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离散型随机变量及其概率分布


第二节

离散型随机变量及其概率分布 (2 学时)

教学目的 使学生熟练掌握常用离散型的概率分布。 教学重点和难点 本节的重点是两点分布,二项分布,泊松分布。 本节的难点是二项分布,泊松分布。 教学手段: 启发式教学和讲授法相结合。 教学内容: 1. 离散型随机变量的定义; 4. 泊松分布; 教学内容的深化和拓展 两点分布和二项分布之间的

关系,二项分布、 泊松分布和超几何分布之间 的关系。 教学中应注意的问题 二项分布的应用。 如果一个随机变量 ξ 的所有可能的取值为有限个或无限可数个,ξ 为离散型随机 变量,这一节我们将要研究与其相关的的内容知识。 一、定义:若一个随机变量 ξ 的所有可能的取值为有限个或无限可数个, 则称它为离散型随机变量。 二、概率分布: 2. 两点分布; 5. 超几何分布; 3. 二项分布; 6. 几何分布

设离散型随机变量 ξ 所有可能的取值为 xi(i=1,2,…),且事件{ξ=xi} 的概率为 P{ξ=xi}= pi,i=1,2,…这称为离散型随机变量 ξ 的概率分布或 分布列。它还可以用表格形式来表示:

ξ

x1 x2 … xi … p1 p2 … pi …

P

作为一个离散型随机变量的概率分布,满足下列两个条件 (1) pi≥0 , i=1,2,…

(2)

=1

例 1. 设一箱 10 件产品中 2 件次品 8 件合格品,现在从中随机抽取 3 件, 则抽得的次品数 ξ 的概率分布。 解:ξ 的可能取值为 0,1,2,且

P{ξ=0}=

P{ξ=1}=

P{ξ=2}=

故随机变量 ξ 的概率取值分布为: P{ξ=x}= 即

,x=0,1,2

ξ

0 1 2

P

三、几种常见的离散型随机变量的概率分布 1. 0—1 分布:(两点分布):

ξ

0 1

P

p q

2. 二项分布: n 重贝努里试验中事件 A 发生的次数 ξ 的概率分布

P{ξ=k}=

,k=0,1,2,…,n,此时称随机变量 ξ 服从二项分

布。记作 ξ~B(n ,p) 。 注:在二项分布中,若 n=1,则分布为两点分布。 例 2. 将例 1 中的抽取方式改为从中有放回抽取 3 次,每次 1 件,求所抽得 3 件中的次品数 ξ 的概率分布。 解:有放回的抽取 3 次,每次 1 件可看作 3 次重复独立试验,故 ξ 服从参数为

n=3,p=

的二项分布,即 ξ~B(3,

),故 ξ 的概率分布为

P{ξ=k}=


,k=0,1,2,3

ξ

0 1 2 3

P

例 3. 某人进行射击,设每次射击的命中率为 0.02,现在独立射击 500 次, 试求命中次数 的概率分布及命中次数不少于 2 的概率。 解:独立射击 500 次为 500 次重复独立试验,故 ξ~B(500, 0.02),其概率分布 为

P{ξ=k}=
所求概率为

,k=0,1,2,…,500

P{ξ 2} =1-(P{ξ=0}+ P{ξ=1})
=1- -

3. 泊松(Poisson)分布:若随机变量 ξ 的概率分布为

P{ξ=k}=

, =0, 1,2,…,其中 λ>0 的常数,

此时称随机变量 ξ 服从参数为 λ 的泊松分布,记作 ξ~π(λ)。 (性质的验证) 泊松定理: 设随机变量 ξn 服从二项分布 ξ~B(n ,p) (n=0,1,2,…),则其概率分布为

P{ξn=k}=

,k=0,1,2,… ,n ,其中 pn 与 n 有关,

若 pn 满足

(λ 为常数)。

例 4. 利用泊松分布近似计算例 3 中的概率 P{ξ≥2}。

解:因为

于是

=1-

1-



=1-0.0005=0.9995 例 5. 某厂有同类设备 300 抬,各台工作相互独立,每台发生故障的概率均 为 0.01,如果每台设备发生故障可由 1 人排除,问: (1)需配备多少维修工人才能保证发生故障的设备不能及时得到维修 的概率小于 0.2? (2)如果 1 人负责维修 40 台设备,求此人负责的设备发生故障而不能 及时得到维修的概率。 解:用随机变量 ξ 表示同时发生故障的设备台数. 1. 依题意 ξ~B(300, 0.01),设需配备维修工 N 人,则问题为确定 N,

使

=

<0.02

查附表 2 知, N 至少为 7,即至少应配备 7 人. 2. 依题意 ξ~B(40, 0.01),且 λ=40 0.01=0.4, 查附表 2 知,

=0.0616 4. 超几何分布:

若随机变量 ξ 的概率分布为 P{ξ=k}=

,k=0,1,2,… ,min{ n,M},

则称随机变量 ξ 服从参数为 n,M,N 的超几何分布,记作 ξ~H(n ,M,N)。

5. 几何分布: 若随机变量 ξ 的概率分布为 P{ξ=k}= 量 ξ 服从几何分布。记作 ξ~G(p) , =1,2,…,则称随机变

例 6. 设某射击手的命中率为 p=0.8,现在进行射击且各次射击都是独立的, 求直到击中为止的射击次数 ξ 的概率分布。 解: 容易看出 ξ~G(0.8),概率分布为 P{ξ=k}= 即 , =1,2,…

ξ

0 0.8

1

2

3

… …

i




P

课堂练习:P42,4,5。


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