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【解析版】广东省广州市2013届高三毕业班综合测试数学理试题(一)


试卷类型:A

2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(理科)
2013.3 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置 上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷 上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目 指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的 答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏 涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式: 如果事件 A, B 相互独立,那么 P A ? B

?

?

? P ? A? ? P ? B ? .

? ? 线性回归方程 ? ? bx ? a 中系数计算公式 y
? b ?
i ?1

? ( xi ? x)( yi ? y )
i ?1

n

? ( xi ? x)

n

? ? , a ? y ? bx ,

2

其中 x, y 表示样本均值. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U ? 1, 2,3, 4,5,6 ,集合 A ? 1,3,5 , B ? A. U ? A ? B C. U ? A ? ? B U 【答案】D 【解析】由 CU A ? ?2,4,6? , CU B ? ?1,3,5? ,则 U ? (CU A) ? (CU B) 。 2. 已知

?

?

?

?

?2,4? ,则
? ?

B. U ? ? A ? B U

?

?

?

?

D. U ? ? A ? ? B U U

?

?

a ? 1 ? bi ,其中 a,b 是实数,i 是虚数单位,则 a ? b i ? 1?i

A. 1 ? 2 i 【答案】B 【解析】由

B. 2 ? i

C. 2 ? i

D. 1 ? 2 i

a a a ? 1 ? bi ,即 ? i ? 1 ? bi ,得 a ? 2 , b ? 1 。 1? i 2 2

? x ? 2 y ? 1, ? 3.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? y ? 1 ? 0. ? A. ?3 B. 0 C. 1 D. 3
【答案】C 【解析】如图:要使 z 取得最大值,只有直线 y ? 是 1。

1 1 x ? z 经过点 (1, 0) ,因此 z 的最大值 2 2

y

0

x

4. 直线 x ?

3 y ? 0 截圆 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 4 所得劣弧所对的圆心角是
2

A.

? 6 ? 2

B.

? 3
2? 3

C.

D.

【答案】D 【解析】圆心到直线的距离是: d ?

2 1 ? ( 3) 2

? 1 。可见, d ?

r ,所以劣弧所对的圆 2

心角的一半是

? 2? ,圆心角是 。 3 3
1

2 1 正视图 侧视图

5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图 1,则该几何体的体积是

2

2 俯视图 图1

A. 2

B. 1

C.

2 3

D.

1 3

【答案】A 【解析】由三视图可知,这个几何体是水平放置的直三棱柱,且底面是直角三角形。则

1 V ? S ? h ? ? 1? 2 ? 2 ? 2 。 2
6. 函数 y ? sin x ? cos x

?

? ?sin x ? cos x ? 是
B.奇函数且在 ?

A.奇函数且在 ? 0, ? 上单调递增

? ?

??
2?

?? ? ,? ? 上单调递增 ?2 ? ?? ? ,? ? 上单调递增 ?2 ?
? ?? 上是单调递增的。 ? 2? ?

C.偶函数且在 ? 0, ? 上单调递增

? ?

??
2?

D.偶函数且在 ?

【答案】C 【解析】 y ? sin x ? cos x ? ? cos 2 x ,可见它是偶函数,并且在 ? 0,
2 2
x

7.已知 e 是自然对数的底数,函数 f ? x ? ? e ? x ? 2 的零点为 a ,函数 g ? x ? ? ln x ? x ? 2 的零点为 b ,则下列不等式中成立的是 A. f ? a ? ? f ?1? ? f ?b ? C. f ?1? ? f ? a ? ? f ?b ? 【答案】A 【解析】由 f (0) ? f (1) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 的零点 a 在区间 (0,1) 上;而 g (1) ? g (2) ? 0 , 可知函数 g ( x) 的零点 b 在区间 (1, 2) 上;则 a ? 1 ? b ,又因为函数 f ( x ) 在 R 上是单增的, 得 f (a) ? f (1) ? f (b) 。 8.如图 2,一条河的两岸平行,河的宽度 d ? 600 m, 一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B . 已知 AB ? 1 km,水流速度为 2 km/h, 若客船行 驶完航程所用最短时间为 6 分钟,则客船在静水中 的速度大小为 A. 8 km/h C. 2 34 km/h B. 6 2 km/h D. 10 km/h B. f ? a ? ? f ?b? ? f ?1? D. f ?b? ? f ?1? ? f ? a ?

B ?

?
A
图2

水流方向

【答案】B 【解析】设客船在静水中的速度大小是 x km / h ,由题意得

x 2 ? 62 ? 2 10002 ? 6002 ? 6 600
解得 x ? 6 2 km / h 。 二、填空题:本大题共 7 小题,考的生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9. 不等式 x ? 1 ? x 的解集是 【答案】 ? , ??) 【解析】当 x ? 1 时, x ? 1 ? x ,即 ?1 ? 0 ;当 x ? 1 时,1 ? x ? x , x ? 解集是 ? , ??) 。 10. ?0 cos x d x ?
1

.

?1 ?2

1 ;所以原不等式 2

?1 ?2

.

【答案】 sin1 【解析】

? cos xdx ? sin x
0

1

1 0

? sin1 。

11.某工厂的某种型号的机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元)有下表的统计资 料:

x
y

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

? ? 根据上表可得回归方程 y ? 1.23x ? a ,据此模型估计,该型号机器使用年限为 10 年时
维修费用约 【答案】12.38 【解析】 x ?
? ? 1 1 (2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6) ? 4 , y ? (2.2 ? 3.8 ? 7.0 ? 5.5 ? 6.5) ? 5 ,所以样本中 5 5

万元(结果保留两位小数) .

? 心点是: (4,5) ,它在回归直线上,带入得 a ? 0.8 ,当 x ? 10 时, y ? 12.38 。

?

?a x ? x ? 1? , ? 12.已知 a ? 0,a ? 1 ,函数 f ? x ? ? ? 若函数 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上的最 ? ? ? x ? a ? x ? 1? , ? ?
大值比最小值大

5 ,则 a 的值为 2

.

【答案】 a ?

1 7 或 2 2

5 , 2 1 5 ) ? 得 a ? ; 1 ? a ? 3 时, 当 函数 f ( x ) 的最大值是 a , 最小值是 a ? 2 , a ? (a ?2 2 ? , 则 2 2 5 此种情况不成立;当 a ? 3 时,函数 f ( x ) 的最大值是 a ,最小值是 1,则 a ? 1 ? ,得 2 7 1 7 a ? ,综上得 a ? 或 。 2 2 2
【解析】当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x ) 的最大值是 1,最小值是 a ? 2 ,则 1 ? ( a ? 2) ?
* ( 13. 已知经过同一点的 n n ? N ,n ? 3)个平面,任意三个平面不经过同一条直线.若这 n

个平面将空间分成 f
2

? n ? 个部分,则 f ? 3?

?

,f

?n?

?

.【答案】8; n ? n ? 2 。 【解析】 n ? 3 时, 当 任意不经过同一条直线的三个平面将空间分成了八部分, f (3) ? 8 ; 即 当 n ? 4 时,任意不经过同一条直线的四个平面将空间分成了十四部分,即

f (4) ? 8 ? 6 ? 14 ; 依次下去可得任意不经过同一条直线的 n 个平面将空间分成了 f ( n)
部分,且 f (n) ? 8 ? 6 ? 8 ? 10 ? ?? ? (2n ? 2)

? 2 ? 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 10 ? ?? ? (2n ? 2) ? 2 ? 2(1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?? ? (n ? 1)) ? n2 ? n ? 2
(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)
? 3 ? 在极坐标系中, 定点 A ? 2, ? ? , B 在直线 ? cos ? ? 3? sin ? ? 0 上运动, 点 当线段 AB 最 ? 2 ?

短时,点 B 的极坐标为 【答案】 (1,



【解析】在直角坐标系中, A 的坐标是 (0, ?2) ,点 B 所在的直线的

11? ) 6

?a ? 3b ? 0 ? 方程是 x ? 3 y ? 0 ,设 B 的坐标是 ( a, b) ,则得 ? b ? 2 3 ? (? ) ? ?1 ? 3 ? a

解得 B 的坐标是 (

11? 3 1 )。 , ? ) ,它的极坐标是 (1, 6 2 2
B D O C

15. (几何证明选讲选做题) 如图 3, AB 是 ? O 的直径, BC 是 ? O 的切线, AC 与 ? O 交于点 D ,

16 若 BC ? 3 , AD ? ,则 AB 的长为 5
【答案】4
2


A 图3

【解析】由切割弦定理,得 BC ? CD ? CA ,又因为 CA ? CD ? DA ,所以

CD ?

9 ,则 AB ? 4 。 5

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? 正周期为 8 . (1)求函数 f ( x ) 的解析式;

?
4

) (其中 x ? R , A ? 0 , ? ? 0 )的最大值为 2,最小

O (2) 若函数 f ( x ) 图象上的两点 P, Q 的横坐标依次为 2, 4 , 为坐标原点, 求△ POQ 的
面积. 【解析】 (1)因为函数 f ( x ) 的最大值是 2,所以 A ? 2 ;它的最小正周期是 8, ? ? 则 f ( x) ? 2sin(

?
4

?
4

x? )。 4

?

( 2 ) 由 题 意 得 , P(2, 2) , Q(4, ? 2) , PQ ? 2 3 ; 直 线 PQ 的 方 程 是

2x ? y ? 3 2 ? 0 ,所以原点到直线 PQ 的距离是 d ?
3 2。
17. (本小题满分 12 分)

3 2 2 ?1

? 6 ,则 ?POQ 的面积是

甲, 丙三位学生独立地解同一道题, 乙, 甲做对的概率为

1 , 丙做对的概率分别为 m , 乙, 2

n ( m > n ),且三位学生是否做对相互独立.记 ? 为这三位学生中做对该题的人数,其
分布列为:

?

0

1

2

3

P

1 4

a

b

1 24

(1) 求至少有一位学生做对该题的概率; (2) 求 m , n 的值; (3) 求 ? 的数学期望. 【解析】 (1)设 A 是“至少有一位学生做对该题”事件, B 是“没有一位学生做对” 。可见

A 、 B 两个事件是对立事件,则 P( A) ? 1 ? P( B) ? 1 ?

1 3 ? 。 4 4

1 ?1 ? 2 (1 ? m)(1 ? n) ? 4 ? (2)由 ? 的分布列可得 ? ?1 m? n ? 1 ?2 ? 24 1 ? ?n ? 4 ? 解得 ? ?m ? 1 ? 3 ?
(3)由题意可得 a ?

1 2 3 1 2 1 1 1 3 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24 1 1 3 1 1 1 1 2 1 1 1 11 1 1 13 b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 。 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 4 24 4 24 12
如图 4,在三棱柱 ABC ? A B1C1 中,△ ABC 是边长为 2 的等边三角形, 1
A1 B1 C1

18. (本小题满分 14 分)

AA1 ? 平面 ABC , D , E 分别是 CC1 , AB 的中点.
(1)求证: CE ∥平面 A BD ; 1
A

D

C E 图4 B

(2)若 H 为 A B 上的动点,当 CH 与平面 A AB 所成最大角的正切值为 1 1 求平面 A BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值. 1 【解析】 (1)证明:延长 A1D 交 AC 的延长线于点 F ,连接 BF . ∵ CD ∥ AA1 ,且 CD ? ∴ C 为 AF 的中点. ∵ E 为 AB 的中点, ∴ CE ∥ BF .
H A E

15 时, 2

1 AA1 , 2

A1 B1

C1

D

C B

F

∵ BF ? 平面 A BD , CE ? 平面 A BD , 1 1 ∴ CE ∥平面 A BD 。 1 (2)∵ AA1 ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , ∴ AA1 ? CE ∵△ ABC 是边长为 2 的等边三角形, E 是 AB 的中点, ∴ CE ? AB , CE ?

3 AB ? 3 。 2

∵ AB ? 平面 A AB , AA1 ? 平面 A AB , AB ? AA1 ? A , 1 1 ∴ CE ? 平面 A AB . 1 ∴ ?EHC 为 CH 与平面 A AB 所成的角. 1 ∵ CE ? 3 , 在 Rt△ CEH 中, tan ?EHC ?

CE 3 , ? EH EH

∴当 EH 最短时, tan ?EHC 的值最大,则 ?EHC 最大. ∴当 EH ? A1B 时, ?EHC 最大. 此时, tan ?EHC ?

CE 3 15 . ? ? EH EH 2

∴ EH ?

2 5 . 5

∵ CE ∥ BF , CE ? 平面 A AB , 1 ∴ BF ? 平面 A AB . 1 ∵ AB ? 平面 A AB , A1B ? 平面 A AB , 1 1 ∴ BF ? AB , BF ? A B . 1 ∴ ?ABA1 为平面 A BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角). 1 在 Rt△ EHB 中, BH ?

EB2 ? EH 2 ?

BH 5 5 ? , cos ?ABA1 ? 。 EB 5 5

∴平面 A BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为 1 19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 (1) 求数列 {an } 的通项公式;

5 。 5

a1 ? 2a2 ? 3a3 ????? nan ? (n ? 1)Sn ? 2n (n ? N * ).

(2)若 p, q, r 是三个互不相等的正整数,且 p, q, r 成等差数列,试判断

a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1 是否成等比数列?并说明理由.
【解析】 (1)解:? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ?1)Sn ? 2n , ∴ 当 n ? 1 时,有 a1 ? (1 ?1)S1 ? 2, 解得 a1 ? 2 . 由 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ?1)Sn ? 2n , ① ② ③

a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1)an?1 ? nSn?1 ? 2(n ? 1) ,
②-①得: (n ? 1)an?1 ? nSn?1 ? (n ?1)Sn ? 2 .

由③式得: (n ?1)an?1 ? nSn?1 ? (n ?1)Sn ? 2 ? n ? Sn?1 ? Sn ? ? Sn ? 2 得 an ?1 ? Sn ? 2 . 当 n ? 2 时 an ? Sn ?1 ? 2 , ⑤-④得: an ?1 ? 2an . 由 a1 ? 2a2 ? S2 ? 4 ,得 a2 ? 4 , ∴ a2 ? 2a1 . ∴数列 {an } 是以 a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列. (2)∵ p, q, r 成等差数列, ∴ p ? r ? 2q . 假设 a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1 成等比数列, 则 ap ? 1 ∴ an ? 2n . ④ ⑤

?

? ?a

r

? 1? ? aq ? 1 ,
2

?

?



?2

p

? 1 2r ? 1 ? 2q ? 1 ,

??

? ?

?

2

化简得: 2 ? 2 ? 2 ? 2 .
p r q

(*)

∵ p ? r, ∴ 2 p ? 2r ? 2 2 p ? 2r ? 2 ? 2q ,这与(*)式矛盾,故假设不成立.∴

a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1 不是等比数列.
20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,两个焦点分别为 F1 (?2,0) , F2 2,0 ,点 A(2, 3) 在椭 圆 C1 上, 过点 A 的直线 L 与抛物线 C2 : x2 ? 4 y 交于 B,C 两点, 抛物线 C2 在点 B,C 处 的切线分别为 l1,l2 ,且 l1 与 l2 交于点 P . (1) 求椭圆 C1 的方程; (2) 是否存在满足 PF ? PF2 ? AF1 ? AF2 的点 P ? 若存在, 指出这样的点 P 有几个 (不 1 必求出点 P 的坐标); 若不存在,说明理由.

?

?

x2 y 2 【解析】 (1)设椭圆 C1 的方程为 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? , a b

? 22 32 ? ? ? 1, 依题意: ? a 2 b2 ?a 2 ? b2 ? 4. ?
∴ 椭圆 C 的方程为

?a 2 ? 16, ? 解得: ? 2 ?b ? 12. ?

x2 y 2 ? ? 1. 16 12

(2)设点 B( x1 ,

??? ? 1 2 1 2 1 2 x1 ) , C ( x2 , x2 ) ,则 BC ? ( x2 ? x1 , ( x2 ? x12 )) , 4 4 4 ??? ? 1 2 BA ? (2 ? x1 ,3 ? x1 ) , 4

∵ A, B, C 三点共线, ∴ BC / /BA . ∴ x2 ? x1 ? 3 ?

??? ?

??? ?

?

?

? ?

1 2? 1 2 x1 ? ? x2 ? x12 4 ? 4

?

? ?2 ? x ? ,
1

化简得: 2 x1 ? x2 ) ? x1x2 ? 12 . ( 由 x2 ? 4 y ,即 y ?



1 2 1 x ,得 y? ? x . 4 2

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? 即y?

1 2 x1 x1 ? ( x ? x1 ) , 4 2


x1 1 x ? x12 . 2 4
x2 1 2 x ? x2 . 2 4

同理,抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ? 设点 P( x, y) ,由②③得: 而 x1 ? x2 ,则 x ? 代入②得 y ?



x1 x 1 1 2 x ? x12 ? 2 x ? x2 , 2 4 2 4

1 ( x1 ? x2 ) . 2

1 x1 x2 , 4

则 2x ? x1 ? x2 ,4y ? x1 x2 代入 ① 得 4 x ? 4 y ? 12 ,即点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 若 PF ? PF2 ? AF ? AF2 ,则点 P 在椭圆 C1 上,而点 P 在直线 y ? x ? 3 上, 1 1 ∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. ∴满足条件 PF ? PF2 ? AF ? AF2 的点 P 有两个。 1 1 21. (本小题满分 14 分) 已 知 二 次 函 数

f

? ?x ?
2

2

x?

a? x 1 , 关 于 ?m

x 的 不 等 式

f

? ?x ? ? 2

m ?1 ?

x 1 ?

?

m

的解集为 m,m ? 1 ,其中 m 为非零常数.设 g x (1)求 a 的值;

?

?

? ?

?

f ? x? x ?1

.

(2) k(k ? R )如何取值时,函数 ? x ? g x ? k ln x ? 1 存在极值点,并求出极 值点;
* n n (3)若 m ? 1 ,且 x ? 0 ,求证: ? g x ? 1 ? ? g x ? 1 ? 2 ? 2 n ?N ). ( ? ?

? ?

? ?

?

?

?

?

n

?

?

【解析】 (1)∵关于 x 的不等式 f

? x? ?

? ? 2m ? 1? x ? 1 ? m 2 的解集为 ? m,m ? 1? ,

2 2 即不等式 x ? a ? 1 ? 2m x ? m ? m ? 0 的解集为 m, m ? 1 , 2 2 ∴ x ? a ? 1 ? 2m x ? m ? m ? x ? m

?

?

?

? ?

? ?

?

? ? x ? m ? 1? . ? ? ?

2 2 2 ∴ x ? a ? 1 ? 2m x ? m ? m ? x ? 2 m ? 1 x ? m m ? 1 .

?

∴ a ? 1 ? 2m ? ? 2m ? 1 . ∴ a ? ?2 . (2)由(1)得 g x

?

?

? ?

?

f ? x? x ?1

?

x2 ? 2x ? m ? 1 m ? ? x ? 1? ? . x ?1 x ?1
m ? k ln ? x ? 1? 的 定 义 域 为 x ?1

∴? x

? ?

? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? ?

?1,?? ? .
∴ ? ?( x) ? 1 ?

m

? x ? 1?
?
2

2

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 k ? . ? 2 x ?1 ? x ? 1?

2 方程 x ? 2 ? k x ? k ? m ? 1 ? 0 (*)的判别式

?

Δ ? ? 2 ? k ? ? 4 ? k ? m ? 1? ? k 2 ? 4m .
①当 m ? 0 时, ? ? 0 ,方程(*)的两个实根为 x1 ?

2?k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

x2 ?

2?k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

则 x ? 1, x2 时, ? ?( x) ? 0 ; x ? x2 , ?? 时, ? ?( x) ? 0 . ∴函数 ? x 在 1, x2 上单调递减,在 x2 , ?? 上单调递增. ∴函数 ? x 有极小值点 x2 . ②当 m ? 0 时,由 Δ ? 0 ,得 k ? ?2 ?m 或 k ? 2 ?m , 若 k ? ?2 ?m , 则 x1 ?

?

?

?

?

? ? ? ? ?

?

?

?

2?k ? 2

k 2 ? 4m

? 1, x2 ?

2?k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

故 x ? 1,?? 时, ? ?( x) ? 0 , ∴函数 ? x 在 1,?? 上单调递增. ∴函数 ? x 没有极值点. 若 k ? 2 ?m 时,

?

?

? ? ? ? ?

?

x1 ?

2?k ? 2

k 2 ? 4m

? 1, x2 ?

2?k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

则 x ? 1, x1 时 , ? ?( x ) ? 0; x ? x1 , x2 时 , ? ?( x ) ? 0; x ? x2 , ?? 时 ,

?

?

?

?

?

?

? ?( x ) ? 0.
∴函数 ? x 在 1, x1 上单调递增,在 x1 , x2 上单调递减,在 x2 , ?? 上单调递增. ∴函数 ? x 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 . 综上所述, 当 m ? 0 时, k 取任意实数, 函数 ? x 有极小值点 x2 ; 当 m ? 0 时, k ? 2 ?m ,函数 ? x 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 . (其中 x1 ?

? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

? ?

? ?

2?k ? 2

k 2 ? 4m

, x2 ?

2?k ? 2

k 2 ? 4m

)

(3)证:∵ m ? 1 , ∴ g x

? ? ? ? x ? 1? ?
n

1 . x ?1
n

? ? n 1? 1 ? ∴ ? g ? x ? 1? ? ? g x ? 1 ? ? x ? ? ? ? x ? n ? ? ? x? x ? ? ?
n

?

?

1 ? xn ? Cn xn ?1 ?

? 1 1 1 1? 2 n n 1 ? Cn xn ? 2 ? 2 ? ? ? Cn ?1 x ? n ?1 ? Cn n ? ? x n ? n ? x x x x x ? ?

1 2 n ? Cn xn ? 2 ? Cn xn ? 4 ? ? ? Cn ?1x2 ? n . 1 2 n 令 T ? Cn xn ? 2 ? Cn xn ? 4 ? ? ? Cn ?1x2 ? n , n n 1 则 T ? Cn ?1x2 ? n ? Cn ? 2 x4 ? n ? ? ? Cn xn ? 2 1 2 n ? Cn x2 ? n ? Cn x4 ? n ? ? ? Cn ?1xn ? 2 .

∵ x ? 0, ∴ 2T ? Cn x
1

?

n?2

2 n ? x 2 ? n ? Cn x n ? 4 ? x 4 ? n ? ? ? Cn ?1 x 2 ? n ? x n ? 2

?

?

?

?

?

?

1 2 n C n ? 2 x n ? 2 ? x 2 ? n ? C n ? 2 x n ? 4 ? x 4 ? n ? ? ? C n ?1 ? 2 x 2 ? n ? x n ? 2

1 2 n ? 2 Cn ? Cn ? ? ? Cn ?1

?

?

0 1 2 n n 0 n ? 2 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ?1 ? Cn ? Cn ? Cn

?
n

?

? 2 2n ? 2 .
∴ T ? 2 ? 2 ,即 ? g x ? 1 ? ? g x n ? 1 ? 2n ? 2 . ? ?

?

?

?

?

n

?

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