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高考概率专项练习题


1、 (本小题满分 12 分) 某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内 印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为 . 甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮 料。 (Ⅰ)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率; (Ⅱ)求中奖人数ξ 的分布列及数学 期望 Eξ .
[来源: 学科 网 ZXXK]

1 6
<

br />2、 (本小题共 12 分) 本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每 车每次租不超过两小时免费, 超过两小时的收费标准为 2 元 (不足 1 小时的部分按 1 小时计 算) 。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分 别为

1 1 1 1 , ;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 , ;两人租车时间都不会超过 4 2 2 4

四小时。 (Ⅰ )求甲、乙两人所付租车费用相同的概率; (Ⅱ )求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列与数学期望 E? ;

3.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和 B ,系统 A 和系统 B 在任意 时刻发生故障的概率分别为

1 和 p. 10 49 ,求 p 的值; 50

(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

(2 设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ξ, 求 ξ 的概率分布列及 数学期望 Eξ.

4、(2013 四川,理 18)(本小题满分 12 分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量 x 在 1,2,3,?,24 这 24 个整数中等可能随机产生.

(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 Pi (i=1,2,3); (2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行 n 次后,统计记录了 输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频数,以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据. 甲的频数统计表(部分) 运行 输出 y 的值 输出 y 的值 输出 y 的值 次数 n 为 1 的频数 为 2 的频数 为 3 的频数 30 14 6 10 ? ? ? ? 2 100 1 027 376 697 乙的频数统计表(部分) 运行 输出 y 的值 输出 y 的值 输出 y 的值 次数 n 为 1 的频数 为 2 的频数 为 3 的频数 30 12 11 7 ? ? ? ? 2 100 1 051 696 353 当 n=2 100 时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1,2,3) 的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大; (3)将按程序框图正确编写的程序运行 3 次, 求输出 y 的值为 2 的次数 ξ 的分布列及数学期 望.

5、 (12 分) (2014?四川)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击 鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐:每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分, 出现两次音乐获得 20 分,出现三次音乐获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 分(即获得 ﹣200 分) .设每次击鼓出现音乐的概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X 的分布列; (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? (3)玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后,与最初分数相比,分数没有增加反而 减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.

1、本小题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算,考查 运用所学知识与方法解决实际问题的能力。 解: (Ⅰ)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、 B、C,那么

P ( A) ? P ( B ) ? P (C ) ?

1 , 6 1 5 2 25 ?( ) ? . 6 6 216
25 ????(6 分) 216

P ( A ? B ? C ) ? P ( A) P ( B ) P (C ) ?

答:甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是 (Ⅱ) ? 的可能取值为 0,1,2,3。

1 5 P(? ? k ) ? C34 ( ) k ( ) 3?k , k ? 0,1,2,3. 6 6 所以中奖人数 ?的分布列为

?
P

0

1

2

3

25 5 125 72 72 216 125 25 5 1 1 E? ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 3? ? ????(12 分) 216 72 72 216 2.

1 216

2、 (1) 所付费用相同即为 0, 2, 4 元。 设付 0 元为 P 1 ? 付 4 元为 P 3 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? , 付 2 元为 P2 ? ? ? , 4 2 8 2 4 8

1 1 1 ? ? 4 4 16 5 16

则所付费用相同的概率为 P ? P 1?P 2 ?P 3 ?

(2)设甲,乙两个所付的费用之和为 ? , ? 可为 0, 2, 4, 6,8

P(? ? 0) ? P(? P(? P(? P(?

1 8 1 1 1 1 5 ? 2) ? ? ? ? ? 4 4 2 2 16 1 1 1 1 1 1 5 ? 4) ? ? ? ? ? ? ? 4 4 2 4 2 4 16 1 1 1 1 3 ? 6) ? ? ? ? ? 4 4 2 4 16 1 1 1 ? 8) ? ? ? 4 4 16

分布列

?
P

0
1 8 5 5 9 1 7 ? ? ? ? 8 4 8 2 2

2

4

6
3 16

8
1 16

5 16

5 16

E? ?

3、解: (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C,那么

1 ? P (C ) ? 1 ?
解得 p ?

1 49 . ?p? 10 50

1 . 5
0

1 3 1 , ) ? 10 1000 1 2 1 27 1 )? P (ξ=1)= C3 ( ) ? (1 ? , 10 10 1000 1 2 243 2 1 ) ? P (ξ=2)= C3 ( ) ? (1 ? , 10 10 1000 1 3 729 3 ) ? P (ξ=3)= C3 (1 ? . 10 1000
(2)由题意,P (ξ=0)= C3 ( 所以,随机变量 ξ 的概率分布列为 ξ 0 P 1 2 3

1 1000

27 1000

243 1000

729 1000

故随机变量 ξ 的数学期望:

E? ? 0 ?

1 27 243 729 27 ? 1? ? 2? ? 3? ? 1000 1000 1000 1000 10

4、解: (1)变量 x 是在 1,2,3,?,24 这 24 个整数中随机产生的一个数,共有 24 种可能. 当 x 从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 12 个数中产生时, 输出 y 的值为 1, 故 P1 = 当 x 从 2,4,8,10,14,16,20,22 这 8 个数中产生时,输出 y 的值为 2,故 P2 = 当 x 从 6,12,18,24 这 4 个数中产生时,输出 y 的值为 3,故 P3 = 所以,输出 y 的值为 1 的概率为 为

1 ; 2

1 ; 3

1 . 6

1 1 ,输出 y 的值为 2 的概率为 ,输出 y 的值为 3 的概率 2 3

1 . 6

(2)当 n=2 100 时,甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频率如下:

输出 y 的值 为 1 的频率 甲 乙

输出 y 的值 为 2 的频率

输出 y 的值 为 3 的频率

1027 2100 1051 2100

376 2100 696 2100

697 2100 353 2100

比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. (3)随机变量 ξ 可能的取值为 0,1,2,3.

8 ?1? ? 2? P(ξ =0)= C ? ? ? ? ? ? ? , ? 3 ? ? 3 ? 27
0 3

0

3

?1? ? 2? 4 P(ξ =1)= C ? ? ? ? ? ? ? , ? 3? ? 3? 9
1 3 2 P(ξ =2)= C3 ?? ? ?? ? ? 3 0

1

2

?1? ? 3?

2

? 2? ?3?

1

2 , 9

1 ?1? ? 2? P(ξ =3)= C ? ? ? ? ? ? ? , ? 3 ? ? 3 ? 27
3 3

故 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3

4 2 9 9 8 4 2 1 所以,Eξ =0× +1× +2× +3× =1. 27 9 9 27
P
即 ξ 的数学期望为 1. 5、 解: (1)X 可能取值有﹣200,10,20,100. 则 P(X=﹣200)= P(X=10)= P(X=20)= P(X=100)= 故分布列为: X P 由(1)知,每盘游戏出现音乐的概率是 p= + 则至少有一盘出现音乐的概率 p=1﹣ = , = = , ,

8 27

1 27

﹣200

10

20

100

= , .

由 (1) 知, 每盘游戏或得的分数为 X 的数学期望是 E (X) = (﹣200) × +10× +20× ﹣ = .

×100=

这说明每盘游戏平均得分是负分, 由概率统计的相关知识可知: 许多人经过若干盘游戏后, 入最初的分数相比,分数没有增加反而会减少.


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