集为— — .  
7 . 实数 x , y 、   满足 
+y+   =1, 且  +   +   =3 .  
,  

则x y z的取值 范围是 

内一点 A ( x , Y ) , 定点 B ( a , 6 ) 满足 O A ? O B≤1 .   则a + b的最大值为一  
3 . 设抛物线 C :   = 2 p  ̄ ( p> 0 ) 的焦点 为 

8 . 在平面 区域 
M =  

僻  ’ )  

F , 其准线 与 轴 的交点 为 Q , 过点 F作直 线 
与抛物线 c交 于 A 、 B两点 , 且  Q B F= 9 0 。 .  
则l A Fl —I   B Fl =   .  
Df   C 

内任取  个点 , 均能将这 k 个点分 成 A 、 B两 

组, 使得 A组所有 点的横坐标 之和不 大于 6 ,  
而  组所有 点 的纵 坐标 之 和不 大 于 6 . 则正 

4 . 如图 1 , 在 正 方 

整数 k 的最大值 为— — .  
二、 解答题 ( 共5 6分 )  

体 A B C D—   B   c   D   d ,   中, 点 E 、 F 、 G分 别 为 
线段 B B   、 A B、 A   C上 

9 . ( 1 6分 ) 求  的最小值 , 使得 函数 
戈 )=   一2 x+1  
C 

的动点. 给出 以下 四个
命题 :  

4  
图 1  

对 区间 [ 0 , 4 ] 的任一分割 
0:  0<  l<… <  


1<  

=4,  

①对 任 意点  , 存  在点 F , 使得 D   F上 C E ;   ②对任意   F , 存在点 E , 使得 C E上 D   F ;   ③对任意点  , 存在点 G , 使得 D   G上 C E ;   ④对任意点 G , 存在点 E , 使得  上 D   G .  
的概率 P=  

均满足 

∑  ) 一 f ( x  ) I ≤  

1 0 . ( 2 0 分 ) 如 图 2 , 椭 圆 c : 等 +  = 1 的  
左、 右顶点分别为 A 、 B , 在椭 圆 C上任取异于  于点  、 Ⅳ, 直线 M B与椭 圆 c交 于点 Q .  

B的点 P , 直线  、 P 日分 别与直线 : 3交  从 中任选 两个命 题 , 其 中恰 有一 真 一假  4、

2 0 1 6年第 5期 

4 1  


( 1 ) 求  . 赢 的值;  
( 2 ) 证明:  、 Q 、 N三点共线.  
V 

A   , …,   及点 0处 的卡片作如下操作 :   操作  : 若 某个点  处 的卡片数不少 于 

3 , 则可从 中取 出三张 , 在三点 A ㈠、 A …、 0处  各放一张 ( A o =   , A   +  = A 1 ) ;  
M 

操作  : 若点 0处 的卡片数不 少于 n , 则 
~  

可从 中取 出 / Z 张, 在 n个 点  ,  : , …, A  处  各放一张.   证 明: 只要放置于这 / Z +1 个 点处 的卡片  总数不少于 r t   + 3  + 1 , 则总能通过若干次操  作, 使得每个点处的卡片数均不少于 n + 1 .  

引  

力  F \∥ 
N 

: =   3  

1 1 . ( 2 0分 ) 设a 1 ∈ Z+ , 且a 1 ≤1 8 , 定 义 

参 考 答 案 
第 一 试 
— —

数列 { a   } :  
f 2 a  ,   a  ≤ 1 8;  


。 n +  i 2 。   一 3 6 , 。   > 1 8 (   =   , 2 , … ) ?  
求集合 M ={ a   J   n∈ Z+ } 中元素个数 的  
最大值.  

1 . 4   0 0 0 .  

因为无三点共线 , 所 以,   m, 孔 ) = ( n - 2 ) + 2 ( m一 / ' t ) = 2 m一 / t ' - 2 .   故 2   0 1 6 , 3 0 ) = 2   x 2   0 1 6 — 3 o一 2 = 4   0 0 0 .  
2. 2 .  




试 



( 4 O分 ) 如 

由题意对任意 的(  , Y ) ∈ D, 有 
黜 +6 y≤ 1 .  

图3 , 过 o  0外 一 点 

P作 切 线 P A 、 P B 以 
及 割线 P C D, 过点 C  

分别 取 (  , Y )=( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , 得 定 点 
必 有 。+ 6 ≤2 .   B ( 。 , 6 ) 满 足 必 妥 杀 仟 t I 6 a ≤1
 ̄ <

l  

作  的平 行线分别 
与A B 、 A D交 于点 E 、  
F . 证明: E C=E F .   图3  

D 

则( a+b )   。   ≤2 .  

对定点 B ( 1 , 1 ) , 任取 a ( x , Y ) ∈ D, 均有  O A ? O B=( 1 , 1 ) ? (  , Y )=  + y ≤1 ,  

二、 ( 4 0分 ) 证明:  
2 4 × 5   × 2   0 0 3 I (   一 1 ) ( 3 跏一 1 ) ( 1   9 7 8 1 0 0 — 1 ) .  

三、 ( 5 0分 ) 设 S={ 1 , 2 , …, 2   0 1 6 } . 对任 
意非空有 限实数集 A 、 B , 求 


其 等 号 在 点   ( 号 , 丢 ) 处 取 到 .  
故点 B ( 1 , 1 ) 满足题设条件 , 此时 ,  
a+b=2.  

I AA SI +I B ASI +I CA SI  

的最小值 , 其中,  
X A Y ={ a∈  I   a   Y } u{ a∈ Y l a   X}  

因此 , ( a+ b )   = 2 .  
3 . 2 p .  

称为集合  与 】 , 的对称 差 , 且 
C={ a+b   l   a∈ A, b∈ B} .  

如图4 , 设直线 A B的倾斜角 为锐角  在 
R t △B Q F中应用抛物线定义得 
s i n   0=C O S   0. I BF I- -pC O S   0 .  

四、 ( 5 O 分) 设 整数 n 13 > , 对置 于 n 个 点 

4 2  
5. 6 .  
J  

中 等 数 学 

换元 (   1 ,   2 ) =( 2 c o s   0 [ , 2 c o s  ) .   则题设 不等式化为 

2   ; +   1   2 + 2   ; 一 3   1 — 3   2 — 2   < o .  
一  

Q  

互  

因为 。 、   ∈( 一 1 , 2 ) , 所 以,  
(  1 +1 ) (   1 — 2 )+(   2 +1 ) (   2 — 2 )+   1(   1 + 1 ) (  一 2 ) +   1(  


\ 
图4  

2 ) (  + 1 ) < 0  

=  2 x  +  l  2+2 x  一3 x 1—3 x 2— 1 2<0.  

当  - X : - X   2 ( 或一 1 ) 时, 上式 左边  再 由焦 点弦长公 式得 
I AF I+ I   BFl:  
s l n 


}O.  

.  

故k   i   = 6 .  

贝 4   I A FI —I B FI =( MFI +I B FI )一 2 I B FI  
=   一

6 - (   ,   ) .  
定 义增 函数 - 厂 (  ) =   + 2   .  

2 p c o s   =   (   一s   )  
=  』   ?   C O S   0=  』   .  

下 面分段求解.   ( 1 )显然 ,  = O是不等式 的解.   ( 2 ) 当   ∈( 0 , +∞) 时, 原不等式化 为 
3+3   +5   +3 一一 2
一  

=  

』  

?  

二 旦 O S   0 C

4.  

.  



<0  

首先 , 无论点 F的位 置如何 , D   F在平 面 

B C B   C   上 的射影均 为 B C   , 故① 为假命题 , ② 
为真命 题.   其次 , 无 论 点 E 的位 置 如 何 , 如图 5 ,  
C   C E 与  C   E C 均 为  锐角. 因此 , 线段 C E上 总 

:  

  (  +1 ) 。 + 2 (  +1 )<   1+2


+ 一 ) <  )   +   < _ 1  
0<   <   .  

存在点  , 使得 C  _ l - C E .  
记线段 C   与日   C交 于点 

( 3 ) 当   ∈(一 ∞, 0 ) 时, 原不等式化 为 
C 

在 平面 4   B   C D 内作 Y G   / / C D与 A   c交 于点 G , 即 
点 G为 A   时,  

+   ) >  ) .  
类 似地 ,   <  < 0 .  

图5   综上, 原不等式 的解 集为 

满足 D   G上 C E . 从 而, ③ 为真命 题. 但是 , 取 

D   G / / B C   D   G与 C E不垂 直 ,  
故④为假命题.   综上 , 四个命题 中恰有两个真命题 、 两个 
假命题.  

( \  2    , ’  2  ) 厂 .  
7 十  ,  
记厂 =   先变换减元 , 化为单变量 函数.  
注意到 ,  
1=(  + Y+ z )  

因此 , 从 中任取两个命题 , 恰有一个 真命 
A  , 、  

题与一个假命题的 概率P = ÷= 了 / - , .  

2 0 1 6年第 5期 

4 3  

=   +   +  + 2 ( x y +   +  )  


: 3+ 2 f x y十 y z + z x )  
=  x y+y z+   = 一1  
:  

2 ( 1   1 一 尼 ) 一∑ 戈  
  !
+l  

≤2 2— 2  一( 1   1~ k ) x   + l  

2 ( Y+   )+ x y z :一  

< 2 2— 2 k 一  
<6 一  

- 厂 (  ) =一  一  ( 1 一   ) :   。 一   一  
- 厂   (  ): 3 x  一 2 x一1 .  

由柯西不等 式得 
2 ( y   +  ) ≥( Y+ z )   2 ( 3一  ) ≥( 1一 戈 )  
一  

故 取 A= { P   , P : , …, P   } , B ={ P   ,  
P   + 2 , …, P 1 l } 即可.  
因此 , k   =1 1 .  

≤  ≤  

.  

二、 9 . 对 区间[ 0 , 4 ] 的任一分割 
0=  0<  l< … <  


l<  

=4,  

令  (   ) = 0 , 得 = 1 , 一 ÷.  

记正整数 k 满足  ≤1 <  

故 当 (   ,   , 彳 ) = ( 一   1 , 一   1 ,   ) 时 ,  
5  

由于. 厂 (  ) 在 区间 [ 0 , 1 ] 上 递减 , 在 区 间  ( 1 , 4 ] 上递增 , 知 

, m  

;  

∑I f ( x   ) 一 ix f ㈠) I  


当(  , Y ,   ) =( 1 , 1 , 一 1 ) 时,  
厂 m i   =一 1 .  
8 .1 1 .  

∑  )   一   ) l +   +   ) - f ( x k ) l +   ∑I f ( x   ) 一 f ( x  ) I  

因为平面 区域 M 内存在 1 2个点  ( 1 — 1 O ~, 1 + 1 0 - t - 3 t ) ( t = 1 , 2 , …, 5 ) ,   ( 1 + 6   x l 0 ~, 1 — 1 0  t ) ( t = 6 , 7 , …, 1 2 ) ,  

= 

O ) - f (   )+I f (  +   )一   4 ) 一   +   )  

) f +  

= 1 0+  

+   )f ( x   ) I  f ( x  )f ( x   ) .  

不能按题设要求分成两组 , 所以,  ≤1 1 .  
接下来证 明 k = 1 1 满足题设条件.   在平面 区域  内任取 1 1 个点 P   (  , Y   )   ( i = 1 , 2 , …, 1 1 ) . 由题意 , 知Y   ≤2一  ( i = 1 ,  
2 , …, 1 1 ) . 不妨设 0 ≤   1 ≤   2 ≤… ≤   l 1 ≤2 , 分  以下两种情形.  

若厂 (   …)  

) , 则 

∑I f ( x   ) 一 f ( x  ) l = 1 0 一  
当  = 1时 , 上式等号成立.   若  +   ) <   ) , 则 

) ≤ 1 0 ,  

∑  f )  

一 1 ) I = 1 0 一   + 。 ) < 1 0 .  

( 1 ) 若∑ x i ≤ 6 , 则 取A = { P   , P 2 , …, P 8 } ,  
B={ P 9 , P   。 , P 1 。 } 即可.  

于是 , 对 区间[ 0 , 4 ] 的任一分割 , 均有 

∑  ) 一 f ( x  ) I ≤ 1 o ,  
且等号成立 的条件为存在一个  = 1 .  

( 2 ) 若∑ > 6 , 则 存 在 唯 一正 整 数k ∈  
t   4 , 5 , …, 1 o } , 使 得∑ ≤ 6 .  
但  x i > 6 , 此  … >   , 于是 ,  

故∑ I l f x   ) 一  
因此 , M  i   =1 0 .  

) I 的 最 大 值为1 0 .  

1 o . ( 1 ) 记点 P ( x 0 , y o ) . 则3 x   +   = 1 2 .  

∑Y i ≤∑ ( 2 一 x i )  

由  

+ 2 )  , 得   ( 3 ,  ) ;  

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由  : (   2 )  , 得 Ⅳ ( 3 ,  ) .  
再 由点 F ( 1 , 0 ) 得 

a   兰1 2 ( mo d   3 6 )  

a   三1 2  

( a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , …) 兰( 1 2 , 2 4 , 1 2 , 2 4 , …) .  

考虑前两项 , 得I MI ≤ 4 .  
一 、

蔚  ( \   2 ,   o + Z /   \  0 一   2 ) /  

f 0 3 三6 ( o r o d   9 ) ,  

、   【 a   -0 ( o r o d   4) .  

- 4 + 羞 一   4 - 4 _   4   4 .  
( 2 ) 记点 Q为 P   ( s ,   ) .  

由中国剩余定理得 
a 3 = - 2 4 ( mo d   3 6 )   = = >( a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , …) 兰( 2 4 , 1 2 , 2 4 , 1 2 , …) .  

由( 1 ) , 知直线 P   B与直线  = 3交 于点 

考虑前两项 , 得I  I ≤ 4 .  
… .、

Ⅳ   3 ,  ) , 直 线 P ' A 与 直 线   = 3 交 于 点  

f a 3 = - 0 ( o r o d   9 ) ,  

M   3 ,  ) .  
由题意 , 点Ⅳ   即为点  , 故 
上 一  
s一2 一  0+ 2 。  

【 a   = - - 0 ( m o d   4 ) .  

则a 3 =0 - ( m o d   3 6 )  
( a 3 , a 4 , a 5 , …) 三( 3 6 , 3 6 , 3 6 , …) .  

考虑前两项 , 得I  I ≤ 3 .  

【 情形2 】 若a   不为 3的倍数 , 则数列{ a   }  
的各项 均不为 3的倍数.  
此时, a 3 兰1 , 2 , 4, 5, 7, 8 ( m o d   9 ) .  

再 由   壹 一莩 =   ‘   , 得  
一  

又a , -0 = ( o r o d   4 ) , 则 由中国剩余定理得 
a 3 -2 = 8, 2 0 , 4 , 3 2 , 1 6, 8 ( mo d   3 6 ) .  

+2 一  0—2 。  

故 点  即点 Ⅳ _   于是 , 由A 、 P   、 M  三 点共 线 , 得A 、 Q 、 Ⅳ   三点共 线.  

因此 , a 3 ∈{ 2 8 , 2 O , 4 , 3 2 , 1 6 , 8 } .   故当 n ≥ 3时 , a  ∈ { 2 8 , 2 o , 4 , 3 2 , 1 6 , 8 } ,  
且{ 2 8 , 2 0 , 4 , 3 2 , 1 6 , 8 } cM .   考 虑前 两项 , 得I  I ≤8 .  

1 1 . 由正整数 a   ≤1 8 及数列 { a   } 的递 推 
公式 可得如下性质 :  
( 1 )a   + 1 三2 口   ( mo d   3 6 ) , 即  a 川 =2 a   ( m o d   4 ) , 且a   + 1 -2 = a   ( o r o d   9 ) ;  

取a   = 1 , 得数列 { a   } :  
1, 2, 4, 8, 1 6, 3 2, 2 8, 2 0, 4, ….  

故集合  中元素个 数最大值为 8 .  

( 2 )各项均 为正 整数 , 且对 任 意 的 n∈  
Z +, a  ≤ 3 6;  




试 

( 3 ) 从第三项起 , 均为 4的倍 数 , 即对任 
意的 ≥3 , 4   I   a   ;  



如图6 , 联结 A C 、 B C 、 B D .  
P 

( 4 ) 3   J   a   §3   l   a   , 即若 a 。 为 3的倍数 , 则  所有项均 为 3的倍数 , 否则 , 没有 3的倍数.   分 以下 两种情形 考虑 I   MI 的最大值.  

【 情形 1 】 若3   l   a 。 , 则考虑 a 。 .  

D 

( i 1   I   a 3。




3( m



d   9 )

,  

m 。 d 4) ( .

由中国剩余定理得 

图6  

2 0 1 6年第 5期 

4 5  

对直线 A E K和△ C F D, 运用梅 涅劳斯 定 
理得 
C E

1+ 8 O   X   2 5 n 2 兰1 ( oo r d   5   ) .   于是 , n 2 = 5 m( m ∈ Z+ ) .  

E F   .   A D   .   K C   : 1 . ‘  




故  = 1 2 5 m( m ∈Z  ) .   综上, 满足 3   兰1 ( o r o d   1 0   ) 的正整数 
= 5 0 0 m( m∈ Z  ) .  

因为 C F #P A, 所以,  
F A AD — PD ’  




 

  。 D BD 

取 m=1 , 即得 1 O   I ( 3 姗 一1 ) .   ( 3 ) 证明 2   0 0 3   J ( 2   跖一1 ) .  

T1 

DK 

△ 4 肋 

义蔚  


’  
, 

因为 2   0 0 3 为素数 , 所 以,  
( 2   0 0 3 ) = 2   0 0 2 .  

丝 : 壁 P C   P C  p C   2 ’  
PA





将式② 、 ③代人式①得 
CE PC P   1   C E  PC? PD  .   EF… PD — pc 2   j  EF   PB  2  


由欧拉定理得 2   兰1 ( o r o d   2   0 0 3 ) .   类似地 , 5 。   三1 ( o r o d   2   0 0 3 ) .  
又在模 2   0 0 3意义下 , 数列 { 5 “ } 为 
5, 2 5, 1 2 5, 6 2 5, 1   1 2 2, 1   6 0 4, 8, …,  

EC =E 

故5   =2 -   ( o r o d   2   0 0 3 ) .  
注意到 , 2   0 0 2= 7× 2 8 6 .   由5   三1 ( oo r d   2   0 0 3 ) , 得 
2 。 x 2 8 6 兰1 ( mo d   2   0 0 3 ) .  

二、 ( 1 ) 证明 5 。 l ( 1   9 7 8   一 1 ) .  

因 为  ( 5 。 ) = 5   ( 1 一   1 ) = 1 0 0 , 且5 与  
1   9 7 8 互素, 所以, 由欧拉定理得 
1   9 7 8   。 。  ̄l ( m o d   5   )j  5   I ( 1   9 7 8   。 。 一 1 ) .   ( 2 ) 证明 1 0   l ( 3   一 1 ) .  

而( 2  
=   一

一1 , 2    ̄ 2 8 6 —1 )  

2( ’ x 2 8 6 , 3  。   一1=2 一1 一 1 一     一   .  

故2 猫-l ( m o d   2   0 0 3 )   2   0 0 3   l ( 2  一 1 ) .   综上 , 即得所证结论.  
三、   i  =2   01 7.  

可探求满足 3   三1 ( o r o d   1 0   ) , 即满足 
f 3   兰1 ( oo r d   2   ) ,   .  

【 3   三1 ( o r o d   5   )  
的正整数 | i } .  

首先 , 取 A=  = s , 则 C={ 2 , 3 , …, 4   0 3 2 } .  
于是 , I A ,  ̄ S I =J  △ SI = 0 ,  

因为满足 3   兰1 ( o r o d   2   ) 的最小 正整数 
d= 4 , 所以, 4   记 = 4 n (   ∈ Z+ ) .  

I C △ Sl = 2   0 1 7 . f= 2   0 1 7 .  

故  i   ≤2   0 1 7 .  
接下来证 明. 厂 ≥2   0 1 7恒成立.   定 义差集 X \ Y ={ 口∈XI 口   Y } .  
贝 4 . 厂 =l A\ J s l +l   B\ Sl +I   S \ CI +I   S \ A   I +  
l S\ B l+ I C\ SI .  

接下来 探求 满 足 3 “三1 ( o r o d   5   ) , 即满 
足8 1   三1 ( o r o d   5   ) 的正整数 m   由二项式定理得 
l +8 0 n 三1 ( oo r d   5   ) .   于是 ,  = 5 n l ( n 1∈ Z+ ) .  

只需证 明 : 对任意非 空实数集 、  , 均有   \ I 5   l +f   B \ S   l +I   S \ CI ≥1 ;  
I   S\ A   l +I   S\ B   I +I   C\ S   I t2 >   0 1 6 .

① 
(  

从而 , 8 1 7   三 1 ( o r o d   5   ) .  
又 由二项式定理得  1 + 8 0   x 5 n 1 -1 ( m o d   5   ) .  
因此 , n 1 = 5 n 2 ( n 2∈ Z+ ) .  

若I A \ s I =I B \ 5 I = 0 , 则A  s , 且B  s .  
于是 , 1   C .  

从而 , J S \ C I ≥1 , 即式①成立.   否则 , I A \  I ≠0或 I  \ s I ≠O , 当然有 式  ①成立.  

目标化为 8 1   兰1 ( o r o d   5   ) .  
再 由二项式定理得 

中 等 数 学 

若l   S   NA   I = 0 , 则I   S \ A   l = 2   0 1 6 .  

条件为 0   ≥n+ 4 ;  

于是 , 式②成立.   否则 , 不 妨设 S C I A中 的最 大 元素 为 ,   则必有 l S \ AI t2 >   0 1 6一   .   由   ∈A , 现讨论 元素 

2 个点 的团 G:{ 0 i , 0 …} 是好 团的充分  必要条件为 n   、 0 … ≥n+ 3 ;  
Z ( 3 ≤Z ≤  一 1 ) 个点 的团 
G:{  f , 4   + 1 , …,  + { 一 1 }  

∈{ 2   0 1 7一  , 2   0 1 8 一  , ? 一 , 2   0 1 6 } .   若  B , 则  ∈ S \ B; 否则 ,  ∈ B, 但 
+  ≥ +( 2   0 1 7一  )= 2   0 1 7 ,  
必 有  +  ∈ C \ S .  

是好 团的充 分必 要条 件 为 0   、 0  一   ≥n+ 3 ,  
且n   ≥n+ 2 ( i +1 ≤  ≤i + f 一 2 ) ;  

n 个 点 的 团 G={ A   , A : , …, A   } 是 好 团  的充分必要条件 为 o   ≥n + 2 ( 1 ≤   ≤n ) .  

故I S \ BI +I C \ S I ≥   .  

从而 , 式② 成立.   故  i   = 2   0 1 7 .  
四、 仅对 卡 片总数 等于  + 3 n+ 1证 明 

( i i i ) 当 点0 处的 卡 片 数 少 于n + 1   f ∑0  
、 i:l  

≥  + 2 n + 1 , 0   ≥n + 1   1 时, 必存在好团.  
,  

即可. 否则 , 若放在 题设 n+1 个点 处 的卡 片 
总数 多 于 忍  + 3  +1 , 则 可 以从 中随便 拿掉 


假设此 时不存在好 团.  

则∑ a i ≥  + 2 n + 1 , 且  
n   ∈{ n + 1 ,  + 2 , n + 3 } ( i = 1 , 2 , …, n ) .   记满足  = n+ 1 ,  + 2 , / 7 , + 3的点 的个  数 分别 为 x , y 、   . 则 
(  +1 )+ Y (  + 2 )+  (  + 3 )  
≥  +2 n +1 .  

些, 使卡片总数恰为 n   + 3 n + 1 .   ( 1 ) 先把  个 点 A   ( i =1 , 2 , …,  ) 处 的 

卡片数均调整到不少于 n + 1 .  

若某 个点 A   处 的卡 片数不少 于 3张 , 则  实施 操作  , 每 一次 这 样 的操 作均 使 得 点 0   处 的卡片数增加 1 , 经过若 干次操 作 A后 , 便  不能再 实施操作 , 此时 , 每个点  处 的卡片  数至多 2张 , 点 0处 的卡 片数至少 n   +  + 1   张; 再对点 0连 续实施 n+ 1次操 作 B , 使 得 
每个点  处 的卡片数至少有 n +1 张.  

下 面证 明 :  

因为 G={ 4   , A   , …, A   } 不是好团 , 所以,  

存在 n   =  + 1 .   假设  ≥2 . 则满足 0   : n+ 3的 个点 在 
圆周上没有两点 相邻 ( 否则会 出现 两个 点 的  好 团) , 且 每 两个 这 样 的点之 间至 少存 在 一 
个满 足 n   =n+1的点 ( 否 则会 出现 3≤f <n  

( 2 ) 保 证 每个 点  处 的卡 片 数 不 少 于  n+ l张 , 经 历一些 操作 , 使得 点 0处 的卡 片 
数增加至 n + 1 张.   ( i ) 团与好 团.   把 n个点 A   理解 为 以 0为 圆心 的 圆周  上顺 次均匀 分布 的  个点 , 定 义 相邻 点集 G  


的好团 ) , 于是 , 必有 ≥   .   故 ( n + 2 ) =(  + Y + 彳 ) (  + 2 )  
=  

(  十 2 )+ Y ( n+ 2 )+   ( n+ 2 )  

≥  +2n +1.  

{  ,  + 1 , …, A f + z 一 1 } ( 1 ≤i ≤  , 1 ≤Z ≤  ; 规 

矛 盾.  

定A   = A j ) 为一个 团 ; 若一个 团 G的每个 点  均经历一次操作 A之后 , 各点 处 的卡 片数 均 
不少于 n + 1 , 则称之 为好 团.  
( i i ) 好 团的特征.  

因此 , 在点 0处 的卡 片数少 于 n+1 时,   必存在好 团.  

记点  处 的卡片数为 0   , 则 


( i v ) 对 好 团 中每个 点 实施 操 作  , 使 得  点 0处 的卡片数增加至 n + 1 , 且有足 够 的好  团保证.   ( 王 慧 兴  清华 大 学 附属 中学 朝 阳 学 
校, 1 0 0 0 2 8 )  

≥  +1 ( i =1 , 2 , …, n ) .  

1 个点 的团 G:{ 0   } 是 好 团的充 分必 要 


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