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平面向量的高考题型评析及热点展望


{

?

十一 一

白肠 民 考另 浪
~

?

—一
_

匆离 专题 型 热 点展 望
福建 蔡振 树

一 对 平 面 向 盆 的 高 考题型 的 研 究 及评 析
1 平 面 向 量与 函 数 的 交 汇
r 【 例 1 】 已 知 幽数 j ( 。一走 +




【 例 41
,

c 。。 已 知 向量 三一 、

.

誓 誓决
?

,

s‘ n

)

,

co ‘

s

b

的 图象与 二


:


:

s ln 万 一
,

J

三) Z

?

,

且二 。



队和
;

,

分别 相交 于 点 A



B

,

十2 分别是 与 五 孔厂 油 一 2奋
.



求 ?

:

+扩 劝 一 石 房 助 }石 波 !压闹 ?若 犷〔

轴正 半轴 同方 向 的 单 位 向 量 ) 函 数
6
.

g (二 ) ~



尸一

l -

}的 最 小值 是 一

号求

,

“ 的值



(1 ) 求 交 b 的值 ; (2 、当 二
,

、 满足 八 x ) > 澎 )时 求

.

! 评 析 】 本题 是 以 向 量 的 模为 背景 结 合三角 函
,

函 数£ 弄 ~ ~ f (二 )

乓毕 护“


的 最 小值
月匆
J



数化简求值等 有 关 知 识 进 行 考查
,



向 量与三 角 的 交





汇 就 是 当今高考命 题的一 个 热点 它 常常包括 向量 与
三 角 函数 化 简 求 值与证 明 的 交汇 向 量与解 三 角 形



【 评析 】 向 量 的 方 向向量 实 际 上 它 是 继 直 线 的
斜率 倾斜 角 以 后 的第 三 个表 示 直线 方 向 的 等 重 要 概 念



的交 汇 向 量 与 三 角 函 数 的图象 与性 质 的交 汇 等几 个 方 面 以 平 面 向 量 的 知 识 为 平台 考 查 三 角 函 数 的 有
,



要学会 并善 于运 用 它 来 求 解
2



,

乎 面 向量 与 不 等 式 的 交汇
,
,

关 运 算 同时 运 用分类 讨 论 的 思 想 方 法 是 当前 高 考 命
R
,

,

【 例 2 】 已 知 向量 石址 咨 } 县}一 1 对 任意 ‘e
一, 莎 恒有 居 })
{

题 的一 大 热点
4
.



一 二 万 } 则〔 从
a a 土(



)
一 尸

平 面 向 量 与 解析 几 何 的 交 汇
,


C
.

a





)


例 5 】 已 知 椭 圆 的中心 为 坐 标 原 点 O 焦点 在 【




土(

a

一。



a
B
,



一二 二) 上〔蕊
_
. ‘


co

轴 上 斜 率为
, 、

1

且过 椭 圆右焦 点
,

F

的 直线 交 椭 圆 于


长 例 3】 在 △ ( ) A
,

中 O 为坐标 原点 A ( 1

叨)

A B 两点

,

诫 + 珑 与 石一 ( 3
;

一 1) 共线

”( 。 n

1 , 6

, “

,

」 曰。晋 侧 当△ 帆“ 的面积 达 最 大 值

?

( 1) 求离 心率

2 ) 设 M 为 椭 圆 上 任 意 一 点 且 乙商一 * (
,

- ( 时 夕
.

)

丽十



A

.




. B




C

.

D

.




施 (; 成 必
,

,

证 明 矛 + 声为 定值



【 评析1 以 解 几 的 知识 为载 体 以 向 量 为 工 具
, 、

,

【 评 析 1 本 题 实 质 之研 究 运 算 乃 转 化为 不 等 式
问题


以 考查 圆锥 曲线性质 和 向量有 关 公 式 性质 及 应 用 为 目标 的 平 面 向量与 解 析 几 何 的 交 汇试 题 是 近几年 高

3

平 面 向量 与 三 角 的 交 汇
翻 冲, 欣
.

考试 题 的 一 个 热 点



与薄酬巍



冷念 立 热



考点关注

?

耀黝翼
,

5

.

平 面 向量 与 平 面 几 何 的 交 汇


二 对平 面 向量 的高考 复 习 建 议
,



【 例 6】
?

是 △ 月B c 所在 平 面 上 一 点 若
?


)

?

针对 以 上 高考 热 点及 常 见 题 型 分析 在 高考 复 习

施 一 苑 论 一论 或
A
.

,

则 尸 是△ A B c 的 (
C
,
.

中应 注意 以 下 几个 方面 的学 习
1
.



外心

. B

内心

重心

. 垂心 D

以 本 为本 重视 教材 的 示 范作 用


,

【 例7 1

在 △A B C 中 O 为 中 线 八 M 上 的一个 动
2
,

数 学 教 材是学 习 数 学 基 础 知识 形 成基 本技 能 的


点 若 AM三
,



) 丽 (葩 + 沈 的最 小 值是 _ _
?

蓝本

” ,

能 力是在知识 传授 和 学 习 过 程 中得 到培养 和

发展 的 新课 程 试卷 中平 面 向量 的 有 些 问题 与课 本
【 评析】 平 面 向 量 与平 面 几 何 的 交 汇 的例 习 题 相 同或 相 似 虽 然 只 是个 别 小 题 但 它 对 高 三 复 习具有指 导 意义 教 学 中重视 教 材 的使 用 应 有 不
可 估量的 作用




,

,

,

试题 既 考 查 平 面 向
量的 概 念 与 运 算 也
;

,

因 此 复 习 阶 段 要在 掌握 教材 的基 础

,

上 把 各 个 局部 知 识按 照一 定 的观 点 和方 法 组织 成 整

考查 了 平 面 几 何 知 识 同 时 考 查 了 向量
知 识在 平 面 几何 问 题中的运 用
6
.

体 形 成知识体 系
2
.

,





,

注重 数 学思 想 方 法 的教 学




(1 ) 数 形 结 合 的思 想 方 法

平 面 向 量 与 导数 的 交 汇
sx

由 于 向量本 身 具 有 代 数 形 式 和 几 何 形 式 双重 身

t例

已 知 向量
,
,

三一 (2
n

0 0 5


,
,

,

ta n

(

着+ 晋
) x


,,

,

份 所 以 在 向量 知 识 的整 个 学 习 过程 中 都 体 现 了 数 形结 合 的 思 想方 法 在 解决 问 题 过程 中要 形 成 见 数 思
,

,

,





+ n 音 i 呱s 晋

(

a t
,

(

, 音 奇
,



令 f (



形 以 形 助 数 的思 维 习 惯 以 加深 理解 知识 要 点 增 强
,



,

x 友是否 存 在实数

任团

) + 厂(力 一 。(其 中 们 使 f (x


应 用 意识



x ? 若 存 在 则求 出 厂(二) 是 f ( ) 的 导 函 数 )
,

x

的值 ; 若

2 ) 化 归 转 化 的 思 想方 法 (





不 存 在 则证 明之

,



向 量 的 夹角 平行 垂 直 等 关 系的 研 究 均 可 化 归


【 评 析】 向 量 导 数 都 是新 课 程 新 增 内容 它 们

,

为 对应 向量或 向量 坐 标 的 运算 问 题 ; 三 角形 形状 的 判

都 是 重 要 的解 题 工 具
要的 交 汇 点
7
.



同时 又 是 新 旧 知 识 的 一 个 重

定 可 化 归 为 相 应 向量的 数 量 积 问 题 ; 向量 的 数 量 积 公
; 式 沙~ } 自 沟 通 了 向量 与 实数 间 的 转 化 关 系 一 些
2
,



平 面 向 量 与 其 它 学科 的 交 汇

实 际 问 题 也 可以 运 用 向 量 知 识 去解决
,



[例 9 ]
4 一3 ) 量 ; ;~ (
,

点 尸 在 平 面 上 作 匀 速 直线 运 动 速 度 向
(即点 尸 的运 动方 向 与 v 相 同


3 ) 分 类 讨论 的 思 想 方 法 (



,

且 每秒

如 向量 可 分 为 共 线 向量 与 不 共线 向量 ; 平 行向 量
(共线 向 量 ) 可 分 为 同 向向量 和 反 向 向量 ; 向量
,

移 动 的距 离 }v 1 个 单位 )
10
, ,

设开 始 时 点
)



的 坐 标为 (一

石 在了


0 ) 则 5 秒 后点 尸 的 坐标 为 ( 1

方 向上的 投影 随着 它 们 之间 的夹角 的不 同 有 正 数
C
.

. A
. D

, (一 2 4 )

且 (一 3 0 2 5 )
,

(1 0

,

一5 )

负数 和 零 三种 情 形 ; 定 比 分点公 式中的 位 置不同 可 以 大 于零 也 可 以 小 于零
,



随 分点 尸 的

(5 一 1 0 )
,

,



【 评析】 作 为 中 学 数 学 的 一 个 新 的知 识 交 汇



. 突 出 向 量 与 其 它 数 学 知识 的 交 汇 3




” ,

向量 与 三 角 函 数 解 析 几 何 数 列 不 等式 的综 合








新课 程 增加 了新 的现 代数 学 内容 其 意 义不 仅
,

,

题成为各类考试 中考 查 的一 个新热 点

在 于 数学 内容 的 更 新 更 重要 的 是 引 人 新 的 思 维 方
2口l a

高考理 科版

考 试

13

_

… 嗓 蘸缎 耀 罐纂 {
_ _
_

?

考点 关注

?

法 可 以 更 有效地处理 和 解 决数 学 问 题 和 实 际 应用 问
,

t题 设 变式】 考 题 已 知 点

:

A ( 一2
?



,

) 0

,







因 此 新 课 程 卷 中有 些 问 题 属 于 新 教材 与 旧 教
.

.



,

. 动点 尸 满 足
(扮 若 动点 尸



?

一万 } 万劳

赚 { {郁 }
,
.

材的结 合部 凡 涉 及 此 类 问题 高考 命 题都采 用 了 新
旧 结 合 以 新 带 旧 或 以 新 方 法 解 决 的方 法 进 行 处 理
, ,

,

的 轨迹 记 作 曲线 C

求 曲线 C 的方


,



如用 定 比 分点叙述 的间题 可 改用 向量 语 言 叙述 等 等
、 、 ,

(2 ) 己知 曲线 C


l

交 夕 轴 正 半轴 于 点 Q 过 点 D
.

(o
,

,

使 向量 与解 析 几 何 不 等式 函 数等 有 机结 合 以 此 达
到 知识应 用 的 融 合 贯 通
,


从 中 启 示 我 们在 高考 复 习
,


:
.

) 作斜 率 为 冷 的直 线 交 曲 线 c

l

于“ N


点求

中 应 突 出向 量 的 工 具性 注 重 向 量 与 其 它知 识 的交
汇 与 融 合 但 不宜 深 挖洞
, “

证 无论 k 如 何变 化 以 材N 为直 径 的 圆 过点 Q .
.





我们 可 以 预测 近 两 年向


: ( )设 解 1


p


x 劝 则 有筋 一 (、 十 2 万 妇 (
,
,
.

,

施一

量 高考题 的 难度 不会 也 不应 该 上 升 到 压 轴题 的水 平
。7 三 对 2。 年高 考 平 面 向 且 的 命题 热 点 展 望


丈 海 ?
’ . ,

筋一 (
.

+涯


,

夕)
,



以 平 面 向 量 为 载 体 求 轨 迹 方 程 为 命题 切 入
,

一 筋 确 , 瓦诱 筋

. :

点 综合 考查 学 生 平 面 向量 的 加 法 与 减 法 及 其 几 何 意
丈 平 面r ] 量 的 数 量积 及 其 几 何 意 义 圆 锥 曲线 的 定 i
.


:



+ 4 一招

.



.

了 刃 {扼 、 +



2



:

,



尹 十 2尸 一 4





( 2)



晋借


+

一1

,

0 得Q (

,



)

,

设直线

c

的方

【 例、 J

已知

是 奋厂
,

,

_

:

,



轴正 方 向 的单 位 向 量
,

.

、万 设 J ~ 恤一 万) 奋
左 、 占

, : 二

(二 +

十 澎 )了 沂 且满 足 }压

二一 少一 走 程为 鉴 孙 ~ 3


,



,

产 7





}~ 4


代入
.

二:

: 一 4 得 ( 1+ 2、 ) 、 一 十2、


d

求点 只 二

万的轨 迹 c
.


j
,

的方稚


处2 、 如

果 过 点 Q 、。

阴 ) 且 方 向 向量 为


矛一 (1

,

l)



设斌

二,

,

y

:

)

从二



:

:

)





_

一(

二:

y: 一

福)

,



直线 Z 与 点 尸 的 轨 迹 交 于 A 积 取 到 最 大 值时 求 川 的 值
,


B 两

点 当 △A O 月 的面
,



二:

.

夕:

一 刀)

.

.




_

一 一生
j 又1
~

_ 亚互
左 少 十乙
~

_

_






且 石+
:
.

:



~ 护少石

(二 一 万 ‘千 。

必, 生 (
.

:

+

十力 万) 茗



,

32 2 9 ( 1千 2疙 )
、 4 了 走 厄
/ ,

}茄 ~ 土

又 妇 到 点 ( 万 助 (一万 ( ) 的 距离 这 和
,
,

:

西 俞

?







、,



、:

+ ( h二

-





户 、



2





尸 (二 尸

,




,

故点

的轨迹 方 程 为


.
.

+

:



一王


~

)

4
工 1 工泛 又
l

花 )设 A




:

.

少 。) ,



二:

冲 ) 依 题 意直线 八 B

的方

十f


)

- -

一芍 左 戈了1
O


~





32
U

十犷2 ,



什 下不

程为 少 ~
一。 则
?

、+


: “ 代 入 椭 圆 方程 得 5 尸 干 8 。 十 4 阴 一 4
.
-

只夕


_



.

工)

一厌士

一考

,

8

”‘ “ 飞
?



工2





4





河 七 一气

沂( 工 十论 )



(了”三 一 ‘ )
:
1石
.



1 十 乙丸





犷 一“



住 丫乙


,

4



只j



一 万 万丁万 万 下 带布 一 乙 j 仁 土时 左 ,


性 遥

.

十下 一 丫


2 3

口 南土




。 因此 当



S 一姗 一

{八 川 d 二





丫 又愁一 ”

”才

:

,

点 Q 在 以 M 付 为 直径 的 圆 上

,,;定

二 。, 宜

; ,; 时 即 一士

Z







_

:

2 把向 量 作 为 工 具 去 推 导 与 探索 圆锥 曲 线 的标
.

一 廿J

,

5洲 一 1



准方程 和 几何 性 质 研 究 曲线 和 方 程 的关 系 等解 析 几

,



扁之票泛‘
高 考理 料 版

.

令抢 妻 讯

何 的基本 思 想方 法 和 综合解 题 能力
【 例 : 1 】 已知 。 : 椭 圆
,
.



) 2 (
一1

证明

:


Z

一 (x

,

一3

,

y

l

)

,





x (



一3 脚)
,

.

誓+ 菩




的 两个 焦

由已 知 得 方程 组
?七 少

点 过点

,

F

的直 线 B C 交 椭 圆 于 B C 两 点
-

,

1 1

x

l

一 3 一 几( x
y 一入
Z

一 3)

y:

(1八 (2 )
A
,



令 费+ 施

,

)

,

求 点 、 的轨 迹 方 程
l



毕十 兽
O

、 ’

一1

若 相 应 于焦 点 F 的 准 线
石 码
;





轴相 交 于 点

}口F I 一 2 1


l 过点 A 的直线 与椭 圆 相 交 于 尸 Q
、> 1 )
,

一1 十 尊 零 6 2

两点



沛一 劝 (

过点 尸 且 平 行 于 准线
,

z

的直 线 与 椭 圆相 交 于 另一 点 M 证 明

:

.

万 商一 一 、

> 注意 几

1

,

2 解得 x

5久 一1 2入



( 审稿 周 沛 耕

:

编 校 吴 春 燕)
:



:

( 1)

2 略 ( 答案 ( x 一 1 ) 十 3 少 一 1 )

( 上 接第 n

页)
,

? 对 哥斯 达黎 加


, 40 0 。 余 人 的 一 项 研 究发 现



【 操 作 示 范 】 认 真审 题就 会 发现 题 干 中 隐含 着

约 一 半人 具有让 咖 啡 因 在 体 内停 留 的遗传 特点 被



,

概括 的角度 要 求
,





” ” 特 别是 主 要 学 说 和 代 表 人 物
“ “

认 为是 咖啡 因代 谢 缓 慢 者






?这 些 人 喝 咖啡容 易

这 两个 强 调 点 已 经 提 示 了 概 括 的 思 留 李一一 ?


弄清

导 致心 脏 病 的 发作
,



? 另 一 半人 则有 相 反 的遗 传 特


古 代史 分期 的 主 要 学说 根 据关 键 句 一 位权 威学




:



点 这种特点 使他们 的身体能 迅 速对 咖 啡 因 进 行 代



者 仍将 魏晋 封 建 论 与 其 他两 论并 列
,



” ,

便 可 判 定主


谢 喝 咖啡 反 倒能 帮 助 他 们 降 低 心 脏病 发 作 的 危 险
,

,



要 学说有 三 种 按 照 材 料 中 魏 晋 封 建论 说 法 可 概
“ ”

,

? 一 位参 与研 究 的 人 说 此 项 发 现 能 解 释 为 什 么 早 先

括 出其 它 两种 学 说 的名称 即 西 周封 建论


,

” “

战国 封


那 些 检验 咖啡 因 对 心 血 管系 统 影 响 的研 究会 出现




建论







? 找 出代 表 人物 郭 沫 若 范 文澜 剪 伯 赞 尚
:
、 、

不 同 的结果



? 将 人物与 学说 准 确配 对 紧扣 强 调 点 表 述 就
,

,

【 操作 示 范】 首 先研 读材 料 我 们 发 现 ? 句是 对
“ 该 项 研究 的 评 价 不 属 于 题 干 要 求 的 研 究 的 结 论
,

,

不 难做 出答 案 关 于 古代史 分期
“ “

:

” ,

范 文澜 剪 伯 赞持
” ,



” ,

西 周 封建论



” ,

郭 沫若 持 战 国 封 建 论


尚锁 持 魏晋



可 舍 弃 ; 然 后 理 清 思 路 分 清层 次
,



该语 段 中 以 另

,

,

封 建论

一 半 人 为 语言 标 志 ? ? 为第 一 层 可 以 概 括 为 咖




,



策 略 三 切 分概括 组合各 要 点 具 体 操 作 时 首 先研 读 材 料 分 清 主 次 舍 弃 次 要
, ,

,

啡 因在 体 内停 留 的遗传特点 容 易 导 致 一 半 人 心 脏 病


,

的发 作
,





? 句 为第 二 层 可 以 概 括 为 相 反 的遗 传特
,



信 息 ; 然 后 弄 清 句 间 关 系 借助 语 意 变 化 或 语 言 标 志
,

o ’ 点 能 帮 助 另一 半人 降低 心脏 病发作 的危 险,

( 关 键 词 过 渡句 陈 述 对 象 句 末 标 点 ) 切 分 层次 概
、 、


,

最后 组合两 层要 点 做 出 通 顺 的 答案
,

,

: “

咖啡 因



括要 点 ; 最 后组合 要点 并推 敲 表 述 是 否 扣 题 要 点 是
,
,

导 致 或 降 低心 脏 病发作 的危 险 取决 于 两种 相 反 的遗

否 全面



传特点
20 0 6




例如

1 题 概 括下 面一 项 年 高考 江 西 卷 第 2
:

( 审稿 刘 起 增

:

编校 : 王

芳)

研 究 的结论

( 不 超 过 35

个 字)

2山 认 6

.

高 考理 科 版

考 试

5 1


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